VERZAMELTHEORIE: KENMERKEN, ELEMENTEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De verzamelingenleer is een tak van de wiskundige logica, die verantwoordelijk is voor de studie van relaties tussen entiteiten die verzamelingen worden genoemd. De sets kenmerken zich doordat ze verzamelingen zijn van objecten van dezelfde aard. Genoemde objecten zijn de elementen van de set en kunnen zijn: cijfers, letters, geometrische figuren, woorden die objecten vertegenwoordigen, de objecten zelf en anderen.

Het was Georg Cantor, tegen het einde van de 19e eeuw, die de verzamelingenleer voorstelde. Terwijl andere opmerkelijke wiskundigen in de 20e eeuw hun formalisering maakten: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel onder anderen.

Figuur 1. Venndiagram van de sets A, B en hun snijpunt A⋂ B. (Eigen uitwerking).

Venn-diagrammen zijn de grafische manier om een ​​set weer te geven, en het bestaat uit een gesloten vlakke figuur waarin de elementen van de set staan.

In figuur 1 worden bijvoorbeeld twee sets A en B getoond, die elementen gemeen hebben, de elementen die A en B gemeen hebben.Deze vormen een nieuwe set genaamd de intersectieset van A en B, die is geschreven in de vorm symbolisch als volgt:

A ∩ B

kenmerken

De set is een primitief concept, net als in de geometrie het concept van punt, lijn of vlak. Er is geen betere manier om het concept uit te drukken dan door voorbeelden te noemen:

Set E gevormd door de kleuren van de vlag van Spanje. Deze manier om de set uit te drukken, wordt door begrip genoemd. Dezelfde set E geschreven door extensie is:

E = {rood, geel}

In dit geval zijn rood en geel elementen van set E. Opgemerkt moet worden dat de elementen tussen accolades worden vermeld en niet worden herhaald. In het geval van de Spaanse vlag zijn er drie gekleurde strepen (rood, geel, rood), waarvan er twee worden herhaald, maar de elementen worden niet herhaald wanneer het geheel wordt uitgedrukt.

Stel dat de verzameling V gevormd door de eerste drie klinkerletters:

V = {a, e, i}

De vermogensset van V, aangeduid met P (V), is de verzameling van alle sets die kunnen worden gevormd met de elementen van V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Soorten sets

Eindige reeks

Het is een set waarin de elementen kunnen worden geteld. Voorbeelden van eindige verzamelingen zijn onder andere de letters van het Spaanse alfabet, de klinkers van het Spaans, de planeten van het zonnestelsel. Het aantal elementen in een eindige verzameling wordt de kardinaliteit genoemd.

Oneindige reeks

Onder een oneindige verzameling wordt verstaan ​​dat het aantal elementen ontelbaar is, want hoe groot het aantal elementen ook mag zijn, het is altijd mogelijk om meer elementen te vinden.

Een voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling natuurlijke getallen N, die in uitgebreide vorm als volgt wordt uitgedrukt:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Is duidelijk een oneindige verzameling, want hoe groot een natuurlijk getal ook mag zijn, het op een na grootste kan altijd worden gevonden, in een eindeloos proces. Het is duidelijk dat de kardinaliteit van een oneindige verzameling ∞ is.

Lege set

Het is de set die geen enkel element bevat. De lege set V wordt aangegeven met Ø of met een paar sleutels zonder elementen erin:

V = {} = Ø.

De lege set is uniek, daarom moet het onjuist zijn om "een lege set" te zeggen, de juiste vorm is om te zeggen "de lege set".

Onder de eigenschappen van de lege set hebben we dat het een subset is van elke set:

Ø ⊂ EEN

Bovendien, als een set een subset is van de lege set, dan is de set noodzakelijkerwijs het vacuüm:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Eenheidsreeks

Een eenheidsset is elke set die een enkel element bevat. De set van natuurlijke satellieten van de aarde is bijvoorbeeld een unitaire set, waarvan het enige element de maan is. De verzameling B van gehele getallen kleiner dan 2 en groter dan nul heeft alleen element 1, daarom is het een eenheidsset.

Binaire reeks

Een set is binair als deze maar twee elementen heeft. Bijvoorbeeld de verzameling X, zodat x een reële getaloplossing is van x ^ 2 = 2. Deze verzameling bij extensie wordt als volgt geschreven:

X = {-√2, + √2}

universele set

De universele set is een set die andere sets van hetzelfde type of dezelfde aard bevat. De universele set van natuurlijke getallen is bijvoorbeeld de set van reële getallen. Maar de reële getallen zijn ook een universele verzameling van de gehele getallen en de rationale getallen.

Belangrijkste onderdelen

- Relaties tussen sets

In sets kunt u verschillende soorten relaties tussen hen en hun elementen tot stand brengen. Als twee sets A en B precies dezelfde elementen daartussen hebben, wordt een gelijkheidsrelatie tot stand gebracht, die als volgt wordt aangeduid:

A = B

Als alle elementen van een set A tot een set B behoren, maar niet alle elementen van B behoren tot A, dan is er tussen deze sets een inclusierelatie die als volgt wordt aangeduid:

A ⊂ B, maar B ⊄ A

De bovenstaande uitdrukking luidt: A is een subset van B, maar B is geen subset van A.

Om aan te geven dat een of meer elementen tot een set behoren, wordt het lidmaatschapssymbool ∈ gebruikt, bijvoorbeeld om te zeggen dat x element of elementen tot de set behoren. A wordt symbolisch als volgt geschreven:

x ∈ EEN

Als een element niet tot de verzameling A behoort, wordt deze relatie als volgt geschreven:

en ∉ A

De lidmaatschapsrelatie bestaat tussen de elementen van een set en de set, met als enige uitzondering de vermogensset, waarbij de vermogensset de verzameling of set is van alle mogelijke sets die kunnen worden gevormd met de elementen van die set.

