STELLING VAN STEINER: UITLEG, TOEPASSINGEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2025

De stelling van Steiner , ook bekend als de stelling van de evenwijdige as, om het traagheidsmoment van een verlengd lichaam te beoordelen, rond een as die evenwijdig is aan een andere as die door het massamiddelpunt van het object gaat.

Het werd ontdekt door de Zwitserse wiskundige Jakob Steiner (1796-1863) en stelt het volgende: Laat I _CM het traagheidsmoment zijn van het object ten opzichte van een as die door zijn massamiddelpunt gaat CM en I _z het traagheidsmoment ten opzichte van een andere as parallel hieraan.

Figuur 1. Een rechthoekige deur die op zijn scharnieren draait, heeft een traagheidsmoment dat kan worden berekend door de stelling van Steiner toe te passen. Bron: Pixabay.

Als we de afstand D kennen die beide assen en de massa M van het lichaam in kwestie scheidt, is het traagheidsmoment ten opzichte van de onbekende as:

Traagheidsmoment geeft aan hoe gemakkelijk het is voor een object om rond een bepaalde as te draaien. Het hangt niet alleen af ​​van de massa van het lichaam, maar ook van hoe het wordt verdeeld. Om deze reden staat het ook bekend als rotatietraagheid, omdat het de eenheden zijn in het internationale systeem Kg. m ² .

De stelling laat zien dat het traagheidsmoment I _z altijd groter is dan het traagheidsmoment I _CM door een grootheid gegeven door MD ² .

Toepassingen

Omdat een object kan roteren rond talrijke assen, en in de tabellen meestal alleen het traagheidsmoment wordt gegeven met betrekking tot de as die door het zwaartepunt loopt, vergemakkelijkt de stelling van Steiner de berekening wanneer het nodig is om lichamen op assen te roteren. die hier niet bij passen.

Een deur roteert bijvoorbeeld gewoonlijk niet om een ​​as door zijn massamiddelpunt, maar om een ​​laterale as, waar de scharnieren aan vastzitten.

Door het traagheidsmoment te kennen, is het mogelijk om de kinetische energie te berekenen die hoort bij de rotatie om die as. Als K de kinetische energie is, I het traagheidsmoment rond de as in kwestie en ω de hoeksnelheid, dan volgt:

Deze vergelijking lijkt sterk op de zeer bekende formule voor kinetische energie voor een object met massa M dat beweegt met snelheid v: K = ½ Mv ² . En het is dat het traagheidsmoment of de rotatietraagheid I dezelfde rol speelt in de rotatie als de massa M in de translatie.

Bewijs van de stelling van Steiner

Het traagheidsmoment van een verlengd object wordt gedefinieerd als:

Ik = ∫ r ² dm

Waar dm een ​​oneindig klein deel van de massa is en r de afstand is tussen dm en de rotatie-as z. In figuur 2 kruist deze as het massamiddelpunt CM, maar het kan elke as zijn.

Figuur 2. Een object dat zich in rotatie uitstrekt rond twee parallelle assen. Bron: F. Zapata.

Rond een andere z-as is het traagheidsmoment:

Ik _z = ∫ (r ') ² dm

Nu is er volgens de driehoek gevormd door de vectoren D , r en r ' (zie figuur 2 rechts) een vectorsom:

r + r ' = D → r' = D - r

De drie vectoren liggen op het vlak van het object, wat de xy kan zijn. De oorsprong van het coördinatensysteem (0,0) is gekozen in CM om de berekeningen die volgen te vergemakkelijken.

Op deze manier is de vierkante module van de vector r ' :

Nu wordt deze ontwikkeling gesubstitueerd in de integraal van het traagheidsmoment I _z en wordt ook de definitie van dichtheid dm = ρ.dV gebruikt:

De term M. D ² die in de stelling van Steiner voorkomt, komt van de eerste integraal, de tweede is het traagheidsmoment met betrekking tot de as die door CM loopt.

Van hun kant zijn de derde en vierde integralen 0 waard, aangezien ze per definitie de positie vormen van de CM, die is gekozen als de oorsprong van het coördinatensysteem (0,0).

Opgeloste oefeningen

- Opgeloste oefening 1

De rechthoekige deur in figuur 1 heeft een massa van 23 kg, 1,30 breed en 2,10 m hoog. Bepaal het traagheidsmoment van de deur ten opzichte van de as die door de scharnieren gaat, ervan uitgaande dat de deur dun en uniform is.

Figuur 3. Schema voor uitgewerkt voorbeeld 1. Bron: gewijzigd van Pixabay.

Oplossing

Uit een tabel met traagheidsmomenten, voor een rechthoekige plaat met massa M en afmetingen a en b, is het traagheidsmoment ten opzichte van de as die door zijn massamiddelpunt gaat: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Er wordt uitgegaan van een homogene poort (een benadering, aangezien de poort in de figuur waarschijnlijk niet zo is). In dat geval passeert het massamiddelpunt zijn geometrische middelpunt. In figuur 3 is een as getekend die door het massamiddelpunt loopt en evenwijdig loopt aan de as die door de scharnieren loopt.

Ik _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

De stelling van Steiner toepassen op de groene rotatieas:

Ik = ik _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

- Opgeloste oefening 2

Zoek het traagheidsmoment van een homogene dunne staaf wanneer deze roteert om een ​​as die door een van zijn uiteinden gaat, zie afbeelding. Is het groter of kleiner dan het traagheidsmoment wanneer het rond zijn middelpunt draait? Waarom?

Figuur 4. Schema voor het opgeloste voorbeeld 2. Bron: F. Zapata.

Oplossing

Volgens de tabel met traagheidsmomenten is het traagheidsmoment I _CM van een dunne staaf met massa M en lengte L: I _CM = (1/12) ML ²

En de stelling van Steiner stelt dat wanneer het wordt geroteerd rond een as die door één uiteinde D = L / 2 gaat, het blijft:

Het is groter, hoewel niet slechts twee keer, maar vier keer meer, aangezien de andere helft van de staaf (niet gearceerd in de afbeelding) roteert en een grotere straal beschrijft.

De invloed van de afstand tot de rotatieas is niet lineair, maar kwadratisch. Een massa die tweemaal de afstand is als een andere, zal een traagheidsmoment hebben dat evenredig is met (2D) ² = 4D ² .

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Roterende beweging. Hersteld van: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallel Axis Theorema. Hersteld van: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Stelling van de parallelle as. Hersteld van: en.wikipedia.org