GELIJKBENIGE TRAPEZOÏDE: EIGENSCHAPPEN, RELATIES EN FORMULES, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

Een gelijkbenige trapezium is een vierhoek waarin twee van de zijden evenwijdig aan elkaar zijn en bovendien hebben de twee hoeken naast een van die evenwijdige zijden dezelfde maat.

In figuur 1 hebben we de vierhoek ABCD, waarin de zijden AD en BC evenwijdig zijn. Bovendien hebben de hoeken ∠DAB en ∠ADC grenzend aan de evenwijdige zijde AD dezelfde maat α.

Figuur 1. Gelijkbenig trapezium. Bron: F. Zapata.

Dus deze vierhoek, of vierzijdige veelhoek, is in feite een gelijkbenige trapezium.

In een trapezium worden de parallelle zijden de bases genoemd en de niet-parallelle zijden de lateralen. Een ander belangrijk kenmerk is de hoogte, dit is de afstand tussen de evenwijdige zijden.

Naast de gelijkbenige trapezoïde zijn er nog andere soorten trapeziums:

-T rapezoid scalene, die al zijn hoeken en verschillende kanten heeft.

-Rechthoekige verkrachting, waarbij één zijde rechte aangrenzende hoeken heeft.

De trapeziumvorm is gebruikelijk in verschillende gebieden van ontwerp, architectuur, elektronica, berekening en nog veel meer, zoals later zal worden gezien. Vandaar het belang om vertrouwd te raken met de eigenschappen ervan.

Eigendommen

Exclusief voor de gelijkbenige trapezium

Als een trapezium gelijkbenig is, heeft het de volgende karakteristieke eigenschappen:

1.- De zijkanten hebben dezelfde maat.

2.- De hoeken naast de bases zijn gelijk.

3.- De tegenovergestelde hoeken zijn aanvullend.

4.- De diagonalen hebben dezelfde lengte, de twee segmenten die bij de tegenoverliggende hoekpunten komen, zijn hetzelfde.

5.- De hoek gevormd tussen de bases en de diagonalen zijn allemaal van dezelfde grootte.

6.- Het heeft een omgeschreven omtrek.

Omgekeerd, als een trapezium aan een van de bovenstaande eigenschappen voldoet, dan is het een gelijkbenig trapezium.

Als in een gelijkbenig trapezium een ​​van de hoeken goed is (90º), dan zullen alle andere hoeken ook goed zijn en een rechthoek vormen. Dat wil zeggen, een rechthoek is een specifiek geval van een gelijkbenig trapezium.

Figuur 2. De popcorncontainer en schooltafels hebben de vorm van een gelijkbenige trapezium. Bron: Pxfuel (links) / McDowell Craig via Flickr. (Rechtsaf)

Voor alle trapeze

De volgende set eigenschappen zijn geldig voor elke trapezium:

7.- De mediaan van de trapezium, dat wil zeggen het segment dat de middelpunten van de niet-parallelle zijden verbindt, is evenwijdig aan een van de bases.

8.- De lengte van de mediaan is gelijk aan het semisum (som gedeeld door 2) van die van de bases.

9.- De mediaan van een trapezium snijdt zijn diagonalen in het midden.

10.- De diagonalen van een trapezium snijden elkaar op een punt dat ze in twee delen verdeelt evenredig met de quotiënten van de bases.

11.- De som van de vierkanten van de diagonalen van een trapezium is gelijk aan de som van de vierkanten van de zijkanten plus het dubbele product van de bases.

12.- Het segment dat de middelpunten van de diagonalen verbindt, heeft een lengte die gelijk is aan het semi-verschil van de bases.

13.- De hoeken naast de zijkanten zijn aanvullend.

14.- Een trapezium heeft een ingeschreven omtrek als en slechts als de som van zijn bases gelijk is aan de som van zijn zijden.

15.- Als een trapezium een ​​ingeschreven omtrek heeft, dan zijn de hoeken met een hoekpunt in het midden van die omtrek en zijden die door de uiteinden van dezelfde zijde gaan, rechte hoeken.

