TRAAGHEIDSMOMENT: FORMULES, VERGELIJKINGEN EN REKENVOORBEELDEN - FYSIEK - 2025

Het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een bepaalde rotatieas vertegenwoordigt de weerstand tegen het veranderen van de hoeksnelheid rond die as. Het is evenredig met de massa en ook met de locatie van de rotatieas, aangezien het lichaam, afhankelijk van zijn geometrie, gemakkelijker rond bepaalde assen kan draaien dan in andere.

Stel dat een groot object (bestaande uit veel deeltjes) om een ​​as kan draaien. Stel dat een kracht F werkt , tangentiaal uitgeoefend op het massa-element Δm _i , die een koppel of moment produceert, gegeven door τ _net = ∑ r _i x F _i . De vector r _i is de positie van Δm _i (zie figuur 2).

Figuur 1. Traagheidsmomenten van verschillende figuren. Bron: Wikimedia Commons.

Dit moment staat loodrecht op het rotatievlak (richting + k = het papier verlaten). Omdat de kracht en de radiale positievector altijd loodrecht staan, blijft het dwarsproduct:

τ _netto = ∑ F _ik r _ik k = ∑ (Δm _ik een _ik ) r _ik k = ∑ Δm _ik (een _ik r _ik ) k

Figuur 2. Een deeltje behorend tot een starre vaste stof in rotatie. Bron: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Deel 1. Cengage Learning.

De versnelling a _i vertegenwoordigt de tangentiële component van de versnelling, aangezien de radiale versnelling niet bijdraagt ​​aan het koppel. Als functie van de hoekversnelling α kunnen we aangeven dat:

Daarom ziet het nettokoppel er als volgt uit:

τ _netto = ∑ Δm _ik (α r _ik ² ) k = ( ∑ r _ik ² Δm _ik ) α k

De hoekversnelling α is hetzelfde voor het hele object, daarom wordt het niet beïnvloed door het subscript "i" en kan het de sommatie verlaten, wat precies het traagheidsmoment is van het object gesymboliseerd door de letter I:

Dit is het traagheidsmoment van een discrete massaverdeling. Wanneer de verdeling continu is, wordt de sommatie vervangen door een integraal en wordt Δm een ​​massaverschil dm. De integraal wordt over het hele object uitgevoerd:

De eenheden voor het traagheidsmoment in het SI International System zijn kg xm ² . Het is een scalaire en positieve grootheid, aangezien het het product is van een massa en het kwadraat van een afstand.

Rekenvoorbeelden

Een uitgebreid object, zoals een staaf, schijf, bol of iets anders, waarvan de dichtheid ρ constant is en wetende dat de dichtheid de massa-volumeverhouding is, wordt het massaverschil dm geschreven als:

Als we het traagheidsmoment in de integraal vervangen, hebben we:

Dit is een algemene uitdrukking, geldig voor een driedimensionaal object, waarvan het volume V en positie r functies zijn van de ruimtelijke coördinaten x, y en z. Merk op dat de dichtheid constant is en buiten de integraal valt.

De dichtheid ρ staat ook bekend als bulkdichtheid, maar als het object erg plat is, zoals een plaat of erg dun en smal als een staaf, kunnen andere vormen van dichtheid worden gebruikt, laten we eens kijken:

- Voor een zeer dunne plaat is de te gebruiken dichtheid σ, de oppervlaktedichtheid (massa per oppervlakte-eenheid) en dA is het oppervlakteverschil.

- En als het een dunne staaf is, waarbij alleen de lengte relevant is, worden de lineaire massadichtheid λ en een lengteverschil gebruikt, volgens de as die als referentie wordt gebruikt.

In de volgende voorbeelden worden alle objecten als stijf (niet vervormbaar) beschouwd en hebben ze een uniforme dichtheid.

Traagheidsmoment van een dunne staaf ten opzichte van een as die door het midden gaat

Hier gaan we het traagheidsmoment berekenen van een dunne, stijve, homogene staaf met lengte L en massa M, ten opzichte van een as die door het medium gaat.

Ten eerste is het nodig om een ​​coördinatensysteem op te zetten en een figuur met de juiste geometrie te bouwen, zoals dit:

Figuur 3. Geometrie om het traagheidsmoment van een dunne staaf te berekenen ten opzichte van een verticale as die door het midden gaat. Bron: F. Zapata.

