FOURIER-TRANSFORMATIE: EIGENSCHAPPEN, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De Fourier-transformatie is een analytische toereikendheidsmethode die is gericht op integreerbare functies die tot de familie van integrale transformaties behoren. Het bestaat uit een herdefinitie van functies f (t) in termen van Cos (t) en Sen (t).

De trigonometrische identiteiten van deze functies, samen met hun afleidings- en antiderivatiekenmerken, dienen om de Fourier-transformatie te definiëren door middel van de volgende complexe functie:

Dat is waar zolang de uitdrukking zinvol is, dat wil zeggen wanneer de oneigenlijke integraal convergent is. Algebraïsch wordt gezegd dat de Fourier-transformatie een lineair homeomorfisme is.

Elke functie die kan worden gebruikt met een Fourier-transformatie, moet null zijn buiten een gedefinieerde parameter.

Eigendommen

Bron: pexels

De Fourier-transformatie voldoet aan de volgende eigenschappen:

Bestaan

Om het bestaan ​​van de Fourier-transformatie in een functie f (t) gedefinieerd in de reals R te verifiëren , moet aan de volgende 2 axioma's worden voldaan:

1. f (t) is stuksgewijs continu voor alle R
2. f (t) is integreerbaar in R

Lineariteit van Fourier-transformatie

Stel dat M (t) en N (t) twee willekeurige functies zijn met welomlijnde Fourier-transformaties, met alle constanten a en b.

F (z) = een F (z) + b F (z)

Wat ook wordt ondersteund door de lineariteit van de integraal met dezelfde naam.

Fourier-transformatie van een afgeleide

Er is een functie f die continu en integreerbaar is in alle reële getallen, waarbij:

En de afgeleide van f (f ') is continu en stuksgewijs gedefinieerd door R

De Fourier-transformatie van een afgeleide wordt gedefinieerd door integratie door delen, door de volgende uitdrukking:

F (z) = iz F (z)

In de afleidingen van hogere orde zal het op een homologe manier worden toegepast, waarbij we voor alle n 1 hebben:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Differentiatie van Fourier-transformatie

Er is een functie f die continu en integreerbaar is in alle reële getallen, waarbij:

Fourier-transformatie van een vertaling

Voor elke θ die tot een set S en T behoort die tot de set S 'behoort, hebben we:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Met τ _a werkzaam als de vertaaloperator op de vector a.

Vertaling van de Fourier-transformatie

Voor elke θ die tot een set S en T behoort die tot de set S 'behoort, hebben we:

τ _een F = F τ _een F = F

Voor alle van die behoren tot R

Fourier-transformatie van een schaalgroep

Voor alle θ die tot een set S behoort . T die tot de set S 'behoort

λ behorend tot R - {0} we hebben:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Als f een continue en duidelijk integreerbare functie is, waarbij a> 0. Dan:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Om dit resultaat aan te tonen, kunnen we doorgaan met de verandering van variabele.

Als T → + dan s = bij → + ∞

Als T → - dan s = bij → - ∞

Symmetrie

Om de symmetrie van de Fourier-transformatie te bestuderen, moet de identiteit van Parseval en de Plancherel-formule worden geverifieerd.

We hebben θ en δ die bij S horen . Daaruit kan worden afgeleid dat:

Krijgen

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval-identiteit

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel-formule

Fourier-transformatie van een convolutieproduct

Bij het nastreven van vergelijkbare doelstellingen als in de Laplace-transformatie, verwijst de convolutie van functies naar het product tussen hun Fourier-transformaties.

We hebben f en g als 2 begrensde, gedefinieerde en volledig integreerbare functies:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Continuïteit en vervallen tot oneindigheid

Waar is de Fourier-transformatie voor?

Het dient voornamelijk om vergelijkingen aanzienlijk te vereenvoudigen, terwijl afgeleide uitdrukkingen worden omgezet in machtselementen, waarmee differentiële uitdrukkingen worden aangeduid in de vorm van integreerbare polynomen.

Bij de optimalisatie, modulatie en modellering van resultaten fungeert het als een gestandaardiseerde uitdrukking, en is het na verschillende generaties een veelvoorkomend hulpmiddel voor engineering.