Relaties en formules

De volgende set van relaties en formules wordt verwezen naar figuur 3, waar naast de gelijkbenige trapezoïde ook andere belangrijke reeds genoemde segmenten worden getoond, zoals diagonalen, hoogte en mediaan.

Figuur 3. Mediaan, diagonalen, hoogte en omgeschreven omtrek in een gelijkbenige trapezium. Bron: F. Zapata.

Unieke relaties van het gelijkbenige trapezium

1. - AB = DC = c = d

2. - ∡DAB = ∡CDA en ∡ABC = ∡BCD

3. - ∡DAB + ∡BCD = 180º en ∡CDA + ∡ABC = 180º

4. - BD = AC

5. - ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C en D behoren tot de omgeschreven cirkel.

Relaties voor elke trapeze

1. Als AK = KB en DL = LC ⇒ KL - AD en KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 en DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC en DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12. - MN = (AD - BC) / 2

13. - ∡DAB + ∡ABC = 180º en ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Als AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R dan equidistant van AD, BC, AB en DC

15.- Als ∃ R equidistant is van AD, BC, AB en DC, dan:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Betrekkingen voor gelijkbenig trapezium met ingeschreven omtrek

Als in een gelijkbenige trapezium de som van de basen gelijk is aan tweemaal een laterale, dan bestaat de ingeschreven omtrek.

Figuur 4. Trapezium met ingeschreven omtrek. Bron: F. Zapata.

De volgende eigenschappen zijn van toepassing wanneer de gelijkbenige trapezium een ​​ingeschreven omtrek heeft (zie figuur 4 hierboven):

16. - KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- De diagonalen snijden elkaar loodrecht: AC ⊥ BD

18.- De hoogte meet hetzelfde als de mediaan: HF = KL, dat wil zeggen h = m.

19.- Het kwadraat van de hoogte is gelijk aan het product van de basen: h ² = BC⋅AD

20.- Onder deze specifieke omstandigheden is de oppervlakte van de trapezium gelijk aan het kwadraat van de hoogte of het product van de bases: oppervlakte = h ² = BC⋅AD.

Formules voor het bepalen van één kant, de andere kennen en een invalshoek

Als je een basis, de laterale en een hoek kent, kan de andere basis worden bepaald door:

a = b + 2c Cos α

b = een - 2c Cos α

Als de lengte van de bases en een hoek worden gegeven als bekende gegevens, dan zijn de lengtes van beide zijden:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Bepaling van de ene kant, de andere kennen en een diagonaal

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Waar d ₁ de lengte van de diagonalen is.

Basis van hoogte, oppervlakte en andere basis

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - een

Bekende laterale bases, oppervlakte en een hoek

c = (2A) /

Bekende laterale mediaan, oppervlakte en hoek

c = A / (m zonde α)

Bekende hoogte de zijkanten

h = √

Bekende hoogte een hoek en twee zijden

h = tg α⋅ (een - b) / 2 = c. zonde α

Bekende diagonalen aan alle zijden, of twee zijden en een hoek

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (een ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Omtrek van de gelijkbenige driehoek

P = een + b + 2c

Gelijkbenig trapeziumgebied

Er zijn verschillende formules om de oppervlakte te berekenen, afhankelijk van de gegevens die bekend zijn. Afhankelijk van de sokkels en hoogte is het volgende het bekendst:

A = h⋅ (a + b) / 2

En u kunt deze anderen ook gebruiken:

-Als de zijkanten bekend zijn

A = √

-Als je twee kanten en een hoek hebt

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Als de straal van de ingeschreven cirkel en een hoek bekend zijn

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Wanneer de bases en een hoek bekend zijn

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Als de trapezium kan worden beschreven met een omtrek

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- Ken de diagonalen en de hoek die ze met elkaar vormen

A = (d ₁ ² /2) = γ Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Als je de laterale, de mediaan en een hoek hebt

A = mc.sen α = mc.sen β

Straal van de omgeschreven cirkel

Alleen gelijkbenige trapezoïden hebben een omgeschreven omtrek. Als de basis groter a, de laterale c en de diagonaal d _{1 bekend is} , dan is de straal R van de cirkel die door de vier hoekpunten van de trapezium gaat:

R = a⋅c⋅d ₁ /4√

Waar p = (a + c + d ₁ ) / 2

Voorbeelden van het gebruik van de gelijkbenige trapezium

De gelijkbenige trapezoïde verschijnt op het gebied van ontwerp, zoals te zien is in figuur 2. En hier zijn enkele aanvullende voorbeelden:

In architectuur en constructie

De oude Inca's kenden het gelijkbenige trapezoïde en gebruikten het als bouwelement in dit raam in Cuzco, Peru:

Figuur 5. Trapeziumvormig raam van de Coricancha, Cuzco. Bron: Wikimedia Commons.

