De potentiaalgradiënt is een vector die de veranderingssnelheid van de elektrische potentiaal weergeeft met betrekking tot de afstand op elke as van een Cartesiaans coördinatensysteem. De potentiaalgradiëntvector geeft dus de richting aan waarin de veranderingssnelheid van de elektrische potentiaal groter is, als functie van de afstand.
De modulus van de potentiaalgradiënt weerspiegelt op zijn beurt de mate van verandering van de variatie van elektrische potentiaal in een bepaalde richting. Als de waarde hiervan op elk punt in een ruimtelijk gebied bekend is, kan het elektrische veld worden verkregen uit de potentiaalgradiënt.
Het elektrische veld wordt gedefinieerd als een vector en heeft dus een specifieke richting en grootte. Door de richting te bepalen waarin de elektrische potentiaal het snelst afneemt - weg van het referentiepunt - en deze waarde te delen door de afgelegde afstand, wordt de grootte van het elektrische veld verkregen.
kenmerken
De potentiaalgradiënt is een vector die wordt begrensd door specifieke ruimtelijke coördinaten, die de verhouding meet tussen de elektrische potentiaal en de afstand die door de potentiaal wordt afgelegd.
De meest opvallende kenmerken van de elektrische potentiaalgradiënt worden hieronder beschreven:
1- De potentiële gradiënt is een vector. Daarom heeft het een specifieke omvang en richting.
2- Aangezien de potentiële gradiënt een vector in de ruimte is, heeft deze grootheden gericht op de X (breedte), Y (hoogte) en Z (diepte) assen, als het Cartesiaanse coördinatensysteem als referentie wordt genomen.
3- Deze vector staat loodrecht op het equipotentiaaloppervlak op het punt waar het elektrische potentieel wordt geëvalueerd.
4- De potentiaalgradiëntvector is gericht in de richting van maximale variatie van de elektrische potentiaalfunctie op elk punt.
5- De modulus van de potentiaalgradiënt is gelijk aan de afgeleide van de elektrische potentiaalfunctie met betrekking tot de afgelegde afstand in de richting van elk van de assen van het Cartesiaans coördinatensysteem.
6- De potentiaalgradiënt heeft een nulwaarde op stationaire punten (maxima, minimum en zadelpunten).
7- In het internationale systeem van eenheden (SI) zijn de meeteenheden van de potentiële gradiënt volt / meter.
8- De richting van het elektrische veld is dezelfde waarin het elektrische potentieel sneller afneemt. De potentiële gradiënt wijst op zijn beurt in de richting waarin de potentiaal in waarde toeneemt ten opzichte van een positieverandering. Het elektrische veld heeft dus dezelfde waarde van de potentiaalgradiënt, maar met het tegenovergestelde teken.
Hoe bereken je het?
Het verschil in elektrisch potentieel tussen twee punten (punt 1 en punt 2) wordt gegeven door de volgende uitdrukking:
Waar:
V1: elektrisch potentieel op punt 1.
V2: elektrisch potentieel op punt 2.
E: grootte van het elektrische veld.
Ѳ: hoek de inclinatie van de gemeten elektrische veldvector ten opzichte van het coördinatensysteem.
Wanneer deze formule differentieel wordt uitgedrukt, volgt het volgende:
De factor E * cos (Ѳ) verwijst naar de modulus van de elektrische veldcomponent in de richting van dl. Laat L de horizontale as van het referentievlak zijn, dan cos (Ѳ) = 1, als volgt:
Hierna is het quotiënt tussen de variatie in elektrische potentiaal (dV) en de variatie in de afgelegde afstand (ds) de modulus van de potentiaalgradiënt voor genoemde component.
Van daaruit volgt dat de grootte van de elektrische potentiaalgradiënt gelijk is aan de component van het elektrische veld in de studierichting, maar met het tegenovergestelde teken.
Aangezien de werkelijke omgeving echter driedimensionaal is, moet de potentiële gradiënt op een bepaald punt worden uitgedrukt als de som van drie ruimtelijke componenten op de X-, Y- en Z-assen van het Cartesiaanse systeem.
Door de elektrische veldvector op te splitsen in zijn drie rechthoekige componenten, hebben we het volgende:
Als er een gebied in het vlak is waarin de elektrische potentiaal dezelfde waarde heeft, is de partiële afgeleide van deze parameter met betrekking tot elk van de cartesiaanse coördinaten nul.
Dus op punten die zich op equipotentiaaloppervlakken bevinden, zal de intensiteit van het elektrische veld een grootte van nul hebben.
Ten slotte kan de potentiaalgradiëntvector worden gedefinieerd als exact dezelfde elektrische veldvector (in grootte), met het tegenovergestelde teken. We hebben dus het volgende:
Voorbeeld
Van de vorige berekeningen is het nodig om:
Voordat echter het elektrische veld wordt bepaald als functie van de potentiaalgradiënt, of omgekeerd, moet eerst worden bepaald in welke richting het elektrische potentiaalverschil toeneemt.
Daarna wordt het quotiënt van de variatie van de elektrische potentiaal en de variatie van de netto afgelegde afstand bepaald.
Op deze manier wordt de grootte van het bijbehorende elektrische veld verkregen, die gelijk is aan de grootte van de potentiaalgradiënt in die coördinaat.
Oefening
Er zijn twee parallelle platen, zoals weergegeven in de volgende afbeelding.
Stap 1
De groeirichting van het elektrische veld wordt bepaald op het cartesiaanse coördinatensysteem.
Gezien de opstelling van de parallelle platen groeit het elektrische veld alleen in horizontale richting. Bijgevolg is het mogelijk om af te leiden dat de componenten van de potentiaalgradiënt in de Y-as en de Z-as nul zijn.
Stap 2
Gegevens van belang worden gediscrimineerd.
- Potentiaalverschil: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.
- Verschil in afstand: dx = 10 centimeter.
Om de consistentie van de meeteenheden die worden gebruikt volgens het International System of Units te garanderen, moeten de grootheden die niet in SI worden uitgedrukt, dienovereenkomstig worden omgerekend. Dus 10 centimeter is gelijk aan 0,1 meter, en tenslotte: dx = 0,1 m.
Stap 3
Bereken de grootte van de potentiële gradiëntvector zoals van toepassing is.
Referenties
- Elektriciteit (1998). Encyclopædia Britannica, Inc. Londen, VK. Hersteld van: britannica.com
- Potentiële gradiënt (sf). Nationale Autonome Universiteit van Mexico. Mexico DF, Mexico. Hersteld van: professors.dcb.unam.mx
- Elektrische interactie. Hersteld van: matematicasypoesia.com.es
- Potentieel verloop (sf). Hersteld van: circuitglobe.com
- Verband tussen potentiaal en elektrisch veld (sf). Technologisch Instituut van Costa Rica. Cartago, Costa Rica. Hersteld van: repositoriotec.tec.ac.cr
- Wikipedia, The Free Encyclopedia (2018). Verloop. Hersteld van: es.wikipedia.org