Stel dat V = {a, e, i}, zijn machtsverzameling is P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, in dat geval wordt de set V een element van de set P (V) en kan worden geschreven:

V ∈ P (V)

- Eigenschappen van opname

De eerste eigenschap van opname stelt vast dat elke set in zichzelf is opgenomen, of met andere woorden, dat het een subset van zichzelf is:

A ⊂ A

De andere eigenschap van inclusie is transitiviteit: als A een subset van B is en B op zijn beurt een subset van C, dan is A een subset van C.In symbolische vorm wordt de transitiviteitsrelatie als volgt geschreven:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Hieronder staat het Venn-diagram dat overeenkomt met de transitiviteit van opname:

Figuur 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operaties tussen sets

Kruispunt

De intersectie is een bewerking tussen twee sets die aanleiding geeft tot een nieuwe set die tot dezelfde universele set behoort als de eerste twee. In die zin is het een gesloten operatie.

Symbolisch is de kruispuntoperatie als volgt geformuleerd:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Een voorbeeld is het volgende: de reeks A van de letters van in het woord "elementen" en de reeks B van de letters van het woord "herhaald", het snijpunt tussen A en B wordt als volgt geschreven:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, ik, d, o, s} = {e, t, s}. De universele set U van A, van B en ook van A⋂B is de set van de letters van het Spaanse alfabet.

Unie

De vereniging van twee sets is de set die wordt gevormd door de elementen die de twee sets gemeen hebben en de niet-gemeenschappelijke elementen van de twee sets. De unie-operatie tussen sets wordt symbolisch als volgt uitgedrukt:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Verschil

De verschilwerking van set A min set B wordt aangegeven met AB. AB is een nieuwe set gevormd door alle elementen die in A staan ​​en die niet bij B horen. Symbolisch is het zo geschreven:

A - B = {x / x ∈ A ^ X ∉ B}

Figuur 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symmetrisch verschil

Het symmetrische verschil is een bewerking tussen twee sets waarbij de resulterende set bestaat uit de elementen die niet gemeenschappelijk zijn voor de twee sets. Het symmetrische verschil wordt symbolisch als volgt weergegeven:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Voorbeelden

voorbeeld 1

Het Venn-diagram is een grafische manier om sets weer te geven. De set C van de letters in de woordset wordt bijvoorbeeld als volgt weergegeven:

Voorbeeld 2

Hieronder wordt door Venn-diagrammen getoond dat de verzameling klinkers in het woord "set" een subset is van de set letters in het woord "set".

Voorbeeld 3

De set Ñ van de letters van het Spaanse alfabet is een eindige set, deze set bij extensie is als volgt geschreven:

Ñ = {een, b, c, d, e, f, g, h, ik, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} en de kardinaliteit is 27.

Voorbeeld 4

De verzameling V van de klinkers in het Spaans is een subset van de verzameling Ñ:

V ⊂ Ñ ​​is daarom een ​​eindige verzameling.

De eindige verzameling V in uitgebreide vorm wordt als volgt geschreven: V = {a, e, i, o, u} en de kardinaliteit is 5.

Voorbeeld 5

Gegeven de sets A = {2, 4, 6, 8} en B = {1, 2, 4, 7, 9}, bepaal dan AB en BA.

A - B zijn de elementen van A die niet in B staan:

A - B = {6, 8}

B - A zijn de elementen van B die niet in A staan:

B - A = {1, 7, 9}

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Schrijf in symbolische vorm en ook bij uitbreiding de verzameling P van even natuurlijke getallen kleiner dan 10.

Oplossing: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Oefening 2

Stel dat verzameling A wordt gevormd door de natuurlijke getallen die factoren zijn van 210, en de verzameling B die wordt gevormd door de natuurlijke priemgetallen kleiner dan 9. Bepaal bij uitbreiding beide sets en stel vast welk verband er is tussen de twee sets.

Oplossing: om de elementen van set A te bepalen, moeten we beginnen met het vinden van de factoren van het natuurlijke getal 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Dan wordt de set A geschreven:

A = {2, 3, 5, 7}

We beschouwen nu de verzameling B, die de priemgetallen kleiner is dan 9. 1 is geen priemgetal omdat het niet voldoet aan de definitie van priemgetal: "een getal is slechts een priemgetal als het precies twee delers heeft, 1 en het getal zelf." De 2 is even en tegelijkertijd is het een priemgetal omdat het voldoet aan de definitie van een priemgetal, de andere priemgetallen kleiner dan 9 zijn 3, 5 en 7. Dus de verzameling B is:

B = {2, 3, 5, 7}

Daarom zijn de twee sets gelijk: A = B.

Oefening 3

Bepaal de set waarvan de elementen x verschillen van x.

Oplossing: C = {x / x ≠ x}

Aangezien elk element, getal of object gelijk is aan zichzelf, kan de verzameling C niet anders zijn dan de lege verzameling:

C = Ø

Oefening 4

Laat de verzameling van N's van natuurlijke getallen en Z de verzameling van gehele getallen zijn. Bepaal N ⋂ Z en N ∪ Z.

Oplossing:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z omdat N ⊂ Z.

Referenties

1. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
4. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
5. Wiskunde 10 (2018). "Voorbeelden van eindige sets". Hersteld van: matematicas10.net
6. Wikipedia. Set theorie. Hersteld van: es.wikipedia.com