En hier verschijnt de trapezoïde weer in de zogenaamde trapeziumplaat, een materiaal dat veel wordt gebruikt in de constructie:

Figuur 6. Trapeziumvormige metalen plaat die tijdelijk de ramen van een gebouw beschermt. Bron: Wikimedia Commons.

In ontwerp

We hebben al gezien dat de gelijkbenige trapezoïde voorkomt in alledaagse voorwerpen, inclusief voedingsmiddelen zoals deze chocoladereep:

Figuur 7. Chocoladereep waarvan de gezichten de vorm hebben van een gelijkbenig trapezium. Bron: Pxfuel.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een gelijkbenige trapezium heeft een basis groter dan 9 cm, een basis kleiner dan 3 cm, en zijn diagonalen elk 8 cm. Berekenen:

a) Kant

b) Hoogte

c) Omtrek

d) Gebied

Figuur 8. Schema voor oefening 1. Bron: F. Zapata

Oplossing voor

De hoogte CP = h wordt uitgezet, waarbij de voet van de hoogte de segmenten definieert:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = een - x = een - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Gebruik de stelling van Pythagoras voor de rechthoekige driehoek DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

En ook naar de rechthoekige driehoek APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Ten slotte wordt lid voor lid afgetrokken, de tweede vergelijking van de eerste en vereenvoudigd:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Oplossing b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Oplossing c

Omtrek = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Oplossing d

Oppervlakte = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Oefening 2

Er is een gelijkbenige trapezium waarvan de grotere basis tweemaal de kleinere is en de kleinere basis gelijk is aan de hoogte, die 6 cm is. Besluiten:

a) De lengte van de laterale

b) Omtrek

c) Gebied

d) Hoeken

Figuur 8. Schema voor oefening 2. Bron: F. Zapata

Oplossing voor

Gegevens: a = 12, b = a / 2 = 6 en h = b = 6

We gaan als volgt te werk: we tekenen de hoogte h en passen de stelling van Pythagoras toe op de hypotenusa-driehoek «c» en de benen h en x:

c ² = h ² + xc ²

Dan moet je de waarde van de hoogte uit de gegevens (h = b) en die van de poot x berekenen:

een = b + 2 X ⇒ X = (ab) / 2

Als we de vorige uitdrukkingen vervangen, hebben we:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Nu worden de numerieke waarden geïntroduceerd en is het vereenvoudigd:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Het verkrijgen van:

c = 3√5 = 6,71 cm

Oplossing b

De omtrek P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Oplossing c

De oppervlakte als functie van de hoogte en lengte van de sokkels is:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Oplossing d

De hoek α die de laterale vormt met de grotere basis wordt verkregen door trigonometrie:

Geelbruin (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

De andere hoek, degene die de laterale vormt met de kleinere basis is β, die aanvullend is op α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Referenties

1. EA 2003. Geometrie-elementen: met oefeningen en geometrie van het kompas. Universiteit van Medellin.
2. Campos, F. 2014. Wiskunde 2. Grupo Redactie Patria.
3. Freed, K. 2007. Ontdek Polygonen. Benchmark Onderwijsbedrijf.
4. Hendrik, V. 2013. Gegeneraliseerde polygonen. Birkhäuser.
5. IGER. Wiskunde eerste semester Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. 2014. Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren en Hornsby. 2006. Wiskunde: redenering en toepassingen. 10e. Editie. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Wiskunde 5. Redactioneel Progreso.
9. Wikipedia. Trapeze. Hersteld van: es.wikipedia.com