WACHTRIJTHEORIE: GESCHIEDENIS, MODEL, WAAR HET VOOR IS EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De wachtrijtheorie is de tak van de wiskunde die de verschijnselen en het gedrag in wachtrijen bestudeert. Ze worden gedefinieerd wanneer een gebruiker die een bepaalde service vraagt, besluit te wachten tot de server is verwerkt.

Bestudeer de elementen die aanwezig zijn in de wachtrijen van welk type dan ook, of het nu menselijke elementen zijn, of gegevensverwerking of bewerkingen. Zijn conclusies zijn van constante toepassing in productie-, registratie- en verwerkingslijnen.

Pexels lettertype

De waarden ervan dienen bij het parametriseren van processen voordat ze worden geïmplementeerd en dienen als een belangrijk organisatorisch element voor het juiste planningsbeheer.

Geschiedenis

De belangrijkste verantwoordelijke voor de ontwikkeling ervan was de in Denemarken geboren wiskundige Agner Kramp Erlang, die werkte bij het telecommunicatiebedrijf van de telefooncentrale in Kopenhagen.

Agner merkte op dat er steeds meer behoeften ontstaan ​​in het telefoniesysteem van het bedrijf. Daarom begon de studie van wiskundige verschijnselen die in het wachtlijnsysteem konden worden gekwantificeerd.

Zijn eerste officiële publicatie was een artikel getiteld Queuing Theory, dat in 1909 werd gepubliceerd. Zijn focus was vooral gericht op het probleem van de dimensionering van lijnen en telefoonschakelcentra voor beldiensten.

Model en elementen

Er zijn verschillende modellen wachtrijen waarvan sommige aspecten verantwoordelijk zijn voor het definiëren en karakteriseren van elk ervan. Voordat de modellen worden gedefinieerd, worden de elementen van elk wachtrijmodel gepresenteerd.

-Elementen

Bron van binnenkomst of potentiële populatie

Het is de verzameling mogelijke aanvragers voor de dienst. Dit geldt voor elk type variabele, van menselijke gebruikers tot datapakketten. Ze worden ingedeeld in eindig en oneindig, afhankelijk van de aard van de set.

De staart

Het verwijst naar de set elementen die al deel uitmaken van het servicesysteem. Die zijn al overeengekomen om te wachten op de beschikbaarheid van de operator. Ze wachten op systeemresoluties.

-Het staartsysteem

Het bestaat uit de triade die wordt gevormd door de wachtrij, het servicemechanisme en de discipline van de wachtrij. Het geeft structuur aan het systeemprotocol en bepaalt de selectiecriteria voor elementen in de wachtrij.

- Dienst mechanisme

Het is het proces waarmee de service aan elke gebruiker wordt geleverd.

-Cliënt

Elk element dat tot de potentiële bevolking behoort, vraagt ​​om een ​​dienst. Het is belangrijk om te weten hoe snel klanten binnenkomen, evenals de waarschijnlijkheid dat de bron ze genereert.

-Queue capaciteit

Het verwijst naar de maximale capaciteit van items die kunnen wachten om te worden geserveerd. Het kan als eindig of oneindig worden beschouwd, omdat het in de meeste gevallen oneindig is op basis van praktische criteria.

-Discipline van de wachtrij

Het is het protocol waarmee de volgorde waarin de klant wordt bediend, wordt bepaald. Het dient als een verwerkings- en bestelkanaal voor gebruikers en is verantwoordelijk voor hun dispositie en beweging binnen de wachtrij. Volgens uw criteria kan het van verschillende typen zijn.

- FIFO: van het acroniem in het Engels First in first out, ook wel bekend als FCFS, wie het eerst komt, het eerst maalt. Dat betekent respectievelijk First in first out en First in first to be serve. Beide vormen geven aan dat de eerste klant die arriveert, als eerste wordt bediend.

- LIFO: Last in first out, ook wel bekend als stack of LCFS, laatst komt het eerst maalt. Waar de klant die het laatst is aangekomen als eerste wordt bediend.

- RSS: willekeurige selectie van een service, ook wel SIRO-service genoemd, in willekeurige volgorde, waarbij klanten worden geselecteerd op basis van willekeurige of willekeurige criteria.

Modellen

Er zijn drie aspecten die het wachtrijmodel bepalen. Dit zijn de volgende:

- Verdeling van tijd tussen aankomsten: verwijst naar de snelheid waarmee eenheden aan de wachtrij worden toegevoegd. Het zijn functionele waarden en zijn afhankelijk van hun aard onderhevig aan verschillende variabelen.

- Verdeling van de servicetijd: tijd die de server gebruikt om de door de klant gevraagde service te verwerken. Het varieert afhankelijk van het aantal bewerkingen of procedures dat wordt vastgesteld.

Deze 2 aspecten kunnen de volgende waarden aannemen:

M: exponentiële exponentiële verdeling (Markoviana).

D: gedegenereerde distributie (constante tijden).

E _k : Erlang-distributie met vormparameter k.

G: Algemene distributie (elke distributie).

- Aantal servers: servicepoorten open en beschikbaar voor procesclients. Ze zijn essentieel bij de structurele definitie van elk wachtrijmodel.

Op deze manier worden de wachtrijmodellen gedefinieerd, waarbij eerst de initialen in hoofdletters worden gebruikt voor de verdeling van de aankomsttijd en de verdeling van de diensttijd. Ten slotte wordt het aantal servers bestudeerd.

