LAPLACE-TRANSFORMATIE: DEFINITIE, GESCHIEDENIS EN WAAR HET VOOR IS - WISKUNDE - 2026

De Laplace-transformatie is de afgelopen jaren van groot belang geweest in technische studies, wiskunde, natuurkunde, onder andere wetenschappelijke gebieden, en is ook van groot belang in theorie, en biedt een eenvoudige manier om problemen op te lossen die voortkomen uit wetenschap en techniek.

Oorspronkelijk werd de Laplace-transformatie gepresenteerd door Pierre-Simón Laplace in zijn studie over waarschijnlijkheidstheorie en werd aanvankelijk behandeld als een wiskundig object van puur theoretisch belang.

Huidige toepassingen ontstaan ​​wanneer verschillende wiskundigen probeerden een formele rechtvaardiging te geven voor de "operationele regels" die door Heaviside worden gebruikt bij de studie van vergelijkingen van elektromagnetische theorie.

Definitie

Laat f een functie zijn die is gedefinieerd voor t ≥ 0. De Laplace-transformatie wordt als volgt gedefinieerd:

De Laplace-transformatie zou bestaan ​​als de vorige integraal convergeert, anders zou de Laplace-transformatie niet bestaan.

Over het algemeen worden kleine letters gebruikt om de functie aan te duiden die moet worden getransformeerd, en de hoofdletter komt overeen met de transformatie. Op deze manier hebben we:

Voorbeelden

Beschouw de constante functie f (t) = 1. We hebben zijn transformatie is:

Elke keer dat de integraal convergeert, is dat wanneer s> 0. Anders, s <0, divergeert de integraal.

Laat g (t) = t. De Laplace-transformatie wordt gegeven door

Door te integreren door delen en te weten dat te ^-st neigt naar 0 wanneer neigt naar oneindig en s> 0, samen met het vorige voorbeeld hebben we:

De transformatie kan al dan niet bestaan, bijvoorbeeld voor de functie f (t) = 1 / t convergeert de integraal die de Laplace-transformatie definieert niet en daarom bestaat de transformatie niet.

Voldoende voorwaarden om te garanderen dat de Laplace-transformatie van een functie f bestaat, zijn dat f stuksgewijs continu is voor t ≥ 0 en van exponentiële orde is.

Er wordt gezegd dat een functie stuksgewijs continu is voor t ≥ 0, wanneer er voor elk interval met a> 0 een eindig aantal punten t _{k is,} waarbij f discontinuïteiten heeft en continu is in elk subinterval.

Aan de andere kant wordt gezegd dat een functie van exponentiële orde c is als er reële constanten M> 0, c en T> 0 zijn, zodat:

Als voorbeelden hebben we dat f (t) = t ² van exponentiële orde is, aangezien -t ² - <e ^3t voor alle t> 0.

Formeel hebben we de volgende stelling

Stelling (voldoende voorwaarden voor bestaan)

Als f een gedeeltelijk continue functie is voor t> 0 en van exponentiële orde c, dan bestaat de Laplace-transformatie voor s> c.

Het is belangrijk op te merken dat dit een toereikende voorwaarde is, dat wil zeggen dat het mogelijk is dat er een functie is die niet aan deze voorwaarden voldoet, en toch bestaat de Laplace-transformatie ervan.

Een voorbeeld hiervan is de functie f (t) = t ^-1/2 die niet ^stuksgewijs continu is voor t ≥ 0 maar zijn Laplace-transformatie bestaat.

Laplace-transformatie van enkele basisfuncties

De volgende tabel toont de Laplace-transformaties van de meest voorkomende functies.

Geschiedenis

De Laplace-transformatie dankt zijn naam aan Pierre-Simon Laplace, een Franse wiskundige en theoretische astronoom die werd geboren in 1749 en stierf in 1827. Zijn faam was zo groot dat hij bekend stond als de Newton van Frankrijk.

In 1744 wijdde Leonard Euler zijn studie aan integralen met de vorm

als oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen, maar hij liet dit onderzoek snel varen. Later onderzocht Joseph Louis Lagrange, die Euler enorm bewonderde, ook dit soort integralen en bracht ze in verband met de waarschijnlijkheidstheorie.

1782, Laplace

In 1782 begon Laplace deze integralen te bestuderen als oplossingen voor differentiaalvergelijkingen en volgens historici besloot hij in 1785 het probleem te herformuleren, wat later de aanleiding gaf tot de Laplace-transformaties zoals ze vandaag worden begrepen.

Omdat het in het veld van de kansrekening was geïntroduceerd, was het destijds van weinig belang voor wetenschappers en werd het alleen gezien als een wiskundig object van alleen theoretisch belang.

