- Bewijs van de fundamentele stelling van de rekenkunde
- Uniciteit van priemfactorisatie
- Toepassingen
- Priemgetallen in de natuur
- Priemgetallen en online winkelen
- Opgeloste oefeningen
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- Referenties
De fundamentele stelling van de rekenkunde stelt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden ontleed als een product van priemgetallen - sommige kunnen worden herhaald - en deze vorm is uniek voor dat getal, hoewel de volgorde van de factoren kan verschillen.
Onthoud dat een priemgetal p er een is die alleen zichzelf toelaat en 1 als positieve delers De volgende getallen zijn priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13 enzovoort, aangezien er oneindigheden zijn. Het getal 1 wordt niet als een priemgetal beschouwd, omdat het maar één deler heeft.
Figuur 1. Euclides (links) bewees de fundamentele stelling van de rekenkunde in zijn boek Elements (350 v.Chr.), En het eerste volledige bewijs is te danken aan Carl F. Gauss (1777-1855) (rechts). Bron: Wikimedia Commons.
Aan de andere kant worden de nummers die niet aan het bovenstaande voldoen, samengestelde nummers genoemd, zoals 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Laten we bijvoorbeeld het nummer 10 nemen en meteen zien we dat het kan worden ontleed als een product van 2 en 5:
10 = 2 × 5
Zowel 2 als 5 zijn in feite priemgetallen. De stelling stelt dat dit mogelijk is voor elk getal n:
Waar p 1 , p 2 , p 3 … p r priemgetallen zijn en k 1 , k 2 , k 3 ,… k r natuurlijke getallen zijn. De priemgetallen fungeren dus als de bouwstenen waaruit, door vermenigvuldiging, de natuurlijke getallen worden opgebouwd.
Bewijs van de fundamentele stelling van de rekenkunde
We beginnen met aan te tonen dat elk getal kan worden opgesplitst in priemfactoren. Laat een natuurlijk getal n> 1, priemgetal of samengesteld getal zijn.
Als n = 2 bijvoorbeeld, kan het worden uitgedrukt als: 2 = 1 × 2, wat een priemgetal is. Ga op dezelfde manier verder met de volgende nummers:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
We gaan zo door en ontbinden alle natuurlijke getallen totdat we het getal n -1 bereiken. Laten we kijken of we het kunnen doen met het volgende nummer: n.
Als n een priemgetal is, kunnen we het ontleden als n = 1 × n, maar stel dat n samengesteld is en een deler d heeft, logisch gezien kleiner dan n:
1 <d <n.
Als n / d = p 1 , met p 1 een priemgetal, dan wordt n geschreven als:
n = p 1 .d
Als d een priemgetal is, is er niets meer te doen, maar als dat niet zo is, is er een getal n 2 dat een deler is van d en kleiner dan dit: n 2 <d, dus d kan door een ander worden geschreven als het product van n 2 priemgetal p 2 :
d = p 2 n 2
Dat bij het vervangen van het oorspronkelijke nummer n zou geven:
n = p 1 .p 2 .n 2
Stel nu dat n 2 ook geen priemgetal is en we schrijven het als het product van een priemgetal p 3 , door zijn deler n 3 , zodat n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
We herhalen deze procedure een eindig aantal keren totdat we het volgende verkrijgen:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Dit betekent dat het mogelijk is om alle gehele getallen van 2 tot het getal n te ontleden als een product van priemgetallen.
Uniciteit van priemfactorisatie
Laten we nu nagaan of, afgezien van de volgorde van de factoren, deze ontbinding uniek is. Stel dat n op twee manieren kan worden geschreven:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (met r ≤ s)
Natuurlijk zijn q 1 , q 2 , q 3 … ook priemgetallen. Aangezien p 1 deelt (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), is p 1 gelijk aan een van de “q”, het maakt niet uit welke, dus we kunnen zeggen dat p 1 = q 1 . We delen n door p 1 en krijgen:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
We herhalen de procedure totdat we alles door p r delen , dan krijgen we:
1 = q r + 1 … q s
Maar het is niet mogelijk om te komen tot q r + 1 … q s = 1 als r <s, alleen als r = s. Hoewel door toe te geven dat r = s, ook wordt toegegeven dat de "p" en de "q" hetzelfde zijn. Daarom is de ontleding uniek.
