DE STELLING VAN CHEBYSHOV: WAT HET IS, TOEPASSINGEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

De stelling Chebyshev (Chebyshev of ongelijkheid) is een van de belangrijkste klassieke resultaten van de kansrekening. Het maakt het mogelijk om de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis te schatten die wordt beschreven in termen van een willekeurige variabele X, door ons een grens te geven die niet afhankelijk is van de verdeling van de willekeurige variabele maar van de variantie van X.

De stelling is genoemd naar de Russische wiskundige Pafnuty Chebyshov (ook geschreven als Chebychev of Tchebycheff) die, hoewel hij niet de eerste was die de stelling uitsprak, de eerste was die in 1867 een bewijs leverde.

Deze ongelijkheid, of die die vanwege hun kenmerken de ongelijkheid van Chebyshov worden genoemd, wordt voornamelijk gebruikt om kansen te benaderen door grenzen te berekenen.

Waar bestaat het uit?

Bij de studie van de kansrekening komt het voor dat als de verdelingsfunctie van een willekeurige variabele X bekend is, de verwachte waarde - of wiskundige verwachting E (X) - en de variantie Var (X) kunnen worden berekend, zolang dergelijke bedragen bestaan. Het omgekeerde is echter niet noodzakelijk waar.

Dat wil zeggen, als je E (X) en Var (X) kent, is het niet noodzakelijkerwijs mogelijk om de verdelingsfunctie van X te verkrijgen, daarom zijn grootheden zoals P (-X-> k) voor sommige k> 0 erg moeilijk te verkrijgen. Maar dankzij de ongelijkheid van Chebyshov is het mogelijk om de waarschijnlijkheid van de willekeurige variabele te schatten.

De stelling van Chebyshov vertelt ons dat als we een willekeurige variabele X hebben over een steekproefruimte S met een waarschijnlijkheidsfunctie p, en als k> 0, dan:

Toepassingen en voorbeelden

Onder de vele toepassingen van de stelling van Chebyshov kunnen de volgende worden genoemd:

Kansen beperken

Dit is de meest voorkomende toepassing en wordt gebruikt om een ​​bovengrens te geven voor P (-XE (X) -≥k) waar k> 0, alleen met de variantie en de verwachting van de willekeurige variabele X, zonder de waarschijnlijkheidsfunctie te kennen .

voorbeeld 1

Stel dat het aantal producten dat in een bedrijf gedurende een week wordt vervaardigd een willekeurige variabele is met een gemiddelde van 50.

Als bekend is dat de variantie van een week productie gelijk is aan 25, wat kunnen we dan zeggen over de kans dat de productie deze week meer dan 10 zal afwijken van het gemiddelde?

Oplossing

Als we de ongelijkheid van Chebyshov toepassen, hebben we:

Hieruit kunnen we afleiden dat de kans dat in de productieweek het aantal artikelen het gemiddelde met meer dan 10 overschrijdt maximaal 1/4 is.

Bewijs van limietstellingen

Chebyshovs ongelijkheid speelt een belangrijke rol bij het bewijzen van de belangrijkste limietstellingen. Als voorbeeld hebben we het volgende:

Zwakke wet van grote aantallen

Deze wet stelt dat gegeven een reeks X1, X2, …, Xn, … van onafhankelijke willekeurige variabelen met dezelfde gemiddelde verdeling E (Xi) = μ en variantie Var (X) = σ ² , en een bekende gemiddelde steekproef van:

Dan hebben we voor k> 0:

Of, equivalent:

Demonstratie

Laten we eerst het volgende opmerken:

Aangezien X1, X2, …, Xn onafhankelijk zijn, volgt hieruit dat:

Daarom is het mogelijk om het volgende te vermelden:

Vervolgens hebben we met behulp van de stelling van Chebyshov:

Ten slotte is de stelling het resultaat van het feit dat de limiet aan de rechterkant nul is als n oneindig nadert.

Opgemerkt moet worden dat deze test alleen is gemaakt voor het geval waarin de variantie van Xi bestaat; dat wil zeggen, het loopt niet uiteen. We zien dus dat de stelling altijd waar is als E (Xi) bestaat.

Chebyshov limietstelling

Als X1, X2, …, Xn, … een reeks onafhankelijke willekeurige variabelen is, zodat er enige C <oneindig bestaat, zodat Var (Xn) ≤ C voor alle natuurlijke n, dan voor elke k> 0:

Demonstratie

Omdat de reeks varianties uniform begrensd is, hebben we die Var (Sn) ≤ C / n, voor alle natuurlijke n. Maar we weten dat:

Door n naar oneindig te laten neigen, zijn de volgende resultaten:

Omdat een kans de waarde van 1 niet kan overschrijden, wordt het gewenste resultaat verkregen. Als gevolg van deze stelling zouden we het specifieke geval van Bernoulli kunnen noemen.

Als een experiment n keer onafhankelijk wordt herhaald met twee mogelijke uitkomsten (mislukking en succes), waarbij p de kans op succes is in elk experiment en X de willekeurige variabele is die het aantal behaalde successen weergeeft, dan is voor elke k> 0 je moet:

Steekproefomvang

In termen van variantie stelt Chebyshovs ongelijkheid ons in staat om een ​​steekproefomvang n te vinden die voldoende is om te garanderen dat de kans dat -Sn-μ -> = k optreedt zo klein is als gewenst, waardoor we een benadering kunnen hebben tot het gemiddelde.

Laat in het bijzonder X1, X2,… Xn een steekproef zijn van onafhankelijke willekeurige variabelen van grootte n en veronderstel dat E (Xi) = μ en zijn variantie σ ² . Dan hebben we door de ongelijkheid van Chebyshov:

Voorbeeld

Stel dat X1, X2,… Xn een steekproef zijn van onafhankelijke willekeurige variabelen met Bernoulli-verdeling, zodat ze de waarde 1 aannemen met kans p = 0,5.

Hoe groot moet de steekproef zijn om te kunnen garanderen dat de kans dat het verschil tussen het rekenkundig gemiddelde Sn en zijn verwachte waarde (meer dan 0,1 overschrijden) kleiner of gelijk is aan 0,01?

Oplossing

We hebben dat E (X) = μ = p = 0,5 en dat Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Door de ongelijkheid van Chebyshov hebben we voor elke k> 0:

Als we nu k = 0,1 en δ = 0,01 nemen, hebben we:

Op deze manier wordt geconcludeerd dat een steekproefomvang van minimaal 2.500 nodig is om te garanderen dat de kans op de gebeurtenis -Sn - 0,5 -> = 0,1 kleiner is dan 0,01.

Ongelijkheden van het Chebyshov-type

Er zijn verschillende ongelijkheden die verband houden met de ongelijkheid van Chebyshov. Een van de bekendste is de ongelijkheid van Markov:

In deze uitdrukking is X een niet-negatieve willekeurige variabele met k, r> 0.

De ongelijkheid van Markov kan verschillende vormen aannemen. Stel dat Y een niet-negatieve willekeurige variabele is (dus P (Y> = 0) = 1) en stel dat E (Y) = μ bestaat. Stel ook dat (E (Y)) ^r = μ _r bestaat voor een geheel getal r> 1. Zo:

Een andere ongelijkheid is Gauss, wat ons vertelt dat gegeven een unimodale willekeurige variabele X met modus op nul, dan voor k> 0,

Referenties

1. Kai Lai Chung. Elementaire waarschijnlijkheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen Discrete wiskunde en haar toepassingen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 opgeloste problemen van discrete wiskunde. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie en waarschijnlijkheidsproblemen. McGRAW-HILL.