BRAVAIS-NETWERKEN: CONCEPT, KENMERKEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De Bravais-roosters zijn alle veertien dimensionale eenheidscellen die in de atomen van een kristal kunnen worden geplaatst. Deze cellen bestaan ​​uit een driedimensionale rangschikking van punten die een basisstructuur vormen die periodiek wordt herhaald in de drie ruimtelijke richtingen.

De oorsprong van deze naam voor basiskristalstructuren gaat terug tot 1850, toen Auguste Bravais aantoonde dat er slechts 14 mogelijke driedimensionale basiseenheidscellen zijn.

Figuur 1. Bravais-roosters zijn de set van 14 eenheidscellen die nodig en voldoende zijn om elke kristallijne structuur te beschrijven. (Wikimedia Commons)

De set van 14 Bravais-netwerken is onderverdeeld in zeven groepen of structuren volgens de geometrie van de cellen, deze zeven groepen zijn:

1- Kubiek

2- Tetragonal

3- Orthorhombisch

4- Trigonaal-zeshoekig

5- Monoclinic

6- Triclinic

7- Trigonal

Elk van deze structuren definieert een eenheidscel, dit is het kleinste deel dat de geometrische rangschikking van de atomen in het kristal behoudt.

Kenmerken van Bravais-netwerken

De veertien Bravais-netwerken zijn, zoals hierboven vermeld, onderverdeeld in zeven groepen. Maar elk van deze groepen heeft zijn eenheidscellen met zijn karakteristieke parameters die zijn:

1- De netwerkparameter (a, b, c)

2- Aantal atomen per cel

3- Relatie tussen netwerkparameter en atomaire straal

4- Coördinatienummer

5- Verpakkingsfactor

6- interstitiële spaties

7- Door translaties langs de vectoren a, b, c wordt de kristalstructuur herhaald.

Kubieke netwerken

Het bestaat uit het enkelvoudige of kubische rooster P, vlakgecentreerde rooster of kubische rooster F en lichaamsgecentreerde rooster of kubusvormige rooster I.

Alle kubieke netwerken hebben de drie netwerkparameters die overeenkomen met de x-, y-, z-richtingen met dezelfde waarde:

a = b = c

Kubisch netwerk P

Het is handig om op te merken dat atomen worden weergegeven door bollen waarvan het middelpunt zich op de hoekpunten van de kubieke eenheidscel P bevindt.

In het geval van het kubische rooster P is het aantal atomen per cel 1, omdat bij elk hoekpunt slechts een achtste van het atoom zich in de eenheidscel bevindt, dus 8 * ⅛ = 1.

Het coördinatiegetal geeft het aantal atomen aan dat naaste buren in het kristalrooster is. In het geval van het kubische rooster P is het coördinatiegetal 6.

Kubisch netwerk I

In dit type netwerk bevindt zich naast de atomen op de hoekpunten van de kubus, een atoom in het midden van de kubus. Dus het aantal atomen per eenheidscel in het kubische rooster P is 2 atomen.

Figuur 2. Op het lichaam gecentreerd kubusvormig rooster.

Kubisch netwerk F

Het is het kubische rooster dat naast de atomen in de hoekpunten een atoom heeft in het midden van het vlak van elke kubus. Het aantal atomen per cel is 4, aangezien elk van de zes atomen in het gezicht de helft in de cel heeft, dat wil zeggen 6 * ½ = 3 plus 8 * ⅛ = 1 op de hoekpunten.

Figuur 3. Gezichtsgecentreerd kubusvormig rooster.

Zeshoekig net

In dit geval is de eenheidscel een recht prisma met een zeshoekige basis. Zeshoekige netwerken hebben de drie overeenkomstige netwerkparameters die aan de volgende relatie voldoen:

een = b ≠ c

De hoek tussen vector a en b is 120º, zoals weergegeven in de figuur. Terwijl tussen vectoren a en c, evenals tussen b en c, rechte hoeken worden gevormd.

Figuur 4. Zeshoekig netwerk.

Het aantal atomen per cel wordt als volgt berekend:

- In elk van de 2 bases van het hexagonale prisma zijn er 6 atomen in de zes hoekpunten. Elk van deze atomen bezet ⅙ van de eenheidscel.

- In het midden van elk van de 2 hexagonale basen bevindt zich 1 atoom dat een 1/2 eenheidscel inneemt.

- Op de 6 zijvlakken van het hexagonale prisma bevinden zich 3 atomen die elk ⅔ van de eenheidscel bezetten en 3 atomen die elk ⅓ van het volume van de eenheidscel bezetten.

