CENTRALE SYMMETRIE: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

Twee punten A en A 'hebben centrale symmetrie ten opzichte van een punt O wanneer het segment AA' erdoorheen gaat en het is ook het middelpunt van AA '. Punt O wordt het symmetriecentrum genoemd.

De centrale symmetrie van een driehoek ABC ten opzichte van een punt O, is een andere driehoek A'B'C 'die de volgende kenmerken heeft:

-Homologe segmenten zijn even lang

-Hun overeenkomstige hoeken hebben dezelfde maat.

Figuur 1. Driehoek ABC en zijn symmetrische A'B'C '. Bron: F. Zapata.

Figuur 1 toont een driehoek ABC (rood) en zijn centrale symmetrie A'B'C '(groen), ten opzichte van het symmetriecentrum O.

In dezelfde figuur zou een oplettende waarnemer zich realiseren dat hetzelfde resultaat wordt verkregen door een rotatie van de oorspronkelijke driehoek toe te passen, zolang deze maar 180 ° is en gecentreerd op O.

Daarom is een centrale symmetrie gelijk aan een draai van 180º ten opzichte van het symmetriecentrum.

Eigenschappen van centrale symmetrie

Een centrale symmetrie heeft de volgende eigenschappen:

-Het symmetriecentrum is het middelpunt van het segment dat een punt met zijn symmetrie verbindt.

-Een symmetrisch punt van een ander dat in het midden van symmetrie ligt, valt samen met het midden van symmetrie.

-De centrale symmetrie van een driehoek is een congruente driehoek (gelijk) aan het origineel.

-Het beeld door centrale symmetrie van een cirkel is een andere cirkel met dezelfde straal.

-Een omtrek heeft centrale symmetrie ten opzichte van zijn eigen centrum.

Figuur 2. Ontwerp met centrale symmetrie. Bron: Pixabay.

-De ellips heeft centrale symmetrie ten opzichte van het midden.

-Een segment heeft centrale symmetrie met betrekking tot het middelpunt.

-De gelijkzijdige driehoek heeft geen centrale symmetrie ten opzichte van het midden, omdat de symmetrie, hoewel congruent met de eerste, een geroteerde gelijkzijdige driehoek oplevert.

-De vierkanten hebben centrale symmetrie ten opzichte van hun middelpunt.

-Een vijfhoek mist centrale symmetrie ten opzichte van het midden.

-Regelmatige polygonen hebben centrale symmetrie als ze een even aantal zijden hebben.

Voorbeelden

Symmetriecriteria hebben veel toepassingen in wetenschap en techniek. Centrale symmetrie is aanwezig in de natuur, bijvoorbeeld ijskristallen en spinnenwebben hebben dit soort symmetrie.

Bovendien zijn veel problemen gemakkelijk op te lossen door gebruik te maken van het bestaan ​​van centrale symmetrie en andere soorten symmetrie. Daarom is het handig om snel te identificeren wanneer het zich voordoet.

Figuur 3. IJskristallen hebben centrale symmetrie. Bron: Pixabay.

voorbeeld 1

Gegeven een punt P van coördinaten (a, b), moeten we de coördinaten vinden van zijn symmetrische P 'ten opzichte van de oorsprong O van coördinaten (0, 0).

Het eerste is om het punt P 'te construeren, waarvoor een lijn wordt getrokken die door de oorsprong O en door het punt P loopt. De vergelijking van deze lijn is y = (b / a) x.

Laten we nu (a ', b') de coördinaten van het symmetrische punt P 'noemen. Punt P 'moet op de lijn liggen die door O gaat en daarom is het waar: b' = (b / a) a '. Verder moet de afstand OP gelijk zijn aan OP ', wat in analytische vorm als volgt is geschreven:

√ (een ² + b ² ) = √ (een ' ² + b' ² )

Het volgende is om b '= in de vorige uitdrukking te vervangen en beide zijden van de gelijkheid te kwadrateren om de vierkantswortel te elimineren: (a ² + b ² ) =

Door een gemeenschappelijke factor te extraheren en te vereenvoudigen, krijgen we dat a ' ² = a ² . Deze vergelijking heeft twee echte oplossingen: a '= + a of a' = -a.

Om b 'te krijgen, gebruiken we opnieuw b' = (b / a) a '. Als de positieve oplossing van a 'wordt vervangen, komen we uit op dat b' = b. En als de negatieve oplossing wordt vervangen, dan is b '= -b.

