BESTAANS- EN UNIEKHEIDSSTELLING: BEWIJS, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De existentie- en uniciteitsstelling stelt de noodzakelijke en voldoende voorwaarden vast voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde, met een gegeven beginvoorwaarde, om een ​​oplossing te hebben en om die oplossing de enige te zijn.

De stelling geeft echter geen enkele techniek of indicatie hoe een dergelijke oplossing te vinden. De existentie- en uniciteitsstelling wordt ook uitgebreid tot differentiaalvergelijkingen van hogere orde met beginvoorwaarden, die bekend staan ​​als het Cauchy-probleem.

Figuur 1. Een differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde en zijn oplossing wordt getoond. De stelling van bestaan ​​en uniekheid garandeert dat dit de enige mogelijke oplossing is.

De formele verklaring van de existentie- en uniciteitsstelling is als volgt:

"Voor een differentiaalvergelijking y '(x) = f (x, y) met beginvoorwaarde y (a) = b, bestaat er tenminste één oplossing in een rechthoekig gebied van het XY-vlak dat het punt (a, b) bevat, als f (x, y) is continu in die regio. En als de partiële afgeleide van f met betrekking tot y: g = ∂f / ∂y continu is in datzelfde rechthoekige gebied, dan is de oplossing uniek in een buurt van het punt (a, b) in het gebied van continuïteit van fy g. "

Het nut van deze stelling ligt ten eerste in het weten in welke gebieden van het XY-vlak een oplossing kan bestaan ​​en ook in het weten of de gevonden oplossing de enige mogelijke is of dat er andere zijn.

Merk op dat in het geval dat niet aan de uniciteitsvoorwaarde is voldaan, de stelling niet kan voorspellen hoeveel oplossingen in totaal het Cauchy-probleem heeft: misschien is het een, twee of meer.

Bewijs van het bestaan ​​en de uniciteitsstelling

Figuur 2. Aan Charles Émile Picard (1856-1941) wordt een van de eerste bewijzen van de stelling van bestaan ​​en uniekheid toegeschreven. Bron: Wikimedia Commons.

Voor deze stelling zijn twee mogelijke bewijzen bekend, een daarvan is het bewijs van Charles Émile Picard (1856-1941) en de andere is te danken aan Giuseppe Peano (1858-1932) gebaseerd op het werk van Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Het is opmerkelijk dat de meest briljante wiskundige geesten van de negentiende eeuw deelnamen aan het bewijs van deze stelling, dus het kan worden aangenomen dat geen van beide eenvoudig is.

Om de stelling formeel te bewijzen, is het nodig om eerst een reeks geavanceerdere wiskundige concepten vast te stellen, zoals Lipschitz-achtige functies, Banachruimten, de existentiestelling van Carathéodory en verschillende andere, die buiten het bestek van het artikel vallen.

Een groot deel van de differentiaalvergelijkingen die in de natuurkunde worden behandeld, hebben te maken met continue functies in de interessegebieden, daarom zullen we ons beperken tot het laten zien hoe de stelling wordt toegepast in eenvoudige vergelijkingen.

Voorbeelden

- Voorbeeld 1

Laten we de volgende differentiaalvergelijking bekijken met een beginvoorwaarde:

y '(x) = - y; met y (1) = 3

Is er een oplossing voor dit probleem? Is het de enige mogelijke oplossing?

Antwoorden

In de eerste plaats wordt geëvalueerd of de oplossing van de differentiaalvergelijking bestaat en dat deze ook voldoet aan de beginvoorwaarde.

In dit voorbeeld f (x, y) = - en de existentie-voorwaarde vereist dat we weten of f (x, y) continu is in een gebied van het XY-vlak dat het coördinatenpunt x = 1, y = 3 bevat.

Maar f (x, y) = - y is de affiene functie, die continu is in het domein van reële getallen en bestaat in het hele bereik van reële getallen.

Daarom wordt geconcludeerd dat f (x, y) continu in R ² , zodat de stelling dat er ten minste één oplossing garandeert.

Dit wetende, is het noodzakelijk om te evalueren of de oplossing uniek is of dat er integendeel meer dan één is. Hiervoor is het nodig om de partiële afgeleide van f ten opzichte van de variabele y te berekenen:

Dan is g (x, y) = -1, dat een constante functie, die ook is gedefinieerd voor R ² en is ook continu zijn. Hieruit volgt dat de existentie- en uniciteitsstelling garandeert dat dit initiële-waardeprobleem een ​​unieke oplossing heeft, hoewel het ons niet vertelt wat het is.

