DE STELLING VAN MILETUS: EERSTE, TWEEDE EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De eerste en tweede stelling van Thales van Miletus zijn gebaseerd op het bepalen van driehoeken uit gelijkaardige (eerste stelling) of uit cirkels (tweede stelling). Ze zijn op verschillende gebieden erg nuttig geweest. De eerste stelling was bijvoorbeeld erg handig voor het meten van grote constructies wanneer er geen geavanceerde meetinstrumenten waren.

Thales van Miletus was een Griekse wiskundige die grote bijdragen leverde aan de meetkunde, waarvan deze twee stellingen opvallen (in sommige teksten wordt hij ook geschreven als Thales) en hun nuttige toepassingen. Deze resultaten zijn door de geschiedenis heen gebruikt en hebben het mogelijk gemaakt om een ​​breed scala aan geometrische problemen op te lossen.

Thales van Miletus

Thales 'eerste stelling

De eerste stelling van Thales is een zeer nuttig hulpmiddel waarmee onder andere een driehoek kan worden geconstrueerd die lijkt op een andere eerder bekende. Van hieruit worden verschillende versies van de stelling afgeleid die in meerdere contexten kunnen worden toegepast.

Laten we, voordat we uw verklaring geven, enkele ideeën over gelijkenis van driehoeken in herinnering brengen. In wezen zijn twee driehoeken vergelijkbaar als hun hoeken congruent zijn (ze hebben dezelfde maat). Dit resulteert in het feit dat als twee driehoeken vergelijkbaar zijn, hun overeenkomstige (of homologe) zijden proportioneel zijn.

De eerste stelling van Thales stelt dat als een lijn parallel aan een van zijn zijden in een bepaalde driehoek wordt getrokken, de nieuwe verkregen driehoek vergelijkbaar zal zijn met de oorspronkelijke driehoek.

Er wordt ook een relatie verkregen tussen de hoeken die worden gevormd, zoals weergegeven in de volgende afbeelding.

Toepassing

Onder de vele toepassingen valt er een van bijzonder belang op en heeft deze te maken met een van de manieren waarop metingen werden gedaan aan grote constructies in de oudheid, een tijd waarin Thales leefde en waarin er geen moderne meetapparatuur was die ze bestaan ​​nu.

Er wordt gezegd dat Thales er op deze manier in slaagde om de hoogste piramide van Egypte, Cheops, te meten. Hiervoor veronderstelde Thales dat de reflecties van de zonnestralen de grond raakten en parallelle lijnen vormden. Onder deze aanname spijkerde hij een stok of stok verticaal in de grond.

Vervolgens gebruikte hij de gelijkenis van de twee resulterende driehoeken, een gevormd door de lengte van de schaduw van de piramide (die gemakkelijk kan worden berekend) en de hoogte van de piramide (het onbekende), en de andere gevormd door de lengte van de schaduw. en de hoogte van de staaf (die ook gemakkelijk kan worden berekend).

Met behulp van de proportionaliteit tussen deze lengtes kan de hoogte van de piramide worden opgelost en gekend.

Hoewel deze meetmethode een aanzienlijke benaderingsfout kan opleveren met betrekking tot de nauwkeurigheid van de hoogte en afhangt van de parallelliteit van de zonnestralen (die op zijn beurt afhangt van een precieze tijd), moet worden erkend dat het een zeer ingenieus idee is. en dat het voor die tijd een goed meetalternatief bood.

Voorbeelden

Zoek de waarde van x in elk geval:

Thales 'tweede stelling

De tweede stelling van Thales bepaalt een rechthoekige driehoek ingeschreven in een cirkel op elk punt van hetzelfde.

Een driehoek die op een omtrek is ingeschreven, is een driehoek waarvan de hoekpunten op de omtrek liggen en er dus in blijven.

Specifiek stelt de tweede stelling van Thales het volgende: gegeven een omtrek van middelpunt O en diameter AC, bepaalt elk punt B van de omtrek (behalve A en C) een rechthoekige driehoek ABC, met een rechte hoek

Laten we ter rechtvaardiging opmerken dat zowel OA als OB en OC overeenkomen met de straal van de omtrek; daarom zijn hun afmetingen hetzelfde. Hieruit volgt dat de driehoeken OAB en OCB gelijkbenig zijn, waar

Het is bekend dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan 180º. Gebruikend dit met driehoek ABC hebben we:

2b + 2a = 180º.

Op equivalente wijze hebben we dat b + a = 90º en b + a =

Merk op dat de rechthoekige driehoek die wordt verschaft door de tweede stelling van Thales precies degene is waarvan de hypotenusa gelijk is aan de diameter van de omtrek. Daarom wordt het volledig bepaald door de halve cirkel die de punten van de driehoek bevat; in dit geval de bovenste halve cirkel.

