SARRUS-REGEL: WAARUIT HET BESTAAT EN SOORTEN DETERMINANTEN - CULTUUR WOORDENSCHAT - 2025

De regel Sarrus wordt gebruikt om het resultaat van 3 × 3 determinanten te berekenen. Deze worden gebruikt om lineaire vergelijkingen op te lossen en erachter te komen of ze compatibel zijn.

Compatibele systemen maken het gemakkelijker om de oplossing te vinden. Ze worden ook gebruikt om te bepalen of sets vectoren lineair onafhankelijk zijn en om de basis van de vectorruimte te vormen.

Deze toepassingen zijn gebaseerd op de omkeerbaarheid van de matrices. Als een matrix regelmatig is, is de determinant ervan verschillend van 0. Als het singulier is, is de determinant gelijk aan 0. Determinanten kunnen alleen worden berekend in vierkante matrices.

Om matrices van elke orde te berekenen, kan de stelling van Laplace worden gebruikt. Deze stelling stelt ons in staat om matrices met hoge afmetingen te vereenvoudigen, in sommen van kleine determinanten die we ontleden uit de hoofdmatrix.

Het stelt dat de determinant van een matrix gelijk is aan de som van de producten van elke rij of kolom, maal de determinant van de bijbehorende matrix.

Dit reduceert de determinanten zodat een determinant van graad n n determinanten van n-1 wordt. Als we deze regel achtereenvolgens toepassen, kunnen we determinanten verkrijgen van dimensie 2 (2 × 2) of 3 (3 × 3), waar de berekening ervan veel eenvoudiger is.

Sarrus-heerschappij

Pierre Frederic Sarrus was een 19e-eeuwse Franse wiskundige. De meeste van zijn wiskundige verhandelingen zijn gebaseerd op methoden voor het oplossen van vergelijkingen en de calculus variaties binnen numerieke vergelijkingen.

In een van zijn verhandelingen loste hij een van de meest complexe raadsels in de mechanica op. Om de problemen van de gearticuleerde stukken op te lossen, introduceerde Sarrus de transformatie van alternatieve rechtlijnige bewegingen, in uniforme cirkelvormige bewegingen. Dit nieuwe systeem staat bekend als het Sarrus-mechanisme.

Het onderzoek dat deze wiskundige de meeste bekendheid bezorgde, was waarin hij een nieuwe methode voor het berekenen van determinanten introduceerde, in het artikel "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Nieuwe methode voor het oplossen van vergelijkingen), dat werd gepubliceerd in de jaar 1833. Deze manier om lineaire vergelijkingen op te lossen staat bekend als de regel van Sarrus.

Met de regel van Sarrus kunnen we de determinant van een 3 × 3-matrix berekenen, zonder de stelling van Laplace te hoeven gebruiken, waardoor een veel eenvoudigere en meer intuïtieve methode wordt geïntroduceerd. Om de waarde van de regel van Sarrus te controleren, nemen we elke matrix van dimensie 3:

De berekening van de determinant zou worden uitgevoerd met behulp van het product van de hoofddiagonalen, waarbij het product van de inverse diagonalen wordt afgetrokken. Dit zou als volgt zijn:

De regel van Sarrus stelt ons in staat om een ​​veel gemakkelijker zicht te krijgen bij het berekenen van de diagonalen van de determinant. Het zou worden vereenvoudigd door de eerste twee kolommen aan de achterkant van de matrix toe te voegen. Op deze manier wordt duidelijker gezien welke de belangrijkste diagonalen zijn en welke de omgekeerde zijn, voor de berekening van het product.

Via deze afbeelding kunnen we de toepassing van de regel van Sarrus zien, we nemen rij 1 en 2 op, onder de grafische weergave van de oorspronkelijke matrix. Op deze manier zijn de hoofddiagonalen de drie diagonalen die als eerste verschijnen.

De drie omgekeerde diagonalen zijn op hun beurt degene die als eerste achteraan verschijnen.

Op deze manier verschijnen de diagonalen op een meer visuele manier, zonder de resolutie van de determinant te compliceren, waarbij wordt geprobeerd uit te vinden welke elementen van de matrix bij elke diagonaal horen.

Zoals het in de afbeelding verschijnt, kiezen we de diagonalen en berekenen we het resulterende product van elke functie. De diagonalen die in blauw verschijnen, zijn die optellen. Op de som hiervan trekken we de waarde van de diagonalen af ​​die in rood verschijnen.

Om compressie gemakkelijker te maken, kunnen we een numeriek voorbeeld gebruiken in plaats van algebraïsche termen en subtermen.

Als we een matrix van 3 × 3 nemen, bijvoorbeeld:

Om de regel van Sarrus toe te passen en op een meer visuele manier op te lossen, moeten we rij 1 en 2 opnemen, respectievelijk als rij 4 en 5. Het is belangrijk om rij 1 op de 4e positie te houden en rij 2 op de 5e positie. Omdat als we ze ruilen, de Sarrus-regel niet effectief zal zijn.

Om de determinant te berekenen, zou onze matrix als volgt zijn:

Om door te gaan met de berekening, zullen we de elementen van de hoofddiagonalen vermenigvuldigen. Afstammelingen die van links beginnen, hebben een positief teken; terwijl de inverse diagonalen, die van rechts beginnen, een negatief teken hebben.

In dit voorbeeld zouden de blauwe een positief teken hebben en de rode met een negatief teken. De uiteindelijke berekening van de Sarrus-regel zou er als volgt uitzien:

Soorten determinanten

Bepalend voor afmeting 1

Als de dimensie van de matrix 1 is, ziet de matrix er als volgt uit: A = (a)

Daarom zou de bepalende factor als volgt zijn: det (A) = -A- = a

Samenvattend is de determinant van matrix A gelijk aan de absolute waarde van matrix A, die in dit geval a is.

Bepalend voor afmeting 2

Als we doorgaan naar matrices van dimensie 2, krijgen we matrices van het type:

Waar de determinant wordt gedefinieerd als:

De resolutie van deze determinant is gebaseerd op de vermenigvuldiging van de hoofddiagonaal, waarbij het product van de inverse diagonaal wordt afgetrokken.

Als geheugensteun kunnen we het volgende diagram gebruiken om de bepalende factor te onthouden:

Bepalend voor afmeting 3

Als de dimensie van de matrix 3 is, zou de resulterende matrix van dit type zijn:

De determinant van deze matrix zou op deze manier worden opgelost door de regel van Sarrus:

Referenties

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) Wiskunde van 30 seconden: de 50 meest geestverruimende theorieën in de wiskunde. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Een onderzoek naar de berekening van de determinanten van een 3 × 3-matrix. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinanten en matrices. Pass publicatie.
6. Jesse Russell (2012) Regel van Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Inleiding tot lineaire algebra. ESIC-redactie.