- Voorbeeld 2

Beschouw de volgende gewone differentiaalvergelijking van de eerste orde met beginvoorwaarde:

y '(x) = 2√y; en (0) = 0.

Is er een oplossing y (x) voor dit probleem? Als dit het geval is, bepaal dan of er een of meer is.

Antwoord

We beschouwen de functie f (x, y) = 2√y. De functie f is alleen gedefinieerd voor y≥0, aangezien we weten dat een negatief getal geen echte wortel heeft. Verder f (x, y) continu in de bovenhalfvlak van R ² zoals de X-as, waardoor het bestaan en uniciteit stelling waarborgen ten minste een oplossing in het gebied.

Nu bevindt de beginvoorwaarde x = 0, y = 0 zich aan de rand van het oplossingsgebied. Vervolgens nemen we de partiële afgeleide van f (x, y) met betrekking tot y:

∂f / ∂y = 1 / √y

In dit geval is de functie niet gedefinieerd voor y = 0, precies waar de beginvoorwaarde is.

Wat zegt de stelling ons? Het vertelt ons dat hoewel we weten dat er ten minste één oplossing is in het bovenste halfvlak van de X-as inclusief de X-as, aangezien niet aan de uniciteitsvoorwaarde wordt voldaan, er geen garantie is dat er een unieke oplossing zal zijn.

Dit betekent dat er een of meer oplossingen kunnen zijn in het gebied van continuïteit van f (x, y). En zoals altijd vertelt de stelling ons niet wat ze zouden kunnen zijn.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Los het Cauchy-probleem op in Voorbeeld 1:

y '(x) = - y; met y (1) = 3.

Zoek de functie y (x) die voldoet aan de differentiaalvergelijking en de beginvoorwaarde.

Oplossing

In voorbeeld 1 is vastgesteld dat dit probleem een ​​oplossing heeft en ook uniek is. Om de oplossing te vinden, moet allereerst worden opgemerkt dat het een eerstegraads differentiaalvergelijking van scheidbare variabelen is, die als volgt is geschreven:

Verdelen tussen en in beide leden om de variabelen te scheiden die we hebben:

De onbepaalde integraal wordt toegepast in beide leden:

Het oplossen van de onbepaalde integralen die we hebben:

waarbij C een integratieconstante is die wordt bepaald door de beginvoorwaarde:

De waarde van C vervangen en herschikken blijft:

De volgende eigenschap van logaritmen toepassen:

De bovenstaande uitdrukking kan als volgt worden herschreven:

De exponentiële functie met grondtal e in beide leden wordt toegepast om te verkrijgen:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Wat gelijk staat aan:

y = 3e e ^-x

Dit is de unieke oplossing van de vergelijking y '= -y met y (1) = 3. De grafiek van deze oplossing is weergegeven in Figuur 1.

- Oefening 2

Zoek twee oplossingen voor het probleem in voorbeeld 2:

y '(x) = 2√ (y); en (0) = 0.

Oplossing

Het is ook een vergelijking van scheidbare variabelen, die er, geschreven in differentiële vorm, er als volgt uitziet:

dy / √ (y) = 2 dx

Het nemen van de onbepaalde integraal in beide leden blijft:

2 √ (y) = 2 x + C

Omdat we weten dat y≥0 in de oplossingsregio hebben we:

y = (x + C) ²

Maar aangezien aan de beginvoorwaarde x = 0, y = 0 moet zijn voldaan, is de constante C nul en blijft de volgende oplossing over:

y (x) = x ² .

Maar deze oplossing is niet uniek, de functie y (x) = 0 is ook een oplossing voor het gestelde probleem. De existentie- en uniciteitsstelling die in Voorbeeld 2 op dit probleem werd toegepast, had al voorspeld dat er meer dan één oplossing zou kunnen zijn.

Referenties

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of gewone differentiaalvergelijkingen, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedie van de wiskunde. Stelling van Cauchy-Lipschitz. Hersteld van: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Bestaat uit rendus hebdomadaires des seances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, blz. 454-457. Hersteld van: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picard's opeenvolgende benaderingsmethode. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Stelling van Picard-Lindelöf. Hersteld van: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementaire differentiaalvergelijkingen met toepassingen Prentice Hall.