AXIOMATISCHE METHODE: KENMERKEN, STAPPEN, VOORBEELDEN - CULTUUR WOORDENSCHAT - 2025

De axiomatische methode of ook wel axiomatiek genoemd is een formele procedure die door de wetenschappen wordt gebruikt door middel waarvan uitspraken of proposities die axioma's worden genoemd, worden geformuleerd, met elkaar verbonden door een relatie van aftrekbaarheid en die de basis vormen van de hypothesen of voorwaarden van een bepaald systeem.

Deze algemene definitie moet worden ingekaderd binnen de evolutie die deze methodologie door de geschiedenis heen heeft doorgemaakt. In de eerste plaats is er een oude of inhoudelijke methode, geboren in het oude Griekenland uit Euclides en later ontwikkeld door Aristoteles.

Ten tweede, al in de 19e eeuw, het verschijnen van een geometrie met axioma's die verschillen van die van Euclides. En tenslotte de formele of moderne axiomatische methode, waarvan de grootste exponent David Hilbert was.

Naast zijn ontwikkeling in de loop van de tijd, was deze procedure de basis van de deductieve methode, die werd gebruikt in de geometrie en logica waar deze vandaan kwam. Het is ook gebruikt in de natuurkunde, scheikunde en biologie.

En het is zelfs toegepast binnen de juridische wetenschap, sociologie en politieke economie. Momenteel is het belangrijkste toepassingsgebied echter wiskunde en symbolische logica en sommige takken van de natuurkunde, zoals thermodynamica, mechanica, en andere disciplines.

kenmerken

Hoewel het fundamentele kenmerk van deze methode de formulering van axioma's is, zijn deze niet altijd op dezelfde manier beschouwd.

Er zijn er enkele die op een willekeurige manier kunnen worden gedefinieerd en geconstrueerd. En andere, volgens een model waarin de gegarandeerde waarheid intuïtief wordt overwogen.

Om specifiek te begrijpen waaruit dit verschil en de gevolgen ervan bestaan, is het noodzakelijk om de evolutie van deze methode te doorlopen.

Oude of inhoudelijke axiomatische methode

Het is degene die in het oude Griekenland werd opgericht tegen de 5e eeuw voor Christus. Het toepassingsgebied is geometrie. Het fundamentele werk van deze fase zijn de Elementen van Euclides, hoewel men denkt dat Pythagoras vóór hem al de axiomatische methode had voortgebracht.

De Grieken nemen dus bepaalde feiten als axioma's, zonder dat er enig logisch bewijs nodig is, dat wil zeggen, zonder dat er bewijs nodig is, aangezien ze voor hen een vanzelfsprekende waarheid zijn.

Euclides van zijn kant presenteert vijf axioma's voor geometrie:

1-Gegeven twee punten is er een lijn die ze bevat of samenvoegt.

2-Elk segment kan aan beide zijden continu in een onbeperkte lijn worden verlengd.

3-U kunt een cirkel tekenen met een middelpunt op elk punt en in elke straal.

4-De rechte hoeken zijn allemaal hetzelfde.

5-Als je een rechte lijn neemt en elk punt dat er niet in staat, loopt er een rechte lijn parallel aan en die bevat dat punt. Dit axioma is later bekend als het axioma van parallellen en wordt ook wel verkondigd als: een enkele parallel kan worden getrokken vanaf een punt buiten een lijn.

Zowel Euclides als latere wiskundigen zijn het er echter over eens dat het vijfde axioma niet zo intuïtief duidelijk is als het andere 4. Zelfs tijdens de Renaissance wordt een poging gedaan om het vijfde van de andere 4 af te leiden, maar dat is niet mogelijk.

Dit maakte dat al in de 19e eeuw degenen die de vijf handhaafden voorstander waren van de Euclidische meetkunde en degenen die de vijfde ontkenden, degenen waren die de niet-Euclidische meetkunde creëerden.

Niet-Euclidische axiomatische methode

Het zijn precies Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai en Johann Karl Friedrich Gauss die de mogelijkheid zien om zonder tegenspraak een geometrie te construeren die voortkomt uit andere systemen van axioma's dan die van Euclides. Dit vernietigt het geloof in de absolute waarheid of a priori van de axioma's en de theorieën die daaruit voortkomen.

Bijgevolg beginnen axioma's te worden opgevat als uitgangspunten voor een bepaalde theorie. Ook beginnen zowel zijn keuze als het probleem van de geldigheid ervan in een of andere zin verband te houden met feiten buiten de axiomatische theorie.

Op deze manier lijken geometrische, algebraïsche en rekenkundige theorieën te zijn opgebouwd met behulp van de axiomatische methode.

