WAT ZIJN SCHUINE DRIEHOEKEN? (MET OEFENINGEN) - WISKUNDE - 2026

De schuine driehoeken zijn die driehoeken die geen rechthoeken zijn. Met andere woorden, de driehoeken zodanig dat geen van hun hoeken een rechte hoek is (hun maat is 90º).

Omdat ze geen rechte hoeken hebben, kan de stelling van Pythagoras niet op deze driehoeken worden toegepast.

Om de gegevens in een schuine driehoek te kennen, is het daarom nodig om andere formules te gebruiken.

De formules die nodig zijn om een ​​schuine driehoek op te lossen, zijn de zogenaamde wetten van sinussen en cosinussen, die later zullen worden beschreven.

Naast deze wetten kan altijd het feit worden gebruikt dat de som van de binnenhoeken van een driehoek gelijk is aan 180 °.

Schuine driehoeken

Zoals aan het begin vermeld, is een schuine driehoek een driehoek zodanig dat geen van de hoeken 90 ° meet.

Het probleem van het vinden van de lengte van de zijden van een schuine driehoek, evenals het vinden van de afmetingen van de hoeken, wordt 'het oplossen van schuine driehoeken' genoemd.

Een belangrijk gegeven bij het werken met driehoeken is dat de som van de drie binnenhoeken van een driehoek gelijk is aan 180º. Dit is een algemeen resultaat, daarom kan het ook voor schuine driehoeken worden toegepast.

Wetten van sinussen en cosinus

Gegeven een driehoek ABC met zijden van lengte "a", "b" en "c":

- De wet van de sinussen stelt dat a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), waarbij A, B en C de tegenovergestelde hoeken zijn van «a», «b» en «c "Respectievelijk.

- De cosinusregel stelt dat: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Op equivalente wijze kunnen de volgende formules worden gebruikt:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) of a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Met behulp van deze formules kunnen de gegevens voor een schuine driehoek worden berekend.

Opdrachten

Hieronder staan ​​enkele oefeningen waarbij op basis van bepaalde aangeleverde gegevens de ontbrekende gegevens van de gegeven driehoeken moeten worden gevonden.

Eerste oefening

Gegeven een driehoek ABC zodanig dat A = 45º, B = 60º en a = 12cm, bereken dan de overige gegevens van de driehoek.

Oplossing

Als we dat gebruiken, is de som van de interne hoeken van een driehoek gelijk aan 180 °, dan hebben we dat

C = 180º-45º-60º = 75º.

De drie invalshoeken zijn al bekend. De wet van sinussen wordt vervolgens gebruikt om de twee ontbrekende zijden te berekenen.

De vergelijkingen die ontstaan ​​zijn 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Vanaf de eerste gelijkheid kunnen we «b» oplossen en dat verkrijgen

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Je kunt ook "c" oplossen en krijgen

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Tweede oefening

Gegeven driehoek ABC zodat A = 60º, C = 75º en b = 10 cm, bereken de andere gegevens van de driehoek.

Oplossing

Net als in de vorige oefening, B = 180º-60º-75º = 45º. Verder hebben we, gebruikmakend van de wet van sinussen, dat a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), waaruit blijkt dat a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm en c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Derde oefening

Gegeven driehoek ABC zodanig dat a = 10cm, b = 15cm en C = 80º, bereken de andere gegevens van de driehoek.

Oplossing

In deze oefening is slechts één hoek bekend, daarom kan deze niet worden gestart zoals in de vorige twee oefeningen. Ook kan de wet van de sinussen niet worden toegepast omdat er geen vergelijking kan worden opgelost.

Daarom gaan we verder met het toepassen van de cosinusregel. Het is dan dat

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

zodat c ≈ 16,51 cm. Nu we de 3 kanten kennen, wordt de wet van de sinussen gebruikt en dat wordt verkregen

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Het oplossen van B resulteert dus in sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, wat impliceert dat B ≈ 63,38º.

Nu kunnen we verkrijgen dat A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Vierde oefening

De zijden van een schuine driehoek zijn a = 5 cm, b = 3 cm en c = 7 cm. Zoek de hoeken van de driehoek.

Oplossing

Nogmaals, de wet van de sinussen kan niet rechtstreeks worden toegepast, aangezien geen vergelijking zou dienen om de waarde van de hoeken te verkrijgen.

Met behulp van de cosinuswet hebben we dat c² = a² + b² - 2ab cos (C), waarvan we bij het oplossen dat cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 en dus C = 120º.

Als we nu de wet van sinussen kunnen toepassen en zo 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120º) kunnen krijgen, van waaruit we B kunnen oplossen en die sin (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, zodat B = 21,79º.

Ten slotte wordt de laatste hoek berekend met dat A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referenties

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometry (herdruk red.). Vooruitgang.
2. Leake, D. (2006). Driehoeken (geïllustreerd red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrieën. CR-technologie.
5. Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.