De x-as langs de staaf en de y-as werd gekozen als rotatieas. De procedure om de integraal vast te stellen vereist ook het kiezen van een massaverschil op de staaf, dm genaamd, dat een verschillengte dx heeft en zich op de willekeurige positie x bevindt ten opzichte van het middelpunt x = 0.

Volgens de definitie van lineaire massadichtheid λ:

Omdat de dichtheid uniform is, wat geldt voor M en L, geldt deze ook voor dm en dx:

Aan de andere kant bevindt het massa-element zich op positie x, dus door deze geometrie in de definitie te vervangen, hebben we een bepaalde integraal, waarvan de limieten de uiteinden van de staaf zijn volgens het coördinatensysteem:

Vervanging van de lineaire dichtheid λ = M / L:

Om het traagheidsmoment van de staaf te vinden ten opzichte van een andere rotatie-as, bijvoorbeeld een as die door een van zijn extremen gaat, kunt u de stelling van Steiner gebruiken (zie de oefening die aan het einde is opgelost) of een directe berekening uitvoeren vergelijkbaar met de getoonde hier, maar de geometrie op de juiste manier aanpassen.

Traagheidsmoment van een schijf ten opzichte van een as die door het midden gaat

Een zeer dunne schijf van verwaarloosbare dikte is een platte figuur. Als de massa gelijkmatig is verdeeld over het gehele oppervlak van gebied A, is de massadichtheid σ:

Zowel dm als dA komen overeen met de massa en het oppervlak van de differentieelring zoals weergegeven in de figuur. We gaan ervan uit dat het hele samenstel rond de y-as draait.

Je kunt je voorstellen dat de schijf is samengesteld uit vele concentrische ringen met straal r, elk met zijn eigen traagheidsmoment. Als we de bijdragen van alle ringen optellen tot het bereiken van de straal R, hebben we het totale traagheidsmoment van de schijf.

Figuur 4. Geometrie om het traagheidsmoment van een schijf te berekenen ten opzichte van de axiale as. Bron: F. Zapata.

Waar M staat voor de volledige massa van de schijf. De oppervlakte van een schijf hangt af van de straal r als:

Afleiden met betrekking tot r:

Het bovenstaande vervangen in de definitie van I:

Als we σ = M / (π.R ² ) vervangen, krijgen we:

Traagheidsmoment van een massieve bol ongeveer een diameter

Een bol met straal R kan worden beschouwd als een reeks schijven die op elkaar zijn gestapeld, waarbij elke schijf met oneindig kleine massa dm, straal r en dikte dz een traagheidsmoment heeft dat wordt gegeven door:

Om dit verschil te vinden, hebben we simpelweg de formule uit de vorige sectie genomen en vervangen door M en R voor respectievelijk dm en r. Zo'n schijf is te zien in de geometrie van figuur 5.

Figuur 5. Geometrie om het traagheidsmoment van een massieve bol met straal R te berekenen ten opzichte van een as die door een diameter gaat. Bron: F. Zapata.

Door alle oneindig kleine traagheidsmomenten van gestapelde schijven bij elkaar op te tellen, wordt het totale traagheidsmoment van de bol verkregen:

Wat gelijk staat aan:

Om de integraal op te lossen, moet u dm op de juiste manier uitdrukken. Zoals altijd wordt het bereikt door de dichtheid:

Het volume van een differentiële schijf is:

De hoogte van de schijf is de dikte dz, terwijl de oppervlakte van de basis πr ^{2 is} , dus:

En als je de voorgestelde integraal vervangt, zou het er als volgt uitzien:

Maar voordat we integreren, moeten we opmerken dat r –de straal van de schijf- afhangt van z en R –de straal van de bol-, zoals te zien is in figuur 5. Met de stelling van Pythagoras:

Wat ons leidt tot:

Om over de hele bol te integreren, merken we op dat z varieert tussen –R en R, dus:

Wetende dat ρ = M / V = ​​M / uiteindelijk wordt verkregen, na vereenvoudiging:

Traagheidsmoment van een massieve cilinder ten opzichte van de axiale as

Voor dit object wordt een methode gebruikt die vergelijkbaar is met die voor de bol, alleen is het deze keer gemakkelijker als wordt gedacht dat de cilinder bestaat uit cilindrische schalen met straal r, dikte dr en hoogte H, alsof het de lagen van een ui zijn. .

