DE STELLING VAN TORRICELLI: WAARUIT HET BESTAAT, FORMULES EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2025

De stelling Torricelli of het principe Torricelli stelt dat de snelheid van de vloeistof die de opening in de wand van een tank of container verlaat, identiek is aan die waarbij een object vrij valt van een hoogte gelijk aan het oppervlak vrij van vloeistof naar het gat.

De stelling wordt geïllustreerd in de volgende afbeelding:

Illustratie van de stelling van Torricelli. Bron: zelf gemaakt.

Vanwege de stelling van Torricelli kunnen we dan stellen dat de uitgangssnelheid van de vloeistof door een opening die zich op hoogte h onder het vrije oppervlak van de vloeistof bevindt, wordt gegeven door de volgende formule:

Waar g de versnelling van de zwaartekracht is en h de hoogte van het gat tot het vrije oppervlak van de vloeistof.

Evangelista Torricelli was een natuurkundige en wiskundige geboren in de stad Faenza, Italië in 1608. Torricelli wordt gecrediteerd voor de uitvinding van de kwikbarometer en als erkenning is er een drukeenheid genaamd "torr", gelijk aan één millimeter kwik (mm van Hg).

Bewijs van de stelling

In de stelling van Torricelli en in de formule die de snelheid geeft, wordt ervan uitgegaan dat de viscositeitsverliezen verwaarloosbaar zijn, net zoals bij vrije val wordt aangenomen dat de wrijving als gevolg van de lucht rondom het vallende object verwaarloosbaar is.

De bovenstaande aanname is in de meeste gevallen redelijk en houdt ook het behoud van mechanische energie in.

Om de stelling te bewijzen, zullen we eerst de formule vinden voor de snelheid voor een object dat wordt vrijgegeven met een beginsnelheid nul, vanaf dezelfde hoogte als het vloeistofoppervlak in de tank.

Het principe van behoud van energie zal worden toegepast om de snelheid van het vallende object te verkrijgen net wanneer het een hoogte h daalt die gelijk is aan die van het gat naar het vrije oppervlak.

Aangezien er geen wrijvingsverliezen zijn, is het geldig om het principe van behoud van mechanische energie toe te passen. Stel dat het vallende object massa m heeft en de hoogte h wordt gemeten vanaf het uitgangsniveau van de vloeistof.

Vallend object

Wanneer het object wordt losgelaten van een hoogte die gelijk is aan die van het vrije oppervlak van de vloeistof, is zijn energie alleen gravitatiepotentieel, aangezien zijn snelheid nul is en daarom zijn kinetische energie nul is. De potentiële energie Ep wordt gegeven door:

Ep = mgh

Wanneer het voor het gat passeert, is de hoogte nul, dan is de potentiële energie nul, dus het heeft alleen kinetische energie Ec gegeven door:

Ec = ½ mv ²

Omdat de energie wordt behouden Ep = Ec van wat wordt verkregen:

½ mv ² = mgh

Oplossend voor de snelheid v, wordt de Torricelli-formule verkregen:

Er komt vloeistof uit het gat

Vervolgens gaan we de uittreedsnelheid van de vloeistof door het gat vinden, om aan te tonen dat deze samenvalt met wat net berekend is voor een vrij vallend object.

Hiervoor baseren we ons op het principe van Bernoulli, dat niets meer is dan het behoud van energie toegepast op vloeistoffen.

Het principe van Bernoulli is als volgt geformuleerd:

De interpretatie van deze formule is als volgt:

• De eerste term staat voor de kinetische energie van de vloeistof per volume-eenheid
• De tweede vertegenwoordigt het werk dat wordt gedaan door druk per oppervlakte-eenheid in dwarsdoorsnede
• De derde vertegenwoordigt de potentiële zwaartekrachtenergie per volume-eenheid vloeistof.

Aangezien we uitgaan van het uitgangspunt dat het een ideale vloeistof is, in niet-turbulente omstandigheden met relatief lage snelheden, is het relevant om te bevestigen dat de mechanische energie per volume-eenheid in de vloeistof constant is in al zijn gebieden of dwarsdoorsneden.

In deze formule is V de snelheid van de vloeistof, ρ de dichtheid van de vloeistof, P de druk en z de verticale positie.

De onderstaande figuur toont de formule van Torricelli uitgaande van het principe van Bernoulli.

We passen de formule van Bernoulli toe op het vrije oppervlak van de vloeistof dat we aanduiden met (1) en op het uitgangsgat dat we aanduiden met (2). De nulhoogte is gelijk met het uitlaatgat gekozen.

Onder de aanname dat de doorsnede in (1) veel groter is dan in (2), kunnen we dan aannemen dat de daalsnelheid van de vloeistof in (1) praktisch verwaarloosbaar is.

Om deze reden is V ₁ = 0 ingesteld , de druk waaraan de vloeistof wordt blootgesteld in (1) is atmosferische druk en de hoogte gemeten vanaf de opening is h.

Voor het uitlaatgedeelte (2) nemen we aan dat de uitlaatsnelheid v is, de druk waaraan de vloeistof aan de uitlaat wordt blootgesteld ook atmosferische druk is en de uitlaathoogte nul is.

De waarden die overeenkomen met secties (1) en (2) worden in de formule van Bernoulli vervangen en gelijk gesteld. De gelijkheid geldt omdat we aannemen dat de vloeistof ideaal is en er geen viskeuze wrijvingsverliezen zijn. Zodra alle termen zijn vereenvoudigd, wordt de snelheid bij het uitgangsgat verkregen.

Bovenstaand kader laat zien dat het verkregen resultaat hetzelfde is als dat van een vrij vallend object,

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

I ) De kleine uitlaatpijp van een watertank bevindt zich 3 m onder het wateroppervlak. Bereken de uitstroomsnelheid van het water.

Oplossing:

De volgende afbeelding laat zien hoe de formule van Torricelli in dit geval wordt toegepast.

Oefening 2

II ) Stel dat de uitlaatpijp van de tank uit de vorige oefening een diameter heeft van 1 cm, bereken dan de waterafvoerstroom.

Oplossing:

De stroomsnelheid is het volume vloeistof dat per tijdseenheid naar buiten komt en wordt eenvoudig berekend door het oppervlak van de uitgangsopening te vermenigvuldigen met de uitgangssnelheid.

De volgende afbeelding toont de details van de berekening.

Oefening 3

III ) Bepaal hoe hoog het vrije oppervlak van het water in een bak is, als je dat weet

dat in een gat in de bodem van de container het water met 10 m / s naar buiten komt.

Oplossing:

Zelfs als het gat zich in de bodem van de container bevindt, kan de Torricelli-formule nog steeds worden toegepast.

De volgende afbeelding toont de details van de berekeningen.

Referenties

1. Wikipedia. De stelling van Torricelli.
2. Hewitt, P. Conceptual Physical Science. Vijfde editie .119.
3. Jong, Hugh. 2016. Sears-Zemansky's University Physics with Modern Physics. 14e Ed. Pearson. 384.