DISCRETE FOURIER-TRANSFORMATIE: EIGENSCHAPPEN, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De discrete Fourier-transformatie is een numerieke methode die wordt gebruikt om monsters te definiëren die verwijzen naar de spectrale frequenties waaruit een signaal bestaat. Het bestudeert periodieke functies in gesloten parameters, wat als resultaat een ander discreet signaal oplevert.

Om de discrete Fourier-transformatie van N-punten te verkrijgen, op een discreet signaal, moet aan de volgende 2 voorwaarden worden voldaan op een reeks x

TDF

De discrete Fourier-transformatie kan worden gedefinieerd als een N-punt bemonstering van de Fourier-transformatie.

Interpretatie van de discrete Fourier-transformatie

Bron: Pexels

Er zijn 2 gezichtspunten van waaruit de resultaten die zijn verkregen op een reeks x _s kunnen worden geïnterpreteerd via de discrete Fourier-transformatie.

-De eerste komt overeen met de spectrale coëfficiënten, al bekend uit de Fourier-reeks. Het wordt waargenomen in discrete periodieke signalen, waarbij monsters samenvallen met de reeks x _s .

-De tweede handelt over het spectrum van een discreet aperiodisch signaal, met samples die overeenkomen met de reeks x _s .

De discrete transformatie is een benadering van het spectrum van het originele analoge signaal. De fase hangt af van de bemonsteringsmomenten, terwijl de grootte afhangt van het bemonsteringsinterval.

Eigendommen

De algebraïsche basis van structuur vormen de grondgedachte voor de volgende secties.

Lineariteit

C. S _n → C. F; Als een reeks wordt vermenigvuldigd met een scalair, zal de transformatie dat ook zijn.

T _n + V _n = F + F; De transformatie van een som is gelijk aan de som van de transformaties.

Dualiteit

F → (1 / N) S- _k; Als de discrete Fourier-transformatie opnieuw wordt berekend naar een reeds getransformeerde uitdrukking, wordt dezelfde uitdrukking verkregen, geschaald in N en geïnverteerd ten opzichte van de verticale as.

Convolutie

Bij het nastreven van vergelijkbare doelstellingen als in de Laplace-transformatie, verwijst de convolutie van functies naar het product tussen hun Fourier-transformaties. Convolutie is ook van toepassing op discrete tijden en is verantwoordelijk voor veel moderne procedures.

X _n * R _n → F .F; De transformatie van een convolutie is gelijk aan het product van de transformaties.

X _n . R _n → F * F; De transformatie van een product is gelijk aan de convolutie van de transformaties.

Verplaatsing

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Als een reeks wordt vertraagd met m monsters, zal het effect op de discrete transformatie een wijziging zijn van de hoek gedefinieerd door (2π / N) km.

Symmetrie

X _t = X * _t = X _t

Modulatie

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Product

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symmetrie

X ↔ X _t = X * _t

Conjugeren

x * ↔ X * _t

Parseval-vergelijking

Met betrekking tot de conventionele Fourier-transformatie heeft het verschillende overeenkomsten en verschillen. De Fourier-transformatie zet een reeks om in een ononderbroken lijn. Op deze manier wordt gezegd dat het resultaat van de Fourier-variabele een complexe functie is van een reële variabele.

De discrete Fourier-transformatie ontvangt, in tegenstelling tot, een discreet signaal en zet het om in een ander discreet signaal, dat wil zeggen een reeks.

Waar is de discrete Fourier-transformatie voor?

Ze dienen voornamelijk om vergelijkingen aanzienlijk te vereenvoudigen, terwijl ze afgeleide uitdrukkingen in machtselementen transformeren. Ter aanduiding van differentiële uitdrukkingen in integreerbare polynoomvormen.

Bij de optimalisatie, modulatie en modellering van resultaten fungeert het als een gestandaardiseerde uitdrukking, en is het na verschillende generaties een veelvoorkomend hulpmiddel voor engineering.

Bron: pixabay

Geschiedenis

Dit wiskundige concept werd in 1811 geïntroduceerd door Joseph B. Fourier, terwijl hij een verhandeling over de voortplanting van warmte ontwikkelde. Het werd snel overgenomen door verschillende takken van wetenschap en techniek.

Het werd vastgesteld als het belangrijkste werkinstrument bij de studie van vergelijkingen met partiële afgeleiden, zelfs door het te vergelijken met de bestaande werkrelatie tussen de Laplace-transformatie en gewone differentiaalvergelijkingen.

Elke functie die kan worden gebruikt met een Fourier-transformatie, moet null zijn buiten een gedefinieerde parameter.

Discrete Fourier-transformatie en zijn inverse

De discrete transformatie wordt verkregen door de uitdrukking:

Na het geven van een discrete reeks X

De inverse van de discrete Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door de uitdrukking:

Achterwaartse aftakas

Zodra de discrete transformatie is bereikt, kan de reeks in het tijdsdomein X worden gedefinieerd.