(6 x ⅙) x 2 + ½ x 2 + ⅔ x 3 + ⅓ x 3 = 6

De relatie tussen de roosterparameters a en b met de atoomstraal R onder de aanname dat alle atomen een gelijke straal hebben en in contact zijn, is:

een / R = b / R = 2

Voorbeelden

Metalen zijn de belangrijkste voorbeelden van kristallijne structuren en ook de eenvoudigste omdat ze over het algemeen uit slechts één type atoom bestaan. Maar er zijn andere niet-metallische verbindingen die ook kristallijne structuren vormen, zoals diamant, kwarts en vele andere.

- Het ijzer

IJzer heeft een eenvoudige kubieke eenheidscel met rooster- of randparameter a = 0,297 nm. In 1 mm zijn er 3,48 x 10 ^ 6 eenheidscellen.

- Koper

Het heeft een kubische kristalstructuur met het gezicht in het midden, die alleen uit koperatomen bestaat.

- Kostbare edelstenen

Kostbare edelstenen zijn kristallijne structuren van in wezen dezelfde samenstelling, maar met kleine porties onzuiverheden die vaak verantwoordelijk zijn voor hun kleur.

Diamant

Het is uitsluitend samengesteld uit koolstof en bevat geen onzuiverheden, daarom is het kleurloos. Diamant heeft een kubische (isometrisch-hexoctaëdrische) kristalstructuur en is het moeilijkste bekende materiaal.

Kwarts

Het is samengesteld uit siliciumoxide, het is over het algemeen kleurloos of wit. De kristallijne structuur is trigonaal-trapezohedraal.

Robijn

Edelsteen is over het algemeen groen van kleur, heeft een monokliene structuur en is samengesteld uit ijzer-magnesium-calciumsilicaat.

Topaas

Oefening 1

Zoek de relatie tussen de roosterparameter en de atoomstraal voor een kubisch rooster F.

Oplossing: Ten eerste wordt aangenomen dat de atomen worden weergegeven als bollen met alle straal R in "contact" met elkaar, zoals weergegeven in de figuur. Er ontstaat een rechthoekige driehoek waarin het waar is dat:

(4 R) ^ 2 = a ^ 2 + a ^ 2 = 2 a ^ 2

Daarom is de relatie tussen rand en straal:

a / R = 4 / √2

Oefening 2

Zoek de relatie tussen de roosterparameter en de atoomstraal voor een kubisch rooster I (lichaamsgericht).

Oplossing: Aangenomen wordt dat atomen worden weergegeven als bollen met alle straal R die in "contact" met elkaar staan, zoals weergegeven in de afbeelding.

Er worden twee rechthoekige driehoeken gevormd, een met hypotenusa √2a en de andere met hypotenusa √3a, zoals kan worden aangetoond met de stelling van Pythagoras. Vanaf daar hebben we dat de relatie tussen de roosterparameter en de atoomstraal voor een kubisch rooster I (gecentreerd in het lichaam) is:

a / R = 4 / √3

Oefening 3

Vind de pakkingsfactor F voor een eenheidscel met een kubische structuur F (kubisch vlak gecentreerd) waarin de atomen een straal R hebben en in "contact" zijn.

Oplossing: De pakkingsfactor F wordt gedefinieerd als het quotiënt tussen het volume dat wordt ingenomen door de atomen in de eenheidscel en het volume van de cel:

F = V-atomen / V-cel

Zoals hierboven aangetoond, is het aantal atomen per eenheidscel in een vlak gecentreerd kubisch rooster 4, dus de pakkingsfactor zal zijn:

F = 4 / = …

… 4 / ^ 3 = (√2) π / 6 = 0,74

Referenties

1. Crystal Structures Academic Resource Center. . Opgehaald op 24 mei 2018, van: web.iit.edu
2. Kristallen. Opgehaald op 26 mei 2018, van: thoughtco.com
3. Persboeken. 10.6 Roosterstructuren in kristallijne vaste stoffen. Opgehaald op 26 mei 2018, van: opentextbc.ca
4. Ming. (2015, 30 juni). Typen kristalstructuren. Opgehaald op 26 mei 2018, van: crystalvisions-film.com
5. Helmenstine, Anne Marie, Ph.D. (31 januari 2018). Types van
6. Kittel Charles (2013) Solid State Physics, Condensed matter Physics (8e editie). Wiley.
7. KHI. (2007). Kristallijne structuren. Opgehaald op 26 mei 2018, van: folk.ntnu.no
8. Wikipedia. Bravais-roosters. Hersteld van: en.wikipedia.com.