Toepassingen
Zoals we eerder hebben gezegd, vertegenwoordigen de priemgetallen, als je wilt, de atomen van de getallen, hun basiscomponenten. De fundamentele stelling van de rekenkunde heeft dus talloze toepassingen, de meest voor de hand liggende: we kunnen gemakkelijker met grote getallen werken als we ze uitdrukken als het product van kleinere getallen.
Op dezelfde manier kunnen we het grootste gemene veelvoud (LCM) en de grootste gemene deler (GCF) vinden, een procedure die ons helpt om gemakkelijker sommen breuken te maken, wortels van grote getallen te vinden of met radicalen te werken, te rationaliseren en op te lossen toepassingsproblemen van zeer uiteenlopende aard.
Bovendien zijn priemgetallen buitengewoon raadselachtig. Een patroon wordt er nog niet in herkend en het is niet mogelijk om te weten welk het volgende zal zijn. Het grootste tot dusverre werd gevonden door computers en heeft 24.862.048 cijfers, hoewel de nieuwe priemgetallen steeds minder vaak voorkomen.
Priemgetallen in de natuur
De krekels, cicádidos of krekels die in het noordoosten van de Verenigde Staten leven, ontstaan in cycli van 13 of 17 jaar. Het zijn beide priemgetallen.
Op deze manier vermijden de krekels samenvallen met roofdieren of concurrenten die een andere geboorteperiode hebben, noch concurreren de verschillende soorten krekels met elkaar, aangezien ze niet samenvallen in hetzelfde jaar.
Figuur 2. De Magicicada-cicade van het oosten van de Verenigde Staten komt elke 13 tot 17 jaar voor. Bron: Pxfuel.
Priemgetallen en online winkelen
Priemgetallen worden in cryptografie gebruikt om creditcardgegevens geheim te houden bij aankopen via internet. Op deze manier bereiken de gegevens die de koper precies de winkel bereikt zonder dat ze verloren gaan of in handen vallen van gewetenloze mensen.
Hoe? De gegevens op de kaarten zijn gecodeerd in een getal N dat kan worden uitgedrukt als het product van priemgetallen. Deze priemgetallen zijn de sleutel die de gegevens onthullen, maar ze zijn onbekend bij het publiek, ze kunnen alleen worden gedecodeerd op het web waarnaar ze zijn doorverwezen.
Het opsplitsen van een getal in factoren is een gemakkelijke taak als de getallen klein zijn (zie de opgeloste opgaven), maar in dit geval worden priemgetallen van 100 cijfers als sleutel gebruikt, die bij het vermenigvuldigen veel grotere getallen opleveren, waarvan de gedetailleerde ontbinding een enorme taak met zich meebrengt .
Opgeloste oefeningen
- Oefening 1
Verdeel 1029 in primaire factoren.
Oplossing
1029 is deelbaar door 3. Het is bekend omdat bij het optellen van de cijfers de som een veelvoud is van 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Aangezien de volgorde van de factoren het product niet verandert, kunnen we daar beginnen:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Aan de andere kant 343 = 7 3 , dan:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
En aangezien zowel 3 als 7 priemgetallen zijn, is dit de ontbinding van 1029.
- Oefening 2
Factor de trinominale x 2 + 42x + 432.
Oplossing
De trinominale wordt herschreven in de vorm (x + a). (x + b) en we moeten de waarden van a en b vinden, zodat:
a + b = 42; ab = 432
Het getal 432 wordt opgesplitst in priemfactoren en van daaruit wordt de juiste combinatie met vallen en opstaan gekozen, zodat de toegevoegde factoren 42 opleveren.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 = …
Vanaf hier zijn er verschillende mogelijkheden om 432 te schrijven:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
En alles kan worden gevonden door producten tussen de priemfactoren te combineren, maar om de voorgestelde oefening op te lossen, is de enige geschikte combinatie: 432 = 24 × 18 sinds 24 + 18 = 42, dan:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Referenties
- Baldor, A. 1986. Theoretische praktische rekenkunde. Bedrijf Culturele Editora de Textos Americanos SA
- BBC Wereld. De verborgen natuurcode. Hersteld van: bbc.com.
- De Leon, Manuel Priemgetallen: de bewakers van internet. Hersteld van: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Getaltheorie I: Fundamentele Theorema van de rekenkunde. Hersteld van: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. De fundamentele stelling van rekenkunde. Hersteld van: es.wikipedia.org.