PARABOLISCHE OPNAMEN: KENMERKEN, FORMULES EN VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN - FYSIEK - 2026

De parabolische van het werpen van een voorwerp of een projectielhoek en het laten bewegen onder invloed van de zwaartekracht. Als er geen rekening wordt gehouden met luchtweerstand, zal het object, ongeacht zijn aard, een paraboolboogpad volgen.

Het is een dagelijkse beweging, aangezien een van de meest populaire sporten die zijn waarbij ballen of ballen worden gegooid, met de hand, met de voet of met een instrument zoals bijvoorbeeld een racket of een knuppel.

Figuur 1. De waterstraal uit de sierfontein volgt een parabolisch pad. Bron: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

Voor zijn studie wordt het parabolische schot opgesplitst in twee over elkaar geplaatste bewegingen: de ene horizontaal zonder versnelling en de andere verticaal met een constante neerwaartse versnelling, wat de zwaartekracht is. Beide bewegingen hebben een beginsnelheid.

Laten we zeggen dat de horizontale beweging langs de x-as loopt en de verticale beweging langs de y-as. Elk van deze bewegingen is onafhankelijk van de andere.

Omdat het bepalen van de positie van het projectiel het hoofddoel is, is het noodzakelijk om een ​​geschikt referentiesysteem te kiezen. De details volgen.

Parabolische shotformules en vergelijkingen

Stel dat het object wordt gegooid met een hoek α ten opzichte van de horizontale en beginsnelheid v _of zoals weergegeven in de figuur hieronder links. Het parabolische schot is een beweging die plaatsvindt op het xy-vlak en in dat geval wordt de beginsnelheid als volgt ontleed:

Figuur 2. Links de beginsnelheid van het projectiel en rechts de positie op elk moment van de lancering. Bron: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

De positie van het projectiel, de rode stip in figuur 2, rechter afbeelding, heeft ook twee tijdsafhankelijke componenten, een op x en de andere op y. Positie is een vector die wordt aangeduid met r en de eenheden zijn lengte.

In de figuur valt de beginpositie van het projectiel samen met de oorsprong van het coördinatensysteem, dus x _o = 0, en _o = 0. Dit is niet altijd het geval, je kunt de oorsprong overal kiezen, maar deze keuze vereenvoudigt veel berekeningen.

Met betrekking tot de twee bewegingen in x en in y, dit zijn:

-x (t): het is een gelijkmatige rechtlijnige beweging.

-y (t): komt overeen met een gelijkmatig versnelde rechtlijnige beweging met g = 9,8 m / s ² en verticaal naar beneden gericht.

In wiskundige vorm:

De positievector is:

r (t) = ik + j

In deze vergelijkingen zal de oplettende lezer opmerken dat het minteken het gevolg is van de zwaartekracht die naar de grond wijst, de richting die als negatief is gekozen, terwijl naar boven als positief wordt beschouwd.

Aangezien snelheid de eerste afgeleide van positie is, onderscheid je eenvoudig r (t) met betrekking tot tijd en verkrijg je:

v (t) = v _o cos α ik + (v _o. sin α - gt) j

Ten slotte wordt de versnelling vectorieel uitgedrukt als:

een (t) = -g j

- Traject, maximale hoogte, maximale tijd en horizontaal bereik

Traject

Om de expliciete vergelijking van het traject te vinden, dat is de curve y (x), moeten we de tijdparameter elimineren, oplossen in de vergelijking voor x (t) en vervangen door y (t). De vereenvoudiging is wat bewerkelijk, maar uiteindelijk krijg je:

Maximale hoogte

De maximale hoogte treedt op als v _y = 0. Wetende dat er de volgende relatie is tussen positie en het kwadraat van de snelheid:

Figuur 3. De snelheid in het parabolische schot. Bron: Giambattista, A. Physics.