De Fourier-serie

Het zijn series gedefinieerd in termen van cosinus en sinus; Ze dienen om het werken met algemene periodieke functies te vergemakkelijken. Wanneer ze worden toegepast, maken ze deel uit van de technieken voor het oplossen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen.

Fourier-reeksen zijn zelfs algemener dan Taylor-reeksen, omdat ze periodieke discontinue functies ontwikkelen die geen Taylor-reeksrepresentatie hebben.

Andere vormen van de Fourier-serie

Om de Fourier-transformatie analytisch te begrijpen, is het belangrijk om de andere manieren te bekijken waarop de Fourier-reeks kan worden gevonden, totdat we de Fourier-reeks in zijn complexe notatie kunnen definiëren.

-Fourier serie over een functie van periode 2L

Vaak is het nodig om de structuur van een Fourier-reeks aan te passen aan periodieke functies waarvan de periode p = 2L> 0 in het interval is.

-Fourier-serie in oneven en even functies

Er wordt rekening gehouden met het interval, wat voordelen biedt bij het benutten van de symmetrische kenmerken van de functies.

Als f even is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks cosinussen.

Als f oneven is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks Sines.

-Complexe notatie van de Fourier-serie

Als we een functie f (t) hebben, die voldoet aan alle ontwikkelbaarheidseisen van de Fourier-reeks, is het mogelijk om deze in het interval aan te duiden met behulp van de complexe notatie:

Toepassingen

Bron: pexels

Berekening van de fundamentele oplossing

De Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel bij de studie van partiële differentiaalvergelijkingen van het lineaire type met constante coëfficiënten. Ze gelden ook voor functies met onbegrensde domeinen.

Net als de Laplace-transformatie, transformeert de Fourier-transformatie een partiële afgeleide functie in een gewone differentiaalvergelijking die veel eenvoudiger te bedienen is.

Het Cauchy-probleem voor de warmtevergelijking presenteert een gebied van veelvuldige toepassing van de Fourier-transformatie waarbij de kern van warmte of de kernfunctie van Dirichlet wordt gegenereerd.

Wat betreft de berekening van de fundamentele oplossing, worden de volgende gevallen gepresenteerd waarin het gebruikelijk is om de Fourier-transformatie te vinden:

Signaaltheorie

De algemene reden voor de toepassing van de Fourier-transformatie in deze tak is voornamelijk te wijten aan de karakteristieke ontleding van een signaal als een oneindige superpositie van gemakkelijker te behandelen signalen.

Het kan een geluidsgolf zijn of een elektromagnetische golf, de Fourier-transformatie drukt het uit in een superpositie van eenvoudige golven. Deze weergave komt vrij vaak voor in de elektrotechniek.

Aan de andere kant zijn voorbeelden van toepassing van de Fourier-transformatie op het gebied van signaaltheorie:

Voorbeelden

voorbeeld 1

Definieer de Fourier-transformatie voor de volgende uitdrukking:

We kunnen het ook op de volgende manier vertegenwoordigen:

F (t) = Sen (t)

De rechthoekige puls is gedefinieerd:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

De Fourier-transformatie wordt toegepast op de volgende uitdrukking die lijkt op de modulatiestelling.

f (t) = p (t) Sen (t)

Waar: F = (1/2) i

En de Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:

F = (1/2) ik

Voorbeeld 2

Definieer de Fourier-transformatie voor de uitdrukking:

Aangezien f (h) een even functie is, kan dat worden gesteld

Integratie door onderdelen wordt toegepast door de variabelen en hun verschillen als volgt te selecteren

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Je hebt vervangen

Na evaluatie onder de fundamentele stelling van de calculus

Als we voorkennis met betrekking tot differentiaalvergelijkingen van de eerste orde toepassen, wordt de uitdrukking aangeduid als

Om K te krijgen evalueren we

Ten slotte wordt de Fourier-transformatie van de uitdrukking gedefinieerd als

Voorgestelde oefeningen

• 

• 

• Verkrijg de transformatie van de uitdrukking W / (1 + w ² )

Referenties

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-analyse. Addison– Wesley Iberoamericana, Autonome Universiteit van Madrid, 1995.
2. Lions, JL, wiskundige analyse en numerieke methoden voor wetenschap en technologie. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, Gauss-kernels hebben alleen Gauss-maximizers. Uitvinden. Wiskunde. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier-serie en integralen. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed.Hermann, Parijs, 1966.