De positieve oplossing geeft voor P 'hetzelfde punt P, dus het wordt weggegooid. De negatieve oplossing geeft zeker de coördinaten van het symmetrische punt:

P ': (-a, -b)

Voorbeeld 2

Het is vereist om aan te tonen dat een segment AB en zijn centrale symmetrische A'B 'dezelfde lengte hebben.

Beginnend met de coördinaten van punt A, die (Ax, Ay) zijn en die van punt B: (Bx, By), wordt de lengte van segment AB gegeven door:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Naar analogie zal het symmetrische segment A'B 'de lengte hebben die wordt gegeven door:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Door' - Ay ') ² )

De coördinaten van het symmetrische punt A 'zijn Ax' = -Ax en Ay '= -Ay. Evenzo zijn die van B 'Bx' = -Bx en By '= -By. Als deze coördinaten worden vervangen in de vergelijking van de afstand d (A'B '), hebben we:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) wat gelijk is aan:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Zo wordt aangetoond dat beide segmenten dezelfde lengte hebben.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Laat analytisch zien dat de centrale symmetrische O van een cirkel met straal R en middelpunt O dezelfde originele cirkel is.

Oplossing

De vergelijking van een cirkel met straal R en middelpunt O (0,0) is:

x ² + y ² = R ² (vergelijking van de omtrek C)

Als op elk punt P van de omtrek y van coördinaten (x, y) de symmetrische P 'van coördinaten (x', y ') wordt gevonden, is de vergelijking van de symmetrische omtrek:

x ' ² + y' ² = R ² (Vergelijking van de symmetrische cirkel C ')

Nu verwijzen we naar het resultaat van voorbeeld 1, waarin geconcludeerd wordt dat de coördinaten van een punt P ', symmetrisch met P en met coördinaten (a, b), (-a, -b) zijn.

Maar in deze oefening heeft punt P coördinaten (x, y), dus de symmetrische P 'heeft coördinaten x' = -xe y '= -y. Als we dit in de vergelijking van de symmetrische cirkel vervangen, hebben we:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Dat komt overeen met: x ² + y ² = R ² , met de conclusie dat de centrale symmetrie van een cirkel ten opzichte van het middelpunt de cirkel zelf is.

- Oefening 2

Laat in geometrische vorm zien dat de centrale symmetrie de hoeken behoudt.

Oplossing

Figuur 4. Constructie van de symmetrische punten voor oefening 2. Bron: F. Zapata.

Er zijn drie punten A, B en C in het vliegtuig. De symmetrieën A ', B' en C 'zijn geconstrueerd ten opzichte van het symmetriecentrum O, zoals weergegeven in figuur 4.

Nu moeten we laten zien dat de hoek ∡ABC = β dezelfde maat heeft als de hoek ∡A'B'C '= β'.

Omdat C en C 'symmetrisch zijn, is OC = OC'. Evenzo OB = OB 'en OA = OA'. Aan de andere kant is de hoek ∡BOC = ∡B'OC 'omdat ze tegengesteld zijn aan het hoekpunt.

Daarom zijn de driehoeken BOC en B'OC 'congruent omdat ze een gelijke hoek hebben tussen twee gelijke zijden.

Omdat BOC congruent is met B'OC ', zijn de hoeken γ en γ' gelijk. Maar deze hoeken voldoen niet alleen aan γ = γ ', maar zijn ook interne alternaties tussen lijnen BC en B'C', wat impliceert dat lijn BC evenwijdig is aan B'C '.

Evenzo is BOA congruent met B'OA ', waaruit volgt dat α = α'. Maar α en α 'zijn afwisselende binnenhoeken tussen lijnen BA en B'A', waaruit geconcludeerd kan worden dat lijn BA evenwijdig is aan B'A '.

Aangezien de hoek ∡ABC = β zijn zijden evenwijdig heeft met de hoek ∡A'B'C '= β' en ook beide scherp zijn, wordt geconcludeerd dat:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Op deze manier bewijzen dat de centrale symmetrie de maat van de hoeken behoudt.

Referenties

1. Baldor, JA 1973. Vliegtuig- en ruimtegeometrie. Centraal-Amerikaanse culturele.
2. Wiskundige wetten en formules. Hoekmeetsystemen. Hersteld van: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Vliegtuiggeometrie. Hersteld van: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Centrale symmetrie. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportband. Hersteld van: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Conjugate interne en externe hoeken. Hersteld van: lifeder.com