DE STELLING VAN VARIGNON: VOORBEELDEN EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De stelling Varignon stelt dat als een vierhoek continu verbonden middelpunten van de zijkanten is, een parallellogram wordt gegenereerd. Deze stelling werd geformuleerd door Pierre Varignon en in 1731 gepubliceerd in het boek Elements of mathematics ”.

De publicatie van het boek vond jaren na zijn dood plaats. Omdat het Varignon was die deze stelling introduceerde, is het parallellogram naar hem vernoemd. De stelling is gebaseerd op Euclidische meetkunde en presenteert geometrische relaties van de vierhoeken.

Wat is de stelling van Varignon?

Varignon verklaarde dat een figuur die wordt gedefinieerd door de middelpunten van een vierhoek altijd zal resulteren in een parallellogram, en het gebied van het parallellogram zal altijd de helft zijn van het gebied van de vierhoek als het vlak en convex is. Bijvoorbeeld:

In de figuur zie je een vierhoek met een gebied X, waarbij de middelpunten van de zijkanten worden weergegeven door E, F, G en H en, wanneer ze zijn samengevoegd, een parallellogram vormen. Het gebied van de vierhoek is de som van de gebieden van de driehoeken die worden gevormd, en de helft hiervan komt overeen met het gebied van het parallellogram.

Aangezien de oppervlakte van het parallellogram de helft is van de oppervlakte van de vierhoek, kan de omtrek van dat parallellogram worden bepaald.

De omtrek is dus gelijk aan de som van de lengtes van de diagonalen van de vierhoek; dit komt doordat de medianen van de vierhoek de diagonalen van het parallellogram zijn.

Aan de andere kant, als de lengtes van de diagonalen van de vierhoek precies hetzelfde zijn, zal het parallellogram een ​​ruit zijn. Bijvoorbeeld:

Uit de figuur is te zien dat door de middelpunten van de zijkanten van de vierhoek te verbinden, een ruit wordt verkregen. Aan de andere kant, als de diagonalen van de vierhoek loodrecht zijn, zal het parallellogram een ​​rechthoek zijn.

Ook zal het parallellogram een ​​vierkant zijn als de vierhoek de diagonalen heeft met dezelfde lengte en ook loodrecht staan.

De stelling wordt niet alleen vervuld in vlakke vierhoeken, het wordt ook geïmplementeerd in ruimtelijke geometrie of in grote afmetingen; dat wil zeggen, in die vierhoeken die niet convex zijn. Een voorbeeld hiervan kan een octaëder zijn, waarbij de middelpunten de centroïden van elk vlak zijn en een parallellepipedum vormen.

Op deze manier kunnen parallellogrammen worden verkregen door de middelpunten van verschillende figuren samen te voegen. Een eenvoudige manier om te controleren of dit echt waar is, is dat de tegenoverliggende zijden parallel moeten zijn wanneer ze zijn uitgeschoven.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

Uitbreiding van tegenoverliggende zijden om te laten zien dat het een parallellogram is:

Tweede voorbeeld

Door de middelpunten van een ruit samen te voegen, wordt een rechthoek verkregen:

De stelling wordt gebruikt bij de vereniging van punten in het midden van de zijkanten van een vierhoek en kan ook worden gebruikt voor andere soorten punten, zoals een trisectie, penta-sectie of zelfs een oneindig aantal secties ( nth), om de zijden van een vierhoek te verdelen in segmenten die evenredig zijn.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

In de figuur hebben we een vierhoek ABCD van gebied Z, waar de middelpunten van de zijkanten PQSR zijn. Controleer of er een Varignon-parallellogram wordt gevormd.

Oplossing

Er kan worden geverifieerd dat bij het samenvoegen van de PQSR-punten een Varignon-parallellogram wordt gevormd, juist omdat de middelpunten van een vierhoek in de verklaring worden gegeven.

Om dit aan te tonen, worden eerst de middelpunten PQSR samengevoegd, zodat te zien is dat er nog een vierhoek wordt gevormd. Om te bewijzen dat het een parallellogram is, hoef je alleen maar een rechte lijn te trekken van punt C naar punt A, zodat je kunt zien dat CA evenwijdig is aan PQ en RS.

Op dezelfde manier kan bij het verlengen van de zijkanten PQRS worden gezien dat PQ en RS parallel zijn, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Oefening 2

We hebben een rechthoek zodat de lengtes van al zijn zijden gelijk zijn. Door de middelpunten van deze zijden met elkaar te verbinden, wordt een ruit ABCD gevormd, die wordt gedeeld door twee diagonalen AC = 7 cm en BD = 10 cm, die samenvallen met de afmetingen van de zijden van de rechthoek. Bepaal de gebieden van de ruit en de rechthoek.

Oplossing

Onthoud dat de oppervlakte van het resulterende parallellogram de helft van de vierhoek is, de oppervlakte hiervan kan worden bepaald wetende dat de maat van de diagonalen samenvalt met de zijkanten van de rechthoek. Dus je moet:

AB = D

CD = d

Een _rechthoek = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

Een _ruit = een _rechthoek / 2

Een _ruit = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Oefening 3

In de figuur is er een vierhoek die de vereniging van de punten EFGH heeft, de lengtes van de segmenten zijn gegeven. Bepaal of de vereniging van EFGH een parallellogram is.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Oplossing

Aangezien de lengtes van de segmenten zijn gegeven, kan worden gecontroleerd of er evenredigheid is tussen de segmenten; dat wil zeggen, u kunt weten of ze parallel zijn, waarbij u de segmenten van de vierhoek als volgt met elkaar in verband brengt:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Vervolgens wordt de proportionaliteit gecontroleerd, aangezien:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Evenzo kan men bij het trekken van een lijn van punt B naar punt D zien dat EH evenwijdig is aan BD, net zoals BD parallel is aan FG. Aan de andere kant is EF parallel aan GH.

Zo kan worden vastgesteld dat EFGH een parallellogram is, omdat de tegenoverliggende zijden parallel zijn.

Referenties

1. Andres, T. (2010). Wiskundige Olympiade Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Vliegtuig Euclidische Geometrie. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studie van geometrieën. Mexico: Spaans - Amerikaans.
4. Ramo, GP (1998). Onbekende oplossingen voor de problemen van Fermat-Torricelli. ISBN - onafhankelijk werk.
5. Vera, F. (1943). Elementen van geometrie. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Sommige avonturen in Euclidische meetkunde. Zuid-Afrika.