POLYTROPISCH PROCES: KENMERKEN, TOEPASSINGEN EN VOORBEELDEN - FYSIEK - 2026

Een polytropisch proces is een thermodynamisch proces dat optreedt wanneer de relatie tussen druk P en volume V gegeven door PV ⁿ constant wordt gehouden. De exponent n is een reëel getal, meestal tussen nul en oneindig, maar kan in sommige gevallen negatief zijn.

De waarde van n wordt de polytropie-index genoemd en het is belangrijk op te merken dat tijdens een polytropisch thermodynamisch proces deze index een vaste waarde moet behouden, anders wordt het proces niet als polytropisch beschouwd.

Figuur 1. Karakteristieke vergelijking van een polytropisch thermodynamisch proces. Bron: F. Zapata.

Kenmerken van polytropische processen

Enkele kenmerkende gevallen van polytropische processen zijn:

- Het isotherme proces (bij constante temperatuur T), waarbij de exponent n = 1 is.

- Een isobaar proces (bij constante druk P), in dit geval n = 0.

- Het isochoor proces (bij constant volume V), waarvoor n = + ∞.

- Adiabatische processen (bij constante S entropie), waarbij de exponent n = γ is, waarbij γ de adiabatische constante is. Deze constante is het quotiënt tussen de warmtecapaciteit bij constante druk Cp gedeeld door de warmtecapaciteit bij constant volume Cv:

γ = Cp / Cv

- Elk ander thermodynamisch proces dat niet een van de voorgaande gevallen is. maar dat voldoet aan PV ⁿ = ctte met een reële en constante polytropische index n zal ook een polytropisch proces zijn.

Figuur 2. Verschillende karakteristieke gevallen van polytropische thermodynamische processen. Bron: Wikimedia Commons.

Toepassingen

Een van de belangrijkste toepassingen van de polytropische vergelijking is het berekenen van het werk dat wordt gedaan door een gesloten thermodynamisch systeem, wanneer het op een quasi-statische manier overgaat van een begintoestand naar een eindtoestand, dat wil zeggen na een opeenvolging van evenwichtstoestanden.

Werk aan polytropische processen voor verschillende waarden van n

Voor n ≠ 1

De mechanische arbeid W uitgevoerd door een gesloten thermodynamisch systeem wordt berekend door de uitdrukking:

W = ∫P.dV

Waar P is druk en V is volume.

Net als bij een polytropisch proces is de relatie tussen druk en volume:

We laten het mechanische werk doen tijdens een polytropisch proces, dat begint in een begintoestand 1 en eindigt in de eindtoestand 2. Dit alles verschijnt in de volgende uitdrukking:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Door de waarde van de constante in de werkuitdrukking te vervangen, krijgen we:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

In het geval dat de werkende substantie gemodelleerd kan worden als een ideaal gas, hebben we de volgende toestandsvergelijking:

PV = mRT

Waarbij m het aantal mol van het ideale gas is en R de universele gasconstante.

Voor een ideaal gas dat een polytropisch proces volgt met een polytropie-index die verschilt van eenheid en dat overgaat van een toestand met begintemperatuur T ₁ naar een andere toestand met temperatuur T ₂ , wordt het uitgevoerde werk gegeven door de volgende formule:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Voor n → ∞

Volgens de formule voor het werk verkregen in de vorige sectie, hebben we dat het werk van een polytropisch proces met n = ∞ nul is, omdat de uitdrukking van het werk gedeeld is door oneindig en daarom neigt het resultaat naar nul .

Een andere manier om tot dit resultaat te komen, is door te vertrekken vanuit de relatie P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , die als volgt kan worden herschreven:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Als we de nde wortel in elk lid nemen, krijgen we:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

In het geval dat n → ∞, geldt (V ₂ / V1) = 1, wat betekent dat:

V ₂ = V ₁

Dat wil zeggen, het volume verandert niet in een polytropisch proces met n → ∞. Daarom is het volumeverschil dV in de integraal van mechanisch werk 0. Dit type polytropische processen staat ook bekend als isochore processen of processen met constant volume.