Gevleugeld

Het parametrisatieproces dat overeenkomt met de discrete Fourier-transformatie ligt in de windowing. Om de transformatie uit te voeren, moeten we de volgorde in de tijd beperken. In veel gevallen hebben de signalen in kwestie deze beperkingen niet.

Een reeks die niet voldoet aan de groottecriteria om toe te passen op de discrete transformatie, kan worden vermenigvuldigd met een "venster" -functie V, die het gedrag van de reeks in een gecontroleerde parameter definieert.

X. V

De breedte van het spectrum is afhankelijk van de breedte van het venster. Naarmate de breedte van het venster toeneemt, wordt de berekende transformatie smaller.

Toepassingen

Berekening van de fundamentele oplossing

De discrete Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel bij de studie van discrete sequenties.

De discrete Fourier-transformatie zet een continue variabele functie om in een discrete variabele transformatie.

Het Cauchy-probleem voor de warmtevergelijking presenteert een veelvuldig toepassingsgebied van de discrete Fourier-transformatie . Waar de kernfunctie van warmte of Dirichlet-kern wordt gegenereerd, wat van toepassing is op bemonsteringswaarden in een gedefinieerde parameter.

Signaaltheorie

De algemene reden voor de toepassing van de discrete Fourier-transformatie in deze tak is voornamelijk te wijten aan de karakteristieke ontleding van een signaal als een oneindige superpositie van gemakkelijker te behandelen signalen.

Het kan een geluidsgolf zijn of een elektromagnetische golf, de discrete Fourier-transformatie drukt het uit in een superpositie van eenvoudige golven. Deze weergave komt vrij vaak voor in de elektrotechniek.

De Fourier-serie

Het zijn series gedefinieerd in termen van cosinus en sinus. Ze dienen om het werken met algemene periodieke functies te vergemakkelijken. Wanneer ze worden toegepast, maken ze deel uit van de technieken voor het oplossen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen.

Fourier-reeksen zijn zelfs algemener dan Taylor-reeksen, omdat ze periodieke discontinue functies ontwikkelen die geen Taylor-reeksrepresentatie hebben.

Andere vormen van de Fourier-serie

Om de Fourier-transformatie analytisch te begrijpen, is het belangrijk om de andere manieren te bekijken waarop de Fourier-reeks kan worden gevonden, totdat de Fourier-reeks kan worden gedefinieerd in zijn complexe notatie.

-Fourier serie over een functie van periode 2L:

Er wordt rekening gehouden met het interval, wat voordelen biedt bij het benutten van de symmetrische kenmerken van de functies.

Als f even is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks cosinussen.

Als f oneven is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks Sines.

-Complexe notatie van de Fourier-serie

Als we een functie f (t) hebben, die aan alle vereisten van de Fourier-reeks voldoet, is het mogelijk om deze in het interval aan te duiden met behulp van de complexe notatie:

Voorbeelden

Met betrekking tot de berekening van de fundamentele oplossing worden de volgende voorbeelden gegeven:

Anderzijds zijn de volgende voorbeelden van de toepassing van de discrete Fourier-transformatie op het gebied van signaaltheorie:

-Systeem identificatie problemen. Gevestigd f en g

-Probleem met de consistentie van het uitgangssignaal

-Problemen met signaalfiltering

Opdrachten

Oefening 1

Bereken de discrete Fourier-transformatie voor de volgende reeks.

U kunt de PTO van x definiëren als:

X _t = {4, -j2, 0, j2} voor k = 0, 1, 2, 3

Oefening 2

We willen het spectrale signaal bepalen dat wordt gedefinieerd door de uitdrukking x (t) = e ^-t via een digitaal algoritme . Waarbij de maximale frequentie-aanvragende coëfficiënt f _m = 1 Hz is. Een harmonische komt overeen met f = 0,3 Hz De fout is beperkt tot minder dan 5%. Bereken f _s , D en N.

Rekening houdend met de bemonsteringsstelling f _s = 2f _m = 2 Hz

Er wordt een frequentieresolutie van f ₀ = 0,1 Hz gekozen , waaruit we D = 1 / 0,1 = 10s halen

0,3 Hz is de frequentie die overeenkomt met de index k = 3, waarbij N = 3 × 8 = 24 monsters. Geeft aan dat f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Omdat het doel is om de laagst mogelijke waarde voor N te krijgen, kunnen de volgende waarden als oplossing worden beschouwd:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referenties

1. De discrete Fourier-transformatie in één, twee of meerdere dimensies beheersen: valkuilen en artefacten. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 juli. 2013
2. The DFT: An Owners 'Manual voor de discrete Fourier-transformatie. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 januari. negentienvijfennegentig
3. Digitale signaalverwerking: theorie en praktijk. D. Sundararajan. Wereld Wetenschappelijk, 2003
4. Transformeert en snelle algoritmen voor signaalanalyse en representaties. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 december. 2012
5. Discrete en continue Fourier-transformaties: analyse, toepassingen en snelle algoritmen. Eleanor Chu. CRC Press, 19 maart. 2008