WILLEKEURIG EXPERIMENT: CONCEPT, VOORBEELDRUIMTE, VOORBEELDEN - DUDAS - 2026

We spreken van een willekeurig experiment wanneer het resultaat van elke specifieke proef onvoorspelbaar is, ook al kan de waarschijnlijkheid van het optreden van een bepaald resultaat worden vastgesteld.

Er moet echter worden verduidelijkt dat het niet mogelijk is om hetzelfde resultaat van een willekeurig systeem met dezelfde parameters en beginvoorwaarden in elke proef van het experiment te reproduceren.

Figuur 1. De worp van de dobbelstenen is een willekeurig experiment. Bron: Pixabay.

Een goed voorbeeld van een willekeurig experiment is het rollen van een dobbelsteen. Zelfs als ervoor wordt gezorgd dat de dobbelsteen op dezelfde manier wordt gegooid, zal elke poging een onvoorspelbaar resultaat opleveren. Het enige dat eigenlijk kan worden gezegd, is dat het resultaat een van de volgende kan zijn: 1, 2, 3, 4, 5 of 6.

Het gooien van een munt is een ander voorbeeld van een willekeurig experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten: kop of munt. Hoewel de munt vanaf dezelfde hoogte en op dezelfde manier wordt gegooid, zal de kansfactor altijd aanwezig zijn, waardoor er bij elke nieuwe poging onzekerheid ontstaat.

Het tegenovergestelde van een willekeurig experiment is een deterministisch experiment. Het is bijvoorbeeld bekend dat elke keer dat water op zeeniveau wordt gekookt, de kooktemperatuur 100ºC is. Maar het gebeurt nooit dat, onder dezelfde omstandigheden, het resultaat soms 90 ºC, andere 12 0 ºC en soms 100 ºC is.

Voorbeeldruimte

De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment wordt de steekproefruimte genoemd. In het willekeurige experiment van het rollen van een dobbelsteen, is de monsterruimte:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Aan de andere kant is de monsterruimte bij het opgooien van een munt:

M = {koppen, muntjes}.

Gebeurtenis of gebeurtenis

In een willekeurig experiment is een gebeurtenis het al dan niet voorkomen van een bepaalde uitkomst. Bijvoorbeeld, in het geval van een coinflip, is een gebeurtenis of gebeurtenis dat het de kop opsteekt.

Een andere gebeurtenis in een willekeurig experiment zou de volgende kunnen zijn: dat een getal kleiner dan of gelijk aan drie op een dobbelsteen wordt gegooid.

In het geval dat de gebeurtenis zich voordoet, is de set van mogelijke resultaten de set:

E = {1, 2, 3}

Dit is op zijn beurt een subset van de sample-ruimte of set:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Voorbeelden

Hieronder staan ​​enkele voorbeelden die het bovenstaande illustreren:

voorbeeld 1

Stel dat er twee munten na elkaar worden gegooid. Het vraagt:

a) Geef aan of het een willekeurig experiment is of juist een deterministisch experiment.

b) Wat is de monsterruimte S van dit experiment?

c) Geef de reeks van gebeurtenis A aan, die overeenkomt met het feit dat het experiment kop en munt oplevert.

d) Bereken de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt.

e) Zoek tot slot de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt: er verschijnen geen koppen in het resultaat.

Oplossing

Een zakje bevat 10 witte knikkers en 10 zwarte knikkers. Drie knikkers worden achter elkaar willekeurig uit de zak getrokken zonder naar binnen te kijken.

a) Bepaal de steekproefruimte voor dit willekeurige experiment.

b) Bepaal de reeks resultaten die overeenkomt met gebeurtenis A, die bestaat uit twee zwarte knikkers na het experiment.

c) Gebeurtenis B is het verkrijgen van ten minste twee zwarte knikkers, bepaal de reeks B van resultaten voor dit evenement.

d) Wat is de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt?

e) Bepaal de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt.

f) Bepaal de kans dat het resultaat van het willekeurige experiment is dat je ten minste één zwarte knikker hebt. Dit evenement zal C.

Figuur 2. Zwart-witte knikkers voor willekeurige experimenten. Bron: Needpix.

Oplossing voor

Om de voorbeeldruimte te construeren, is het handig om een ​​boomdiagram te maken, zoals weergegeven in figuur 3:

Figuur 3. Boomdiagram bijvoorbeeld 2. Opgesteld door Fanny Zapata.

De set Ω van mogelijke resultaten van het extraheren van drie knikkers uit een zak met hetzelfde aantal zwarte en witte knikkers, is precies de monsterruimte van dit willekeurige experiment.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Oplossing b

De reeks mogelijke resultaten die overeenkomen met gebeurtenis A, die bestaat uit twee zwarte knikkers, is:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Oplossing c

Gebeurtenis B wordt gedefinieerd als: "met ten minste twee zwarte knikkers nadat je er willekeurig drie hebt getrokken". De reeks mogelijke uitkomsten voor evenement B is:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Oplossing d

De kans op gebeurtenis A is het quotiënt tussen het aantal mogelijke uitkomsten voor deze gebeurtenis en het totale aantal mogelijke uitkomsten, dat wil zeggen het aantal elementen in de steekproefruimte.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Er is dus een kans van 37,5% dat je twee zwarte knikkers hebt nadat je willekeurig drie knikkers uit de zak hebt getrokken. Maar merk op dat we op geen enkele manier de exacte uitkomst van het experiment kunnen voorspellen.

Oplossing e

De kans dat gebeurtenis B plaatsvindt, bestaande uit het verkrijgen van ten minste één zwarte knikker, is:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Dit betekent dat de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt gelijk is aan de kans dat deze niet plaatsvindt.

Oplossing f

De kans om ten minste één zwarte knikker te krijgen, nadat je er drie hebt getrokken, is gelijk aan 1 min de kans dat het resultaat "de drie witte knikkers" zijn.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Nu kunnen we dit resultaat controleren, waarbij we opmerken dat het aantal mogelijkheden dat de gebeurtenis C optreedt gelijk is aan het aantal elementen van de mogelijke resultaten voor de gebeurtenis C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Referenties

1. CanalPhi. Willekeurig experiment. Hersteld van: youtube.com.
2. MateMovil. Willekeurig experiment. Hersteld van: youtube.com
3. Pishro Nick H. Inleiding tot waarschijnlijkheid. Hersteld van: probabilitycourse.com
4. Ross. Waarschijnlijkheid en statistieken voor ingenieurs. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Experiment (kansrekening). Hersteld van: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Deterministische gebeurtenis. Hersteld van: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Willekeurig experiment. Hersteld van: es.wikipedia.com