Oliver Heaviside

Het was halverwege de negentiende eeuw toen de Engelse ingenieur Oliver Heaviside ontdekte dat differentiaaloperatoren kunnen worden behandeld als algebraïsche variabelen, waardoor Laplace-transformaties hun moderne toepassing krijgen.

Oliver Heaviside was een Engelse natuurkundige, elektrotechnisch ingenieur en wiskundige die in 1850 in Londen werd geboren en in 1925 stierf. Moderne toepassingen van Laplace-transformaties.

De resultaten die door Heaviside werden gepresenteerd, verspreidden zich snel door de wetenschappelijke gemeenschap van die tijd, maar aangezien zijn werk niet rigoureus was, werd hij snel bekritiseerd door de meer traditionele wiskundigen.

Het nut van Heaviside's werk bij het oplossen van vergelijkingen in de natuurkunde maakte zijn methoden echter populair bij natuurkundigen en ingenieurs.

Ondanks deze tegenslagen en na enkele decennia van mislukte pogingen, kon aan het begin van de 20e eeuw een rigoureuze rechtvaardiging worden gegeven aan de operationele regels van Heaviside.

Deze pogingen wierpen hun vruchten af ​​dankzij de inspanningen van verschillende wiskundigen zoals onder meer Bromwich, Carson, van der Pol.

Eigendommen

Onder de eigenschappen van de Laplace-transformatie vallen de volgende op:

Lineariteit

Laten c1 en c2 constanten zijn en f (t) en g (t) functies waarvan Laplace-transformaties respectievelijk F (s) en G (s) zijn, dan hebben we:

Vanwege deze eigenschap wordt gezegd dat de Laplace-transformatie een lineaire operator is.

Voorbeeld

Eerste vertalingsstelling

Als het gebeurt dat:

En 'a' is een reëel getal, dus:

Voorbeeld

Omdat de Laplace-transformatie van cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) dan:

Tweede vertalingsstelling

Ja

Zo

Voorbeeld

Als f (t) = t ^ 3, dan is F (s) = 6 / s ^ 4. En dus de transformatie van

is G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Schaalverandering

Ja

En 'a' is niet nul, we moeten wel

Voorbeeld

Omdat de transformatie van f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) is, hebben we dat

Laplace's transformatie van derivaten

Als f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ continu zijn voor t ≥ 0 en exponentieel zijn en f ⁽ⁿ⁾ (t) stuksgewijs continu is voor t ≥ 0, dan

Laplace-transformatie van integralen

Ja

Zo

Vermenigvuldiging met t

Als het moet

Zo

Deling door t

Als het moet

Zo

Periodieke functies

Laat f een periodieke functie zijn met periode T> 0, dat wil zeggen f (t + T) = f (t), dan

Gedrag van F (s) als s neigt naar oneindig

Als f continu is in delen en van exponentiële volgorde en

Zo

Inverse transformaties

Wanneer we de Laplace-transformatie toepassen op een functie f (t), krijgen we F (s), die deze transformatie vertegenwoordigt. Op dezelfde manier kunnen we zeggen dat f (t) de inverse Laplace-transformatie is van F (s) en wordt geschreven als

We weten dat de Laplace-transformaties van f (t) = 1 en g (t) = t respectievelijk F (s) = 1 / s en G (s) = 1 / s ² zijn, daarom hebben we dat

Enkele veel voorkomende inverse Laplace-transformaties zijn als volgt

Bovendien is de inverse Laplace-transformatie lineair, dat wil zeggen dat het waar is

Oefening

Vind

Om deze oefening op te lossen, moeten we de functie F (s) matchen met een van de vorige tabel. Als we in dit geval een + 1 = 5 nemen en de lineariteitseigenschap van de inverse transformatie gebruiken, vermenigvuldigen en delen we door 4! Krijgen

Voor de tweede inverse transformatie passen we partiële breuken toe om de functie F (s) te herschrijven en vervolgens de eigenschap van lineariteit, waarbij we

Zoals we aan de hand van deze voorbeelden kunnen zien, is het gebruikelijk dat de functie F (s) die wordt geëvalueerd niet exact overeenkomt met een van de functies die in de tabel worden gegeven. In deze gevallen is het, zoals te zien is, voldoende om de functie te herschrijven totdat deze de juiste vorm heeft bereikt.

Toepassingen van de Laplace-transformatie

Differentiaalvergelijkingen

De belangrijkste toepassing van Laplace-transformaties is het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Gebruikmakend van de eigenschap van de transformatie van een afgeleide is het duidelijk dat

Y van de n-1-derivaten geëvalueerd op t = 0.

Deze eigenschap maakt de transformatie erg nuttig voor het oplossen van beginwaardeproblemen waar differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten bij betrokken zijn.

