TESSELLATIONS: KARAKTERISTIEK, TYPEN (REGELMATIG, ONREGELMATIG), VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De tegels zijn gecoate oppervlakken waarvan een of meer figuren tesserae worden genoemd. Ze zijn overal: in straten en allerlei soorten gebouwen. Tegels of tegels zijn platte stukken, meestal polygonen met congruente of isometrische kopieën, die volgens een regelmatig patroon worden geplaatst. Op deze manier blijven er geen ruimtes onbedekt en overlappen de tegels of mozaïeken elkaar niet.

In het geval dat een enkel type mozaïek wordt gebruikt gevormd door een regelmatige veelhoek, dan is er een regelmatige mozaïekpatroon, maar als twee of meer soorten regelmatige veelhoeken worden gebruikt, dan is het een semi-regelmatige mozaïekpatroon.

Figuur 1. Tegelvloer met onregelmatige mozaïekpatroon, omdat de rechthoeken niet-regelmatige polygonen zijn, ook al zijn de vierkanten dat wel. Bron: Pixabay.

Ten slotte, wanneer de polygonen die de mozaïekpatroon vormt niet regelmatig zijn, dan is het een onregelmatige mozaïekpatroon.

Het meest voorkomende type mozaïekpatroon wordt gevormd door rechthoekige en vooral vierkante mozaïeken. In figuur 1 hebben we een goed voorbeeld.

Geschiedenis van vlakvullingen

Tessellation wordt al duizenden jaren gebruikt om vloeren en muren van paleizen en tempels van verschillende culturen en religies te bedekken.

De Sumerische beschaving die rond 3500 voor Christus bloeide ten zuiden van Mesopotamië, tussen de rivieren de Eufraat en de Tigris, gebruikte bijvoorbeeld vlakvullingen in hun architectuur.

Figuur 2. Sumerische vlakvullingen bij de Istar-poort. Bron: Wikimedia Commons.

Tessellations hebben ook de interesse gewekt van wiskundigen van alle leeftijden: te beginnen met Archimedes in de 3e eeuw voor Christus, gevolgd door Johannes Kepler in 1619, Camille Jordan in 1880, tot de hedendaagse tijd met Roger Penrose.

Penrose creëerde een niet-periodiek mozaïekpatroon dat bekend staat als het Penrose-mozaïekpatroon. Dit zijn slechts enkele namen van wetenschappers die veel hebben bijgedragen aan mozaïekpatroon.

Regelmatige vlakvullingen

Regelmatige vlakverdelingen worden gemaakt met slechts één type regelmatige veelhoek. Aan de andere kant, om de mozaïekpatroon als normaal te beschouwen, moet elk punt van het vlak:

-Behoor tot het binnenste van de veelhoek

-Of aan de rand van twee aangrenzende polygonen

-Eindelijk kan het tot het gemeenschappelijke hoekpunt van ten minste drie polygonen behoren.

Met de bovenstaande beperkingen kan worden aangetoond dat alleen gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en zeshoeken een regelmatig mozaïekpatroon kunnen vormen.

Nomenclatuur

Er is een nomenclatuur om tessellations aan te duiden die bestaat uit een lijst met de klok mee en gescheiden door een punt, het aantal zijden van de polygonen die elk knooppunt (of hoekpunt) van de tessellatie omringen, altijd beginnend met de polygoon met het laagste nummer zijkanten.

Deze nomenclatuur is van toepassing op regelmatige en semi-regelmatige vlakverdelingen.

Voorbeeld 1: driehoekige mozaïekpatroon

Figuur 3 toont een regelmatige driehoekige mozaïekpatroon. Opgemerkt moet worden dat elk knooppunt van de driehoekige mozaïekpatroon het gemeenschappelijke hoekpunt is van zes gelijkzijdige driehoeken.

De manier om dit type mozaïekpatroon aan te duiden is 3.3.3.3.3.3, dat ook wordt aangeduid met 3 ⁶ .

Figuur 3. Regelmatige driehoekige mozaïekpatroon 3.3.3.3.3.3. Bron: Wikimedia Commons

Voorbeeld 2: vierkante mozaïekpatroon

Figuur 4 toont een regelmatig mozaïekpatroon dat alleen uit vierkanten bestaat. Opgemerkt moet worden dat elk knooppunt in het mozaïekpatroon wordt omgeven door vier congruente vierkanten. De notatie die wordt toegepast op dit type vierkante mozaïekpatroon is: 4.4.4.4 of alternatief 4 ⁴

Figuur 4. Vierkante mozaïekpatroon 4.4.4.4. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld 3: zeshoekige mozaïekpatroon

In een hexagonaal mozaïekpatroon is elk knooppunt omgeven door drie regelmatige zeshoeken, zoals weergegeven in figuur 5. De nomenclatuur voor een regelmatig hexagonaal mozaïekpatroon is 6.6.6 of 6 ³ .

Figuur 5. Zeshoekige mozaïekpatroon 6.6.6. Bron: Wikimedia Commons.

Semi-regelmatige vlakverdelingen

Semi-reguliere of Archimedische vlakverdelingen bestaan ​​uit twee of meer soorten regelmatige polygonen. Elk knooppunt is omgeven door de soorten polygonen waaruit het mozaïekpatroon bestaat, altijd in dezelfde volgorde, en de randvoorwaarde wordt volledig gedeeld met de buurman.