Deze fase culmineert in de creatie van axiomatische systemen voor rekenkunde zoals die van Giuseppe Peano in 1891; De geometrie van David Hubert in 1899; de verklaringen en predikaatberekeningen van Alfred North Whitehead en Bertrand Russell, in Engeland in 1910; De axiomatische theorie van verzamelingen van Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo in 1908.

Moderne of formele axiomatische methode

Het is David Hubert die de conceptie van een formele axiomatische methode initieert en die tot zijn hoogtepunt leidt, David Hilbert.

Het is precies Hilbert die wetenschappelijke taal formaliseert en de uitspraken ervan beschouwt als formules of tekenreeksen die op zichzelf geen betekenis hebben. Ze krijgen pas betekenis in een bepaalde interpretatie.

In "The foundations of geometry" legt hij het eerste voorbeeld van deze methodologie uit. Vanaf hier wordt meetkunde een wetenschap van puur logische consequenties, die worden ontleend aan een systeem van hypothesen of axioma's, beter gearticuleerd dan het Euclidische systeem.

Dit komt omdat in het oude systeem de axiomatische theorie is gebaseerd op het bewijs van de axioma's. Hoewel het ten grondslag ligt aan de formele theorie, wordt het gegeven door de demonstratie van de niet-tegenspraak van zijn axioma's.

Stappen

De procedure die een axiomatische structurering uitvoert binnen wetenschappelijke theorieën, erkent:

a-de keuze van een bepaald aantal axioma's, dat wil zeggen een aantal proposities van een bepaalde theorie die worden aanvaard zonder dat ze bewezen hoeven te worden.

b-de concepten die deel uitmaken van deze proposities worden niet bepaald binnen het kader van de gegeven theorie.

c-de regels voor definitie en deductie van de gegeven theorie zijn opgesteld en maken het mogelijk nieuwe concepten binnen de theorie te introduceren en sommige proposities logisch af te leiden van andere.

d-de andere proposities van de theorie, dat wil zeggen de stelling, worden afgeleid uit a op basis van c.

Voorbeelden

Deze methode kan worden geverifieerd door het bewijs van de twee bekendste stellingen van Euclides: de benen stelling en de hoogtestelling.

Beide komen voort uit de waarneming van deze Griekse meetkundige dat wanneer de hoogte ten opzichte van de hypotenusa binnen een rechthoekige driehoek wordt uitgezet, er nog twee driehoeken van het origineel verschijnen. Deze driehoeken lijken op elkaar en lijken tegelijkertijd op de driehoek van oorsprong. Dit veronderstelt dat hun respectievelijke homologe kanten proportioneel zijn.

Te zien is dat de congruente hoeken in de driehoeken op deze manier de gelijkenis bevestigen die bestaat tussen de drie betrokken driehoeken volgens het AAA-gelijkeningscriterium. Dit criterium houdt in dat wanneer twee driehoeken allemaal dezelfde hoeken hebben, ze vergelijkbaar zijn.

Zodra is aangetoond dat de driehoeken vergelijkbaar zijn, kunnen de verhoudingen die in de eerste stelling zijn gespecificeerd, worden vastgesteld. Dezelfde bewering dat in een rechthoekige driehoek de maat van elk been het geometrisch evenredige gemiddelde is tussen de hypotenusa en de projectie van het been erop.

De tweede stelling is die van de hoogte. Het specificeert dat elke rechthoekige driehoek waarvan de hoogte wordt getekend volgens de hypotenusa het geometrische proportionele gemiddelde is tussen de segmenten die worden bepaald door het geometrische gemiddelde op de hypotenusa.

Beide stellingen hebben natuurlijk talloze toepassingen over de hele wereld, niet alleen in het onderwijs, maar ook in techniek, natuurkunde, scheikunde en astronomie.

Referenties

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrie, formalisme en intuïtie: David Hilbert en de formele axiomatische methode (1895-1905). Revista de Filosofía, deel 39 nr. 2, blz. 121-146. Genomen uit magazines.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatisch denken. In W. Ewald, redacteur, van Kant tot Hilbert: een bronnenboek in de basis van de wiskunde. Deel II, blz. 1105-1114. Oxford Universiteit krant. 2005 een.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Wat is de axiomatische methode? Synthese, november 2011, deel 189, pp. 69-85. Genomen van link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Inleiding tot de hedendaagse rechtsfilosofie. (pp.48-49). Overgenomen van books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, een lezing door Ricardo Nirenberg, Fall 1996, the University at Albany, Project Renaissance. Ontleend aan Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert tussen de formele en de informele kant van wiskunde. Manuscript vol. 38 nee. 2, Campinas juli / augustus 2015. Genomen uit scielo.br.