Figuur 6. Geometrie om het traagheidsmoment van een massieve cilinder met straal R te berekenen ten opzichte van de axiale as. Bron: Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Deel 1. Cengage.

Het volume dV van een cilindrische laag is:

Daarom is de schaalmassa:

Deze uitdrukking wordt vervangen in de definitie van traagheidsmoment:

De bovenstaande vergelijking geeft aan dat het traagheidsmoment van de cilinder niet afhangt van zijn lengte, maar alleen van zijn massa en straal. Als L zou veranderen, zou het traagheidsmoment om de axiale as hetzelfde blijven. Om deze reden valt I van de cilinder samen met die van de eerder berekende dunne schijf.

Traagheidsmoment van een rechthoekige plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat

Als rotatie-as is gekozen voor de horizontale y-as. De onderstaande afbeelding toont de geometrie die nodig is om de integratie uit te voeren:

Figuur 7. Geometrie voor het berekenen van het traagheidsmoment van een rechthoekige plaat ten opzichte van een as evenwijdig aan de plaat en door het midden ervan. Bron: F. Zapata.

Het rood gemarkeerde gebiedselement is rechthoekig. Het gebied is basis x hoogte, daarom:

Daarom is het massaverschil:

Wat betreft de afstand van het gebiedselement tot de rotatieas, deze is altijd z. We vervangen dit alles in de integraal van het traagheidsmoment:

Nu wordt de massadichtheid van het oppervlak σ vervangen door:

En het ziet er zeker zo uit:

Merk op dat het lijkt op de dunne staaf.

Traagheidsmoment van een vierkante plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat

Voor een vierkant met zijde L, in de vorige uitdrukking geldig voor een rechthoek, vervangt u eenvoudig de waarde van b door die van L:

Stellingen over traagheidsmoment

Er zijn twee bijzonder bruikbare stellingen om de berekening van traagheidsmomenten ten opzichte van andere assen te vereenvoudigen, die anders moeilijk te vinden zijn vanwege een gebrek aan symmetrie. Deze stellingen zijn:

De stelling van Steiner

Ook wel de stelling van de parallelle assen genoemd, het relateert het traagheidsmoment ten opzichte van een as met een andere die door het massamiddelpunt van het object gaat, zolang de assen evenwijdig zijn. Om het toe te passen, is het noodzakelijk om de afstand D tussen beide assen te kennen en natuurlijk de massa M van het object.

Laat I _z het traagheidsmoment zijn van een object verlengd ten opzichte van de z-as, ik _CM het traagheidsmoment ten opzichte van een as die door het massamiddelpunt (CM) van dat object gaat, dan is voldaan dat:

Of in de notatie van de volgende figuur: I _{z '} = I _z + Md ²

Figuur 8. De stelling van Steiner of parallelle assen. Bron: Wikimedia Commons. Jack Zie

Stelling van loodrechte assen

Deze stelling wordt toegepast op vlakke oppervlakken en gaat als volgt: het traagheidsmoment van een vlak object rond een as loodrecht daarop is de som van de traagheidsmomenten rond twee assen loodrecht op de eerste as:

Figuur 9. Stelling van loodrechte assen. Bron: F. Zapata.

Als het object symmetrie heeft zodat I _x en I _y gelijk zijn, dan is het waar dat:

Oefening opgelost

Zoek het traagheidsmoment van de staaf ten opzichte van een as die door een van zijn uiteinden gaat, zoals weergegeven in figuur 1 (rechtsonder) en figuur 10.

Figuur 10. Traagheidsmoment van een homogene staaf rond een as die door één uiteinde loopt. Bron: F. Zapata.

Oplossing:

We hebben al het traagheidsmoment van de staaf rond een as die door zijn geometrische middelpunt gaat. Omdat de balk homogeen is, bevindt het zwaartepunt zich op dat punt, dus dit zal onze I _{CM zijn} om de stelling van Steiner toe te passen.

Als de lengte van de staaf L is, bevindt de z-as zich op een afstand D = L / 2, dus:

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Parallel Axis Theorema. Hersteld van: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Deel 1. Cengage.
5. Sevilla Universiteit. Sferische vaste lichamen traagheidsmoment. Hersteld van: laplace.us.es.
6. Sevilla Universiteit. Traagheidsmoment van een deeltjessysteem. Hersteld van: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Stelling van de parallelle as. Hersteld van: en.wikipedia.org