Een vrij algemeen voorbeeld is MM 1, dat verwijst naar een exponentieel type aankomst- en servicetijdverdeling tijdens het werken met een enkele server.

Andere soorten wachtrijmodellen zijn onder andere MM s, MG 1, ME 1, DM 1.

Soorten wachtrijsystemen

Er zijn verschillende soorten wachtrijsystemen waarbij meerdere variabelen dienen als indicatoren voor het type systeem dat wordt gepresenteerd. Maar fundamenteel wordt het bepaald door het aantal wachtrijen en het aantal servers. De lineaire structuur waaraan de gebruiker wordt onderworpen om de dienst te verkrijgen, is ook van toepassing.

- Een wachtrij en een server. Het is de gebruikelijke structuur, waarbij de gebruiker via het aankomstsysteem in de wachtrij komt, waar hij na het voltooien van zijn wachttijd volgens de discipline van de wachtrij wordt verwerkt door de enige server.

- Een wachtrij en meerdere servers. De gebruiker kan aan het einde van zijn wachttijd naar verschillende servers gaan die uitvoerders van dezelfde processen kunnen zijn, en ze kunnen ook privé zijn voor verschillende procedures.

- Meerdere wachtrijen en meerdere servers. De structuur kan worden opgedeeld voor verschillende processen of dienen als een breed kanaal om aan een grote vraag naar gemeenschappelijke service te voldoen.

- Een wachtrij met opeenvolgende servers. Gebruikers doorlopen verschillende stadia. Ze komen binnen en nemen een plaats in de wachtrij in, en wanneer ze worden bediend door de eerste server, gaan ze over naar een nieuwe fase waarvoor eerdere vervulling in de eerste service vereist is.

Terminologie

- λ: Dit symbool (Lambda) vertegenwoordigt in de wachtrijtheorie de verwachte waarde van inputs per tijdsinterval.

- 1 / λ: komt overeen met de verwachte waarde tussen de aankomsttijden van elke gebruiker die het systeem binnenkomt.

- μ: Het symbool Mu komt overeen met het verwachte aantal klanten dat de service per tijdseenheid voltooit. Dit geldt voor elke server.

- 1 / μ: servicetijd verwacht door het systeem.

- ρ: Het symbool Rho geeft de gebruiksfactor van de server aan. Het wordt gebruikt om te meten hoeveel tijd de server bezig is met het verwerken van gebruikers.

ρ = λ / sμ

Als p> 1 het systeem tijdelijk zal zijn, zal het de neiging hebben om te groeien, omdat het nut van de server lager is dan het aantal gebruikers dat het systeem binnenkomt.

Als p <1 blijft het systeem stabiel.

Waar is de theorie voor

Het is gemaakt om de processen voor telefonische dienstverlening te optimaliseren. Dit markeert een bruikbaarheid met betrekking tot de verschijnselen van wachtrijen, waarbij wordt getracht de tijdswaarden te verminderen en elk type herwerk of overtollig proces te annuleren dat het proces van gebruikers en operators vertraagt.

Pexels lettertype

Op complexere niveaus, waar de invoer- en servicevariabelen gemengde waarden aannemen, zijn berekeningen die buiten de wachtrijtheorie worden uitgevoerd bijna ondenkbaar. De formules die door de theorie worden geboden, hebben binnen deze branche geavanceerde calculus geopend.

Elementen die aanwezig zijn in formules

- Pn: waarde die verwijst naar de kans dat ‘n’ eenheden binnen het systeem vallen.

- Lq: lengte van de wachtrij of gemiddelde waarde van gebruikers erin.

- Ls: gemiddelde van eenheden in het systeem.

- Wq: Gemiddeld wachttarief in de wachtrij.

- Ws: gemiddelde wachttijd in het systeem.

- _λ: gemiddeld aantal klanten dat de service binnenkomt.

- Ws (t): waarde die verwijst naar de kans dat een klant meer dan "t" -eenheden in het systeem blijft.

- Wq (t): waarde die verwijst naar de kans dat een klant meer dan “t” eenheden in de wachtrij blijft.

Voorbeelden

Een registry heeft een enkele server om de paspoorten van de gebruikers die komen te verwerken. Gemiddeld bezoeken 35 gebruikers per uur de registratie. De server heeft de capaciteit om 45 gebruikers per uur te bedienen. Eerder was bekend dat gebruikers gemiddeld 5 minuten in de wachtrij staan.

Je wilt weten:

1. De gemiddelde tijd die elke gebruiker aan het systeem besteedt
2. Gemiddeld aantal klanten in de wachtrij

We hebben λ = 35/45 klanten / minuten

μ = 45/60 klanten / minuten

Wq = 5 minuten

Deel A

De gemiddelde tijd in het systeem kan worden berekend met Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minuten + 1,33 = 6,33 minuten

Op deze manier wordt de totale tijd die de gebruiker in het systeem zal zijn, bepaald, waarbij 5 minuten in de wachtrij en 1,33 minuten bij de server.

Deel b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 klanten minuten) x (5 minuten) = 3,89 klanten

Er kunnen meer dan 3 clients tegelijk in de wachtrij staan.

Referenties

1. Operationeel beheer. Redactioneel Vértice, 16 april. 2007
2. Theorie van wachtrijen of wachtrij. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Systeemtheorie loste problemen op. Roberto Sanchis Llopis. Publicaties van de Universitat Jaume I, 2002
4. Kwantitatieve methoden van industriële organisatie II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. uit Catalunya, 2009
5. Inventarisatietheorie en de toepassing ervan. Redactioneel Pax-México, 1967