DE STELLING VAN EUCLIDES: BEWIJS, TOEPASSING EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De stelling van Euclides toont de eigenschappen van een driehoek om een ​​lijn te trekken die deze verdeelt in twee nieuwe driehoeken die op elkaar lijken en op hun beurt vergelijkbaar zijn met de oorspronkelijke driehoek; dan is er een evenredigheidsverhouding.

Euclides was een van de grootste wiskundigen en meetkundigen van de oudheid die verschillende bewijzen van belangrijke stellingen uitvoerde. Een van de belangrijkste is degene die zijn naam draagt, die een brede toepassing heeft gehad.

Dit is het geval omdat, door middel van deze stelling, het op een eenvoudige manier de geometrische relaties verklaart die bestaan ​​in de rechthoekige driehoek, waarbij de benen van de driehoek gerelateerd zijn aan hun projecties op de hypotenusa.

Formules en demonstratie

De stelling van Euclides stelt voor dat in elke rechthoekige driehoek, wanneer een lijn wordt getrokken - die de hoogte vertegenwoordigt die overeenkomt met de top van de rechte hoek ten opzichte van de hypotenusa - twee rechthoekige driehoeken worden gevormd uit het origineel.

Deze driehoeken zullen op elkaar lijken en zullen ook lijken op de originele driehoek, wat betekent dat hun vergelijkbare zijden evenredig zijn met elkaar:

De hoeken van de drie driehoeken zijn congruent; dat wil zeggen, wanneer ze 180 graden rond hun top worden gedraaid, valt de ene hoek samen met de andere. Dit houdt in dat ze allemaal hetzelfde zullen zijn.

Op deze manier kan de gelijkenis die bestaat tussen de drie driehoeken ook worden geverifieerd door de gelijkheid van hun hoeken. Uit de gelijkenis van driehoeken stelt Euclides de verhoudingen hiervan vast uit twee stellingen:

- Hoogte stelling.

- Theorema van de benen.

Deze stelling heeft een brede toepassing. In de oudheid werd het gebruikt om hoogtes of afstanden te berekenen, wat een grote vooruitgang betekent voor trigonometrie.

Het wordt momenteel toegepast op verschillende gebieden die zijn gebaseerd op wiskunde, zoals techniek, natuurkunde, scheikunde en astronomie, naast vele andere gebieden.

Hoogte stelling

In deze stelling wordt vastgesteld dat in elke rechthoekige driehoek de hoogte getrokken vanuit de rechte hoek ten opzichte van de hypotenusa het geometrisch proportionele gemiddelde (het kwadraat van de hoogte) is tussen de projecties van de benen die het bepaalt op de hypotenusa.

Dat wil zeggen, het kwadraat van de hoogte is gelijk aan de vermenigvuldiging van de geprojecteerde benen die de hypotenusa vormen:

h _c ² = m _* n

Demonstratie

Gegeven een driehoek ABC, die precies op hoekpunt C staat, genereert het uitzetten van de hoogte twee gelijkaardige rechthoekige driehoeken, ADC en BCD; daarom zijn hun overeenkomstige zijden evenredig:

Op een zodanige manier dat de hoogte h _c die overeenkomt met het segment CD, overeenkomt met de hypotenusa AB = c, dus hebben we:

Dit komt op zijn beurt overeen met:

Oplossend voor de hypotenusa (h _c ), om de twee leden van de gelijkheid te vermenigvuldigen, hebben we:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

De waarde van de hypotenusa wordt dus gegeven door:

Leg stelling

In deze stelling wordt vastgesteld dat, in elke rechthoekige driehoek, de maat van elke poot het geometrisch proportionele gemiddelde is (het kwadraat van elke poot) tussen de maat van de hypotenusa (volledig) en de projectie van elk ervan:

b ² = c _* m

een ² = c _* n

Demonstratie

Gegeven een driehoek ABC, die precies op de top C ligt, zodanig dat de hypotenusa c is, worden bij het uitzetten van de hoogte (h) de projecties van de benen a en b bepaald, die respectievelijk de segmenten m en n zijn, en die op de hypotenusa.

