WAT ZIJN COPLANAIRE VECTOREN? (MET OPGELOSTE OEFENINGEN) - FYSIEK - 2026

De coplanaire vectoren of coplanaire zijn die welke zich in hetzelfde vlak bevinden. Als er maar twee vectoren zijn, zijn deze altijd coplanair, aangezien er oneindige vlakken zijn, is het altijd mogelijk om er een te kiezen die ze bevat.

Als je drie of meer vectoren hebt, kan het zijn dat sommige ervan niet in hetzelfde vlak liggen als de andere, en daarom kunnen ze niet als coplanair worden beschouwd. De volgende afbeelding toont een reeks coplanaire vectoren, vetgedrukt A , B , C en D :

Figuur 1. Vier coplanaire vectoren. Bron: zelf gemaakt.

Vectoren zijn gerelateerd aan het gedrag en de eigenschappen van fysische grootheden die relevant zijn voor wetenschap en techniek; bijvoorbeeld snelheid, versnelling en kracht.

Een kracht heeft verschillende effecten op een object wanneer de manier waarop het wordt uitgeoefend wordt gevarieerd, bijvoorbeeld door de intensiteit, richting en richting te veranderen. Zelfs als u slechts één van deze parameters wijzigt, zijn de resultaten aanzienlijk verschillend.

In veel toepassingen, zowel in statica als dynamica, bevinden de krachten die op een lichaam inwerken zich op hetzelfde vlak, daarom worden ze als coplanair beschouwd.

Voorwaarden voor de vectoren om coplanair te zijn

Om drie vectoren coplanair te maken, moeten ze in hetzelfde vlak liggen en dit gebeurt als ze aan een van de volgende voorwaarden voldoen:

-Vectoren zijn parallel, daarom zijn hun componenten proportioneel en lineair afhankelijk.

-Uw gemengde product is nul.

-Als je drie vectoren hebt en een van deze kan worden geschreven als een lineaire combinatie van de andere twee, zijn deze vectoren coplanair. Als een vector bijvoorbeeld het resultaat is van de som van twee andere, bevinden de drie zich allemaal in hetzelfde vlak.

Als alternatief kan de coplanariteitsvoorwaarde als volgt worden ingesteld:

Gemengd product tussen drie vectoren

Het gemengde product tussen vectoren wordt gedefinieerd met drie vectoren u , v en w, wat resulteert in een scalair die resulteert uit het uitvoeren van de volgende bewerking:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Eerst wordt het kruisproduct tussen haakjes uitgevoerd: v x w , waarvan het resultaat een normaalvector is (loodrecht) op het vlak waarin zowel v als w liggen .

Als u zich in hetzelfde vlak bevindt als v en w , moet het scalaire product (puntproduct) tussen u en genoemde normaalvector natuurlijk 0 zijn. Op deze manier wordt geverifieerd dat de drie vectoren coplanair zijn (ze liggen op hetzelfde vlak).

Als het gemengde product niet nul is, is het resultaat gelijk aan het volume van het parallellepipedum met de vectoren u , v en w als aangrenzende zijden.

Toepassingen

Coplanaire, gelijktijdige en niet-collineaire krachten

De gelijktijdige krachten worden allemaal op hetzelfde punt toegepast. Als ze ook coplanair zijn, kunnen ze worden vervangen door een enkele, die de resulterende kracht wordt genoemd en hetzelfde effect heeft als de oorspronkelijke krachten.

Als een lichaam in evenwicht is dankzij drie coplanaire, gelijktijdige en niet-collineaire (niet parallelle) krachten, genaamd A , B en C, geeft de stelling van Lamy aan dat de relatie tussen deze krachten (magnitudes) als volgt is:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Met α, β en γ als tegengestelde hoeken ten opzichte van de uitgeoefende krachten, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Figuur 2. Drie coplanaire krachten A, B en C werken op een object. Bron: Kiwakwok op Engelse Wikipedia

Opgeloste oefeningen

-Oefening 1

Bepaal de waarde van k zodat de volgende vectoren coplanair zijn:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Oplossing

Omdat we de componenten van de vectoren hebben, wordt het criterium van het gemengde product gebruikt, daarom:

u ( v x w ) = 0

Los eerst v x w op. De vectoren worden uitgedrukt in termen van de eenheidsvectoren i , j en k die de drie loodrechte richtingen in de ruimte onderscheiden (breedte, hoogte en diepte):

v = 4 ik + j + 0 k

w = -1 ik + 2 j -1 k

v X w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 ik = -2 ik + 4 j + 9 k

Nu beschouwen we het scalaire product tussen u en de vector die het resultaat is van de vorige bewerking, waarbij we de bewerking gelijk stellen aan 0:

u ( v X w ) = (-3 ik + k j + 2 k ) · (-2 ik + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

De gezochte waarde is: k = - 6

Dus de vector u is:

u = <-3, -6, 2>

-Oefening 2

De figuur toont een object met een gewicht van W = 600 N, dat in evenwicht hangt dankzij de kabels die onder de hoeken van figuur 3 zijn geplaatst. Is het mogelijk om in deze situatie de stelling van Lamy toe te passen? Zoek in elk geval de magnitudes van T ₁ , T ₂ en T ₃ die evenwicht mogelijk maken.

Figuur 3. Een gewicht hangt in evenwicht onder de werking van de drie weergegeven spanningen. Bron: zelf gemaakt.

Oplossing

De stelling van Lamy is in deze situatie van toepassing als het knooppunt waarop de drie spanningen worden toegepast in aanmerking wordt genomen, aangezien ze een systeem van coplanaire krachten vormen. Eerst wordt het free-body-diagram voor het hangende gewicht gemaakt om de grootte van T ₃ te bepalen _:

Figuur 4. Vrijlichaam diagram voor hangend gewicht. Bron: zelf gemaakt.

Uit de evenwichtstoestand volgt dat:

De hoeken tussen de krachten zijn rood gemarkeerd in de volgende afbeelding, het kan gemakkelijk worden gecontroleerd dat hun som 360 ° is. Nu is het mogelijk om de stelling van Lamy toe te passen, aangezien een van de krachten en de drie hoeken ertussen bekend zijn:

Figuur 5. - In rood de hoeken om de stelling van Lamy toe te passen. Bron: zelf gemaakt.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Daarom: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Opnieuw wordt de stelling van Lamy toegepast om T ₂ op te lossen :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referenties

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica. 31-68.
2. Fysiek. Module 8: Vectoren. Hersteld van: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch 6e editie. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanica voor ingenieurs: statica en dynamiek. 3e editie. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Hersteld van: es.wikipedia.org.