Voor n = 1

Opnieuw hebben we de uitdrukking de uitdrukking voor werk:

W = ∫P dV

In het geval van een polytropisch proces met n = 1, is de relatie tussen druk en volume:

PV = constant = C

Door P uit de vorige uitdrukking op te lossen en te substitueren, hebben we het werk gedaan om van begintoestand 1 naar eindtoestand 2 te gaan:

Het is te zeggen:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Omdat de begin- en eindtoestand goed bepaald zijn, geldt dat ook voor de ctte. Het is te zeggen:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Ten slotte hebben we de volgende bruikbare uitdrukkingen om het mechanische werk te vinden van een gesloten polytropisch systeem waarin n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Als de werksubstantie uit m mol ideaal gas bestaat, kan de ideale gasstatusvergelijking worden toegepast: PV = mRT

In dit geval, aangezien PV ₁ = ctte, hebben we dat een polytropisch proces met n = 1 een proces is bij constante temperatuur T (isotherm), zodat de volgende uitdrukkingen voor het werk kunnen worden verkregen:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Figuur 3. Een smeltende ijspegel, voorbeeld van een isotherm proces. Bron: Pixabay.

Voorbeelden van polytropische processen

- Voorbeeld 1

Stel dat een cilinder met een beweegbare zuiger gevuld is met één kilo lucht. Aanvankelijk neemt de lucht een volume V ₁ = 0,2 m ^{3 in} bij een druk P ₁ = 400 kPa. Een polytropisch proces wordt gevolgd met n = γ = 1,4, waarvan de eindtoestand druk P ₂ = 100 kPa heeft. Bepaal het werk dat wordt gedaan door de lucht op de zuiger.

Oplossing

Wanneer de polytropie-index gelijk is aan de adiabatische constante, is er een proces waarbij de werksubstantie (lucht) geen warmte uitwisselt met de omgeving, en daarom verandert de entropie ook niet.

Voor lucht, een diatomisch ideaal gas, hebben we:

γ = Cp / Cv, met Cp = (7/2) R en Cv = (5/2) R

Zo:

γ = 7/5 = 1,4

Met behulp van de uitdrukking van het polytropisch proces kan het uiteindelijke volume van de lucht worden bepaald:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Nu hebben we de voorwaarden om de formule van het werk dat is gedaan in een polytropisch proces toe te passen voor n ≠ 1 dat hierboven is verkregen:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Als we de juiste waarden vervangen, hebben we:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Voorbeeld 2

Veronderstel dezelfde cilinder uit Voorbeeld 1, met een beweegbare zuiger gevuld met één kilogram lucht. Aanvankelijk neemt de lucht een volume V1 = 0,2 m ^{3 in} bij een druk P1 = 400 kPa. Maar in tegenstelling tot het vorige geval, zet de lucht isotherm uit om een ​​einddruk P2 = 100 kPa te bereiken. Bepaal het werk dat wordt gedaan door de lucht op de zuiger.

Oplossing

Zoals eerder gezien, zijn isotherme processen polytropische processen met index n = 1, dus het is waar dat:

P1 V1 = P2 V2

Op deze manier kan het uiteindelijke volume gemakkelijk worden losgemaakt om te verkrijgen:

V2 = 0,8 m ³

Vervolgens, met behulp van de werkuitdrukking die eerder is verkregen voor het geval n = 1, hebben we dat het werk dat wordt gedaan door de lucht op de zuiger in dit proces is:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Thermodynamica. 7e editie. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 4. Vloeistoffen en thermodynamica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. De eerste wet van de thermodynamica. Hersteld van: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9e Ed. Cengage Learning.
7. Sevilla Universiteit. Thermische machines. Hersteld van: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropisch proces. Hersteld van: wikiwand.com.