Laten we ook opmerken dat in de rechthoekige driehoek die is verkregen met behulp van de tweede stelling van Thales, de hypotenusa in twee gelijke delen is verdeeld door OA en OC (de straal). Deze maat is op zijn beurt gelijk aan het segment OB (ook de straal), die overeenkomt met de mediaan van de driehoek ABC door B.

Met andere woorden, de lengte van de mediaan van de rechthoekige driehoek ABC die overeenkomt met hoekpunt B wordt volledig bepaald door de helft van de hypotenusa. Bedenk dat de mediaan van een driehoek het segment is van een van de hoekpunten tot het middelpunt van de tegenoverliggende zijde; in dit geval het BO-segment.

Omgeschreven singel

Een andere manier om naar de tweede stelling van Thales te kijken, is via een omtrek die wordt begrensd door een rechthoekige driehoek.

In het algemeen bestaat een omtrek die wordt omcirkeld door een veelhoek uit de omtrek die door elk van zijn hoekpunten gaat, wanneer het mogelijk is om deze te tekenen.

Met behulp van de tweede stelling van Thales, gegeven een rechthoekige driehoek, kunnen we altijd een omtrek omschreven construeren, met een straal die gelijk is aan de helft van de hypotenusa en een circumcenter (het midden van de omtrek) gelijk aan het middelpunt van de hypotenusa.

Toepassing

Een zeer belangrijke toepassing van de tweede stelling van Thales, en misschien wel de meest gebruikte, is het vinden van de raaklijnen aan een gegeven cirkel, door een punt P daarbuiten (bekend).

Merk op dat gegeven een cirkel (in blauw getekend in de onderstaande afbeelding) en een buitenste punt P, er twee lijnen zijn die de cirkel raken en door P gaan. Laat T en T 'de raakpunten zijn, r de straal van de cirkel, en Of het centrum.

Het is bekend dat het segment dat van het middelpunt van een cirkel naar een raakpunt daarvan gaat, loodrecht op deze raaklijn staat. Dus de hoek OTP heeft gelijk.

Uit wat we eerder zagen in de eerste stelling van Thales en zijn verschillende versies, zien we dat het mogelijk is om de OTP-driehoek in een andere cirkel (in rood) te schrijven.

Evenzo wordt verkregen dat de driehoek OT'P kan worden ingeschreven binnen dezelfde voorgaande omtrek.

Door de tweede stelling van Thales kunnen we ook verkrijgen dat de diameter van deze nieuwe omtrek precies de hypotenusa is van de driehoek OTP (die gelijk is aan de hypotenusa van de driehoek OT'P), en het midden is het middelpunt van deze hypotenusa.

Om het middelpunt van de nieuwe omtrek te berekenen, volstaat het om het middelpunt tussen het middelpunt - zeg M - van de oorspronkelijke omtrek (die we al kennen) en het punt P (die we ook kennen) te berekenen. Dan is de straal de afstand tussen dit punt M en P.

Met de straal en het middelpunt van de rode cirkel kunnen we de Cartesiaanse vergelijking vinden, waarvan we ons herinneren dat deze wordt gegeven door (xh) ² + (yk) ² = c ² , waarbij c de straal is en het punt (h, k) het midden van de omtrek.

Nu we de vergelijkingen van beide cirkels kennen, kunnen we ze doorsnijden door het stelsel van vergelijkingen die erdoor gevormd zijn op te lossen en zo de raakpunten T en T 'te verkrijgen. Om ten slotte de gewenste raaklijnen te kennen, is het voldoende om de vergelijking te vinden van de lijnen die door T en P gaan, en door T 'en P.

Voorbeeld

Beschouw een omtrek met diameter AC, middelpunt O en straal 1 cm. Laat B een punt op de omtrek zijn zodat AB = AC. Hoe lang is AB?

Oplossing

Volgens de tweede stelling van Thales hebben we dat de driehoek ABC gelijk is en de hypotenusa overeenkomt met de diameter, die in dit geval 2 cm meet (de straal is 1 cm). Dan hebben we volgens de stelling van Pythagoras:

Referenties

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometrie en trigonometrie. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. NAAR. (2004). Methodologie en toepassingen van wiskunde in het ESO-ministerie van Onderwijs.
4. IGER. (2014). Wiskunde Tweede semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Wiskunde 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). Een geschiedenis van de wiskunde: uitdagingen en veroveringen door zijn karakters. Redactionele Visie Libros.
8. Viloria, N., en Leal, J. (2005). Plane analytische meetkunde. Redactioneel Venezolana CA