De hoogte die op de rechthoekige driehoek ABC wordt getekend, genereert dus twee vergelijkbare rechthoekige driehoeken, ADC en BCD, zodat de overeenkomstige zijden proportioneel zijn, zoals deze:

DB = n, wat de projectie is van been CB op de hypotenusa.

AD = m, wat de projectie is van het been AC op de hypotenusa.

Vervolgens wordt de hypotenusa c bepaald door de som van de benen van zijn projecties:

c = m + n

Vanwege de gelijkenis van de driehoeken ADC en BCD, hebben we:

Het bovenstaande is hetzelfde als:

Oplossend voor been "a" om de twee leden van de gelijkheid te vermenigvuldigen, hebben we:

een _* a = c _* n

een ² = c _* n

De waarde van poot "a" wordt dus gegeven door:

Op dezelfde manier hebben we, vanwege de gelijkenis van de driehoeken ACB en ADC:

Het bovenstaande is gelijk aan:

Oplossend voor been "b" om de twee leden van de gelijkheid te vermenigvuldigen, hebben we:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

De waarde van been "b" wordt dus gegeven door:

Verband tussen de stellingen van Euclides

De stellingen met betrekking tot de hoogte en de benen zijn aan elkaar gerelateerd omdat de maat van beide is gemaakt ten opzichte van de hypotenusa van de rechthoekige driehoek.

Door de relatie van de stellingen van Euclides kan ook de waarde van de hoogte worden gevonden; dit is mogelijk door de waarden van m en n op te lossen uit de beenstelling en ze worden vervangen in de hoogtestelling. Op deze manier wordt vervuld dat de hoogte gelijk is aan de vermenigvuldiging van de benen, gedeeld door de hypotenusa:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

een ² = c _* n

n = een ² ÷ c

In de hoogtestelling vervangen we m en n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (een ² ÷ c)

h _c = (b ² _* een ² ) ÷ c

Opgeloste oefeningen

voorbeeld 1

Bepaal, gezien de driehoek ABC, rechts bij A, de maat van AC en AD, als AB = 30 cm en BD = 18 cm

Oplossing

In dit geval hebben we de afmetingen van een van de geprojecteerde poten (BD) en van een van de poten van de originele driehoek (AB). Op deze manier kan de beenstelling worden toegepast om de waarde van been BC te vinden.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* v.Chr

900 = 18 _* v.Chr

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

De waarde van leg CD kan worden gevonden wetende dat BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu is het mogelijk om de waarde van been AC te bepalen door de beenstelling opnieuw toe te passen:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Om de waarde van de hoogte (AD) te bepalen, wordt de hoogtestelling toegepast, aangezien de waarden van de geprojecteerde benen CD en BD bekend zijn:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Voorbeeld 2

Bepaal de waarde van de hoogte (h) van een driehoek MNL, precies in N, met kennis van de maten van de segmenten:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Oplossing

We hebben de maat van een van de poten geprojecteerd op de hypotenusa (PM), evenals de maten van de poten van de originele driehoek. Op deze manier kan de beenstelling worden toegepast om de waarde van het andere geprojecteerde been (LN) te vinden:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Omdat de waarde van de benen en de hypotenusa al bekend is, kan door de relatie tussen de stellingen van de hoogte en de benen de waarde van de hoogte worden bepaald:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* een ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

hoogte = 125 cm.

Referenties

1. Braun, E. (2011). Chaos, fractals en rare dingen. Fonds van economische cultuur.
2. Cabrera, VM (1974). Moderne wiskunde, deel 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3e jaar wiskunde. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (negentienvijfennegentig). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euclides 'Elements of Geometry.
6. Guardeño, AJ (2000). De erfenis van de wiskunde: van Euclides tot Newton, de genieën door hun boeken. Sevilla Universiteit.