De soorten integralen die we in de calculus vinden, zijn de onbepaalde integralen en de bepaalde integralen. Hoewel bepaalde integralen veel meer toepassingen hebben dan onbepaalde integralen, is het noodzakelijk om eerst te leren hoe u onbepaalde integralen kunt oplossen.
Een van de meest aantrekkelijke toepassingen van bepaalde integralen is de berekening van het volume van een omwentelingslichaam. Beide soorten integralen hebben dezelfde eigenschappen van lineariteit en ook de integratietechnieken zijn niet afhankelijk van het type integraal.
Solide van revolutie
Maar ondanks dat ze erg op elkaar lijken, is er een belangrijk verschil; bij het eerste type integraal is het resultaat een functie (die niet specifiek is) terwijl bij het tweede type het resultaat een getal is.
Basistypen integralen
De wereld van integralen is erg breed, maar daarbinnen kunnen we twee basistypen van integralen onderscheiden, die een grote toepasbaarheid hebben in het dagelijks leven.
1- Onbepaalde integralen
Als F '(x) = f (x) voor alle x in het domein van f, zeggen we dat F (x) een primitief, een primitief of een integraal is van f (x).
Laten we daarentegen opmerken dat (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), wat impliceert dat de integraal van een functie niet uniek is, aangezien we verschillende waarden aan de constante C geven, we verschillende primitieve.
Om deze reden wordt F (x) + C de Onbepaalde Integraal van f (x) genoemd en C de integratieconstante en we schrijven het op de volgende manier
Onbepaalde integraal
Zoals we kunnen zien, is de onbepaalde integraal van de functie f (x) een familie van functies.
Als u bijvoorbeeld de onbepaalde integraal van de functie f (x) = 3x² wilt vinden, moet u eerst een primitief van f (x) vinden.
Het is gemakkelijk in te zien dat F (x) = x³ een primitief is, aangezien F '(x) = 3x². Daarom kan worden geconcludeerd dat
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Bepaalde integralen
Stel dat y = f (x) een reële, continue functie is op een gesloten interval en laat F (x) een primitief zijn van f (x). De bepaalde integraal van f (x) tussen de limieten a en b wordt het getal F (b) -F (a) genoemd en wordt als volgt aangeduid
Fundamentele Theorema van Calculus
De bovenstaande formule is beter bekend als "The Fundamental Theorem of Calculus." Hier wordt "a" de ondergrens genoemd en "b" de bovengrens. Zoals je kunt zien, is de definitieve integraal van een functie een getal.
Als in dit geval de bepaalde integraal van f (x) = 3x² wordt berekend in het interval, wordt een getal verkregen.
Om dit aantal te bepalen kiezen we F (x) = x³ als primitief van f (x) = 3x². Vervolgens berekenen we F (3) -F (0), wat ons het resultaat 27-0 = 27 geeft. Concluderend, de definitieve integraal van f (x) op het interval is 27.
Opgemerkt kan worden dat als G (x) = x³ + 3 wordt gekozen, G (x) een primitief is van f (x) verschillend van F (x), maar dit heeft geen invloed op het resultaat aangezien G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Om deze reden komt de integratieconstante niet voor in de bepaalde integralen.
Een van de meest bruikbare toepassingen van dit type integraal is dat het ons in staat stelt om het oppervlak (volume) van een vlakke figuur (van een omwentelingslichaam) te berekenen, door geschikte functies en integratiegrenzen (en een rotatieas) vast te stellen.
Binnen de bepaalde integralen kunnen we verschillende uitbreidingen ervan vinden, zoals lijnintegralen, oppervlakte-integralen, oneigenlijke integralen, meerdere integralen, onder andere, allemaal met zeer nuttige toepassingen in wetenschap en techniek.
Referenties
- Casteleiro, JM (2012). Is het gemakkelijk te integreren? Zelfstudiehandleiding. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM en Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrale calculus (geïllustreerde red.). Madrid: ESIC-redactie.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus-wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, geïllustreerde red.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrale calculus. Atlantic uitgevers en distributeurs.
- Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Calculus (negende ed.). Prentice Hall.