De volgende voorbeelden laten zien hoe u de Laplace-transformatie kunt gebruiken om differentiaalvergelijkingen op te lossen.

voorbeeld 1

Gegeven het volgende beginwaardeprobleem

Gebruik de Laplace-transformatie om de oplossing te vinden.

We passen de Laplace-transformatie toe op elk lid van de differentiaalvergelijking

Door de eigenschap van de transformatie van een afgeleide die we hebben

Door alle expressie te ontwikkelen en Y ('s) te zuiveren die we hebben

We gebruiken partiële breuken om de rechterkant van de vergelijking te herschrijven

Ten slotte is ons doel om een ​​functie y (t) te vinden die voldoet aan de differentiaalvergelijking. Het gebruik van de inverse Laplace-transformatie geeft ons het resultaat

Voorbeeld 2

Oplossen

Net als in het vorige geval passen we de transformatie toe aan beide zijden van de vergelijking en scheiden we term per term.

Op deze manier hebben we als resultaat

Vervangen door de gegeven beginwaarden en oplossen voor Y (s)

Met behulp van eenvoudige breuken kunnen we de vergelijking als volgt herschrijven

En het toepassen van de inverse Laplace-transformatie geeft ons het resultaat

In deze voorbeelden zou men ten onrechte kunnen concluderen dat deze methode niet veel beter is dan traditionele methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

De voordelen van de Laplace-transformatie zijn dat u geen parametervariatie hoeft te gebruiken of u zorgen hoeft te maken over de verschillende gevallen van de onbepaalde coëfficiëntmethode.

Bovendien gebruiken we bij het oplossen van beginwaardeproblemen met deze methode vanaf het begin de beginvoorwaarden, dus het is niet nodig om andere berekeningen uit te voeren om de specifieke oplossing te vinden.

Stelsels differentiaalvergelijkingen

De Laplace-transformatie kan ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor gelijktijdige gewone differentiaalvergelijkingen, zoals het volgende voorbeeld laat zien.

Voorbeeld

Los op

Met de beginvoorwaarden x (0) = 8 en y (0) = 3.

Als het moet

Zo

Oplossen geeft ons resultaat

En het toepassen van de omgekeerde Laplace-transformatie die we hebben

Mechanica en elektrische circuits

De Laplace-transformatie is van groot belang in de natuurkunde, het heeft voornamelijk toepassingen voor mechanica en elektrische circuits.

Een eenvoudig elektrisch circuit bestaat uit de volgende elementen

Een schakelaar, een batterij of bron, een inductor, een weerstand en een condensator. Wanneer de schakelaar gesloten is, wordt een elektrische stroom geproduceerd die wordt aangeduid met i (t). De lading op de condensator wordt aangegeven met q (t).

Volgens de tweede wet van Kirchhoff moet de spanning die wordt geproduceerd door bron E in het gesloten circuit gelijk zijn aan de som van elk van de spanningsvallen.

De elektrische stroom i (t) is gerelateerd aan de lading q (t) op de condensator door i = dq / dt. Aan de andere kant wordt de spanningsval in elk van de elementen als volgt gedefinieerd:

De spanningsval over een weerstand is iR = R (dq / dt)

De spanningsval over een inductor is L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

De spanningsval over een condensator is q / C

Met deze gegevens en het toepassen van de tweede wet van Kirchhoff op het eenvoudige gesloten circuit, wordt een differentiaalvergelijking van de tweede orde verkregen die het systeem beschrijft en waarmee we de waarde van q (t) kunnen bepalen.

Voorbeeld

Een inductor, een condensator en een weerstand zijn verbonden met een batterij E, zoals weergegeven in de afbeelding. De inductor is 2 henries, de condensator is 0,02 farad en de weerstand is 16 ohm. Op tijdstip t = 0 is het circuit gesloten. Zoek de lading en de stroom op elk moment t> 0 als E = 300 volt.

We hebben dat de differentiaalvergelijking die dit circuit beschrijft, de volgende is

Waar de beginvoorwaarden q (0) = 0 zijn, i (0) = 0 = q '(0).

Als we de Laplace-transformatie toepassen, krijgen we dat

En oplossen voor Q (t)

Vervolgens toepassen we de inverse Laplace-transformatie die we hebben

Referenties

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-transformatie voor elektronica-ingenieurs. Limusa.
2. Ruiz, LM en Hernandez, MP (2006). Differentiaalvergelijkingen en Laplace-transformatie met toepassingen. Redactionele UPV.
3. Simmons, GF (1993). Differentiaalvergelijkingen met toepassingen en historische aantekeningen. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace transformeert. McGraw-Hill.
5. Zill, DG en Cullen, MR (2008). Differentiaalvergelijkingen met grenswaardeproblemen. Cengage Learning Editores, SA