V _y = 0 maken net bij het bereiken van de maximale hoogte:

Met:

Maximale tijd

De maximale tijd is de tijd die het object nodig heeft om te bereiken en _max . Om het te berekenen wordt gebruikt:

Wetende dat v _y 0 wordt als t = t _max , resulteert dit in:

Maximaal horizontaal bereik en vliegtijd

Het bereik is erg belangrijk, omdat het aangeeft waar het object zal vallen. Op deze manier weten we of het het doelwit raakt of niet. Om het te vinden hebben we de vluchttijd, totale tijd of _v .

Uit de bovenstaande illustratie is het gemakkelijk te concluderen dat t _v = 2. t _max . Maar let op: dit is alleen waar als de lancering waterpas is, dat wil zeggen dat de hoogte van het startpunt gelijk is aan de hoogte van de aankomst. Anders wordt de tijd gevonden door de kwadratische vergelijking op te lossen die het resultaat is van het vervangen van de laatste en _laatste positie :

Het maximale horizontale bereik is in ieder geval:

Voorbeelden van parabolisch schieten

Het parabolische schot maakt deel uit van de beweging van mensen en dieren. Ook van bijna alle sporten en spellen waar de zwaartekracht tussenkomt. Bijvoorbeeld:

Parabolisch schieten bij menselijke activiteiten

-De steen gegooid door een katapult.

-De doelschop van de doelverdediger.

-De bal die door de werper wordt gegooid.

-De pijl die uit de boog komt.

- Allerlei sprongen

- Gooi een steen met een slinger.

- Elk werpwapen.

Figuur 4. De steen die door de katapult wordt geworpen en de bal die in de doeltrap wordt getrapt, zijn voorbeelden van parabolische schoten. Bron: Wikimedia Commons.

Het parabolische schot in de natuur

-Het water dat uit natuurlijke of kunstmatige stralen stroomt, zoals die uit een fontein.

-Stenen en lava die uit een vulkaan stromen.

-Een bal die tegen de stoep stuitert of een steen die op water stuitert.

-Alle soorten dieren die springen: kangoeroes, dolfijnen, gazellen, katten, kikkers, konijnen of insecten, om er maar een paar te noemen.

Figuur 5. De impala kan tot 3 meter springen. Bron: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Oefening

Een sprinkhaan springt onder een hoek van 55º met de horizontaal en landt 0,80 meter vooruit. Vind:

a) De maximale hoogte bereikt.

b) Als hij met dezelfde beginsnelheid zou springen, maar een hoek van 45º vormde, zou hij dan hoger gaan?

c) Wat kan er gezegd worden over het maximale horizontale bereik voor deze hoek?

Oplossing voor

Wanneer de door de opgave geleverde gegevens niet de beginsnelheid v bevatten _of de berekeningen wat omslachtiger zijn, maar uit de bekende vergelijkingen kan een nieuwe uitdrukking worden afgeleid. Beginnend vanaf:

Als het later landt, keert de hoogte terug naar 0, dus:

Omdat t _v een gemeenschappelijke factor is, vereenvoudigt het:

We kunnen t _v oplossen uit de eerste vergelijking:

En vervang in de tweede:

Bij het vermenigvuldigen van alle termen met v _of .cos α verandert de uitdrukking niet en verdwijnt de noemer:

Nu kunt u v _of o wissen _en ook de volgende identiteit vervangen:

zonde 2α = 2 zonde α. cos α → v _of ² sin 2α = gx _max

Bereken v _of ² :

De kreeft weet dezelfde horizontale snelheid te behouden, maar door de hoek te verkleinen:

Bereikt een lagere hoogte.

Oplossing c

Het maximale horizontale bereik is:

Door de hoek te veranderen, verandert ook het horizontale bereik:

x _max = 8,34 sin 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm

De sprong is nu langer. De lezer kan verifiëren dat dit maximaal is voor de hoek van 45 ° omdat:

sin 2α = sin 90 = 1.

Referenties

1. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, A. 2010. Physics. Tweede druk. McGraw Hill.
3. Giancoli, D. 2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, R. 1999. Physics. Vol. 1. 3e uitg. In het Spaans. Bedrijf Redactioneel Continental SA de CV
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 1.