Er zijn acht semi-regelmatige vlakverdelingen:

1. 3.6.3.6 (tri-hexagonale mozaïekpatroon)
2. 3.3.3.3.6 (stompe zeshoekige mozaïekpatroon)
3. 3.3.3.4.4 (langwerpige driehoekige mozaïekpatroon)
4. 3.3.4.3.4 (stomp vierkant mozaïekpatroon)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonale mozaïekpatroon)
6. 4.8.8 (afgeknotte vierkante mozaïekpatroon)
7. 3.12.12 (afgeknotte zeshoekige mozaïekpatroon)
8. 4.6.12 (afgeknotte tri-hexagonale mozaïekpatroon)

Enkele voorbeelden van semi-regelmatige vlakverdelingen worden hieronder weergegeven.

Voorbeeld 4: Tri-hexagonale mozaïekpatroon

Het is degene die is samengesteld uit gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken in de 3.6.3.6-structuur, wat betekent dat een knooppunt van het mozaïekpatroon wordt omgeven (tot het voltooien van een draai) door een driehoek, een zeshoek, een driehoek en een zeshoek. Figuur 6 toont zo'n mozaïekpatroon.

Figuur 6. De tri-hexagonale mozaïekpatroon (3.6.3.6) is een voorbeeld van een semi-regelmatige mozaïekpatroon. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld 5: stompe zeshoekige mozaïekpatroon

Net als de mozaïekpatroon in het vorige voorbeeld, bestaat deze ook uit driehoeken en zeshoeken, maar hun verdeling rond een knoop is 3.3.3.3.6. Figuur 7 illustreert duidelijk dit type mozaïekpatroon.

Figuur 7. De stompe zeshoekige mozaïekpatroon bestaat uit een zeshoek omgeven door 16 driehoeken in de 3.3.3.3.6-configuratie. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld 6: rhombi-tri-hexagonale mozaïekpatroon

Het is een mozaïekpatroon bestaande uit driehoeken, vierkanten en zeshoeken, in de configuratie 3.4.6.4, die wordt weergegeven in figuur 8.

Figuur 8. Semi-regelmatige mozaïekpatroon bestaande uit een driehoek, een vierkant en een zeshoek in de 3.4.6.4-configuratie. Bron: Wikimedia Commons.

Onregelmatige vlakverdelingen

Onregelmatige vlakverdelingen zijn die welke worden gevormd door onregelmatige veelhoeken of door regelmatige veelhoeken, maar die niet voldoen aan het criterium dat een knooppunt een hoekpunt is van ten minste drie veelhoeken.

Voorbeeld 7

Figuur 9 toont een voorbeeld van een onregelmatige mozaïekpatroon, waarin alle polygonen regelmatig en congruent zijn. Het is onregelmatig omdat een knoop geen gemeenschappelijk hoekpunt is van ten minste drie vierkanten en er ook aangrenzende vierkanten zijn die een rand niet volledig delen.

Figuur 9. Ook al zijn alle tegels congruente vierkanten, dit is een duidelijk voorbeeld van onregelmatige mozaïekpatronen. Bron: F. Zapata.

Voorbeeld 8

Het parallellogram betegelt een plat oppervlak, maar tenzij het een vierkant is, kan het geen regelmatige mozaïekpatroon vormen.

Figuur 10. Een mozaïekpatroon gevormd door parallellogrammen is onregelmatig, aangezien de mozaïeken niet-regelmatige veelhoeken zijn. Bron: F. Zapata.

Voorbeeld 9

Niet-regelmatige zeshoeken met centrale symmetrie tessellate een plat oppervlak, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Figuur 11. Zeshoeken met centrale symmetrie, zelfs als ze geen regelmatig mozaïekpatroon zijn in het vlak. Bron: F. Zapata.

Voorbeeld 10: mozaïekpatroon van Caïro

Het is een zeer interessante mozaïekpatroon, bestaande uit vijfhoeken met zijden van gelijke lengte maar met ongelijke hoeken, waarvan er twee recht zijn en de andere drie elk 120 ° hebben.

De naam komt van het feit dat deze mozaïekpatroon wordt gevonden in de bestrating van enkele straten van Caïro in Egypte. Figuur 12 toont de mozaïekpatroon van Caïro.

Figuur 12. Cairo mozaïekpatroon. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld 11: Al-Andalus mozaïekpatroon

De mozaïekpatronen in sommige delen van Andalusië en Noord-Afrika worden gekenmerkt door geometrie en epigrafie, naast decoratieve elementen zoals vegetatie.

Het mozaïekpatroon van paleizen zoals dat van het Alhambra bestond uit tegels die waren gemaakt van keramische stukken in vele kleuren, met meerdere (zo niet oneindige) vormen die loslieten in geometrische patronen.

Figuur 13. Mozaïek van het Alhambra-paleis. Tartaglia / Openbaar domein

Voorbeeld 12: mozaïekpatroon in videogames

Ook bekend als tesellatie, is het een van de meest populaire nieuwigheden in videogames. Het gaat om het maken van texturen om de mozaïekpatroon van de verschillende scenario's die in de simulator verschijnen, te simuleren.

Dit is een duidelijke weerspiegeling dat deze coatings blijven evolueren en de grenzen van de werkelijkheid overschrijden.

Referenties

1. Geniet van wiskunde. Tessellations. Hersteld van: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellations loste voorbeelden op. Hersteld van: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demireguliere mozaïekpatroon." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Mozaïekpatroon. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regelmatige mozaïekpatroon. Hersteld van: es.wikipedia.com