De stelling van Bayes is een procedure waarmee we de voorwaardelijke kans op een willekeurige gebeurtenis A gegeven B kunnen uitdrukken in termen van de kansverdeling van de gebeurtenis A en B aangezien de kansverdeling van slechts A is.
Deze stelling is erg handig, omdat we hierdoor de kans kunnen relateren dat een gebeurtenis A plaatsvindt wetende dat B heeft plaatsgevonden, met de kans dat het tegenovergestelde gebeurt, dat wil zeggen dat B optreedt gegeven A.
De stelling van Bayes was een zilveren voorstel van dominee Thomas Bayes, een 18e-eeuwse Engelse theoloog die ook een wiskundige was. Hij was de auteur van verschillende werken in de theologie, maar vandaag staat hij bekend om een aantal wiskundige verhandelingen, waarvan de eerder genoemde stelling van Bayes opvalt als het belangrijkste resultaat.
Bayes behandelde deze stelling in een artikel getiteld "An Essay to solving a Problem in the Doctrine of Chances", gepubliceerd in 1763, en waarover grote aantallen zijn ontwikkeld. studies met toepassingen in verschillende kennisgebieden.
Uitleg
Ten eerste zijn voor een beter begrip van deze stelling enkele basisnoties van waarschijnlijkheidstheorie nodig, met name de vermenigvuldigingsstelling voor voorwaardelijke waarschijnlijkheid, die stelt dat
Voor E en A willekeurige gebeurtenissen van een monsterruimte S.
En de definitie van partities, die ons vertelt dat als we A 1 , A 2 , …, A n gebeurtenissen van een monsterruimte S hebben, deze een partitie van S zullen vormen, als de A i wederzijds exclusief zijn en hun vereniging S.
Gegeven dit, laat B een andere gebeurtenis zijn. Dus we kunnen B zien als
Waar A i en B elkaar kruisen, sluiten elkaar wederzijds uit.
En als gevolg daarvan
Vervolgens de vermenigvuldigingsstelling toepassen
Aan de andere kant wordt de voorwaardelijke kans op Ai gegeven B bepaald door
Op de juiste manier vervangen we hebben dat voor elke i
Toepassingen van de stelling van Bayes
Dankzij dit resultaat zijn onderzoeksgroepen en verschillende corporaties erin geslaagd om op kennis gebaseerde systemen te verbeteren.
Bij de studie van ziekten kan de stelling van Bayes bijvoorbeeld helpen om de waarschijnlijkheid te onderscheiden dat een ziekte wordt aangetroffen in een groep mensen met een bepaald kenmerk, waarbij als gegevens de globale percentages van de ziekte en de prevalentie van genoemde kenmerken in zowel gezonde als zieke mensen.
Aan de andere kant heeft het in de wereld van geavanceerde technologieën grote bedrijven beïnvloed die dankzij dit resultaat "op kennis gebaseerde" software hebben ontwikkeld.
Als dagelijks voorbeeld hebben we de Microsoft Office-assistent. De stelling van Bayes helpt de software om de problemen die de gebruiker presenteert te evalueren en te bepalen welk advies hem moet worden gegeven en zo een betere service te kunnen bieden volgens de gewoonten van de gebruiker.
Met name werd deze formule tot voor kort genegeerd, dit komt vooral omdat toen dit resultaat 200 jaar geleden werd ontwikkeld, er weinig praktisch nut voor was. In onze tijd hebben wetenschappers dankzij grote technologische vooruitgang echter manieren gevonden om dit resultaat in de praktijk te brengen.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Een gsm-bedrijf heeft twee machines A en B. 54% van de geproduceerde mobiele telefoons wordt gemaakt door machine A en de rest door machine B. Niet alle geproduceerde mobiele telefoons zijn in goede staat.
Het aandeel defecte mobiele telefoons gemaakt door A is 0,2 en door B is 0,5. Hoe groot is de kans dat een gsm uit die fabriek defect is? Wat is de kans dat, wetende dat een gsm defect is, deze afkomstig is van machine A?
Oplossing
Hier heb je een experiment dat in twee delen wordt uitgevoerd; in het eerste deel vinden de gebeurtenissen plaats:
A: cel gemaakt door machine A.
B: cel gemaakt door machine B.
Aangezien machine A 54% van de mobiele telefoons produceert en de rest wordt geproduceerd door machine B, volgt hieruit dat machine B 46% van de mobiele telefoons produceert. De kansen van deze gebeurtenissen worden gegeven, namelijk:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
De gebeurtenissen van het tweede deel van het experiment zijn:
D: defecte mobiele telefoon.
E: niet-defecte mobiele telefoon.
Zoals vermeld in de verklaring, zijn de waarschijnlijkheden van deze gebeurtenissen afhankelijk van het resultaat behaald in het eerste deel:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Met behulp van deze waarden kunnen ook de kansen op de complementen van deze gebeurtenissen worden bepaald, dat wil zeggen:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
en
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nu kan gebeurtenis D als volgt worden geschreven:
Gebruik van de vermenigvuldigingsstelling voor voorwaardelijke kansresultaten:
Waarop de eerste vraag wordt beantwoord.
Nu hoeven we alleen P (AD) te berekenen, waarvoor de Bayes-stelling wordt toegepast:
Dankzij de stelling van Bayes kan worden gesteld dat de kans dat een mobiele telefoon is gemaakt door machine A, wetende dat de mobiele telefoon defect is, 0,319 is.
Oefening 2
Drie dozen bevatten zwarte en witte ballen. De samenstelling van elk ervan is als volgt: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Een van de dozen wordt willekeurig gekozen en er wordt willekeurig een bal getrokken die wit blijkt te zijn. Wat is de meest waarschijnlijke box die is gekozen?
Oplossing
Met U1, U2 en U3 zullen we ook de gekozen box vertegenwoordigen.
Deze gebeurtenissen vormen een partitie van S en er wordt geverifieerd dat P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 aangezien de keuze van het vak willekeurig is.
Als B = {de getrokken bal is wit}, hebben we P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Wat we willen verkrijgen is de kans dat de bal uit de doos is gehaald Ui wetende dat de bal wit was, dat wil zeggen P (Ui -B), en kijk welke van de drie waarden de hoogste was om te weten welke box is waarschijnlijk de extractie van de speelbal geweest.
De stelling van Bayes toepassen op de eerste van de boxen:
En voor de andere twee:
P (U2-B) = 2/6 en P (U3-B) = 1/6.
De eerste van de boxen is dan de box met de grootste kans om gekozen te zijn voor de extractie van de speelbal.
Referenties
- Kai Lai Chung. Elementaire waarschijnlijkheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen Discrete wiskunde en haar toepassingen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 opgeloste problemen van discrete wiskunde. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie en waarschijnlijkheidsproblemen. McGRAW-HILL.