ONAFHANKELIJKE EVENEMENTEN: DEMONSTRATIE, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - DUDAS - 2026

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk , wanneer de waarschijnlijkheid dat een van hen zich voordoet niet wordt beïnvloed door het feit dat de andere plaatsvindt -of niet voorkomt-, aangezien deze gebeurtenissen willekeurig plaatsvinden.

Deze omstandigheid doet zich voor wanneer het proces dat het resultaat van gebeurtenis 1 genereert, op geen enkele manier de waarschijnlijkheid van de mogelijke resultaten van gebeurtenis 2 verandert. Maar als dit niet gebeurt, wordt gezegd dat de gebeurtenissen afhankelijk zijn.

Figuur 1. Gekleurde knikkers worden vaak gebruikt om de kans op onafhankelijke gebeurtenissen te verklaren. Bron: Pixabay.

Een onafhankelijke gebeurtenissituatie is als volgt: Stel dat er twee zeszijdige dobbelstenen worden gegooid, de ene blauw en de andere roze. De kans dat een 1 zal rollen op de blauwe dobbelsteen is onafhankelijk van de kans dat een 1 zal rollen -of niet rollen- op de roze dobbelsteen.

Een ander geval van twee onafhankelijke gebeurtenissen is het twee keer achter elkaar opgooien van een munt. Het resultaat van de eerste worp hangt niet af van het resultaat van de tweede en vice versa.

Bewijs van twee onafhankelijke gebeurtenissen

Om te verifiëren dat twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn, zullen we het concept van voorwaardelijke waarschijnlijkheid van de ene gebeurtenis ten opzichte van de andere definiëren. Hiervoor is het nodig om onderscheid te maken tussen exclusieve evenementen en inclusieve evenementen:

Twee gebeurtenissen zijn exclusief als de mogelijke waarden of elementen van gebeurtenis A niets gemeen hebben met de waarden of elementen van gebeurtenis B.

Daarom is in twee exclusieve evenementen de set van de kruising van A met B het vacuüm:

Exclusief evenementen: A∩B = Ø

Als de gebeurtenissen daarentegen inclusief zijn, kan het gebeuren dat een resultaat van gebeurtenis A ook samenvalt met dat van een andere B, waarbij A en B verschillende gebeurtenissen zijn. In dit geval:

Inclusief evenementen: A∩B ≠ Ø

Dit brengt ons ertoe de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van twee inclusieve gebeurtenissen te definiëren, met andere woorden, de kans op het optreden van gebeurtenis A, telkens wanneer gebeurtenis B plaatsvindt:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Daarom is de voorwaardelijke kans de kans dat A en B optreden gedeeld door de kans dat B voorkomt. De kans dat B voorwaardelijk voorkomt op A kan ook worden gedefinieerd:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Criteria om te weten of twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn

Vervolgens geven we drie criteria om te weten of twee evenementen onafhankelijk zijn. Het is voldoende dat een van de drie wordt vervuld, zodat de onafhankelijkheid van gebeurtenissen wordt aangetoond.

1. - Als de kans dat A optreedt telkens wanneer B voorkomt, gelijk is aan de kans op A, dan zijn het onafhankelijke gebeurtenissen:

P (A¦B) = P (A) => A is onafhankelijk van B

2.- Als de kans dat B optreedt gegeven A, gelijk is aan de kans op B, dan zijn er onafhankelijke gebeurtenissen:

P (B¦A) = P (B) => B is onafhankelijk van A

3.- Als de kans dat A en B voorkomen gelijk is aan het product van de kans dat A voorkomt en de kans dat B voorkomt, dan zijn het onafhankelijke gebeurtenissen. Het omgekeerde is ook waar.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A en B zijn onafhankelijke gebeurtenissen.

Voorbeelden van onafhankelijke evenementen

Rubberen zolen van twee verschillende leveranciers worden vergeleken. De monsters van elke fabrikant worden aan verschillende tests onderworpen waaruit wordt geconcludeerd of ze binnen de specificaties vallen.

Figuur 2. Verscheidenheid aan rubberen zolen. Bron: Pixabay.

De resulterende samenvatting van de 252 monsters is als volgt:

Fabrikant 1; 160 voldoen wel aan de specificaties; 8 voldoen niet aan de specificaties.

Fabrikant 2; 80 voldoen wel aan de specificaties; 4 voldoen niet aan de specificaties.

Gebeurtenis A: "dat het monster van fabrikant 1 is".

Gebeurtenis B: "dat het monster voldoet aan de specificaties."

We willen weten of deze evenementen A en B onafhankelijk zijn of niet, waarvoor we een van de drie criteria toepassen die in de vorige paragraaf zijn genoemd.

Criterium: P (B¦A) = P (B) => B is onafhankelijk van A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (EEN ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusie: Gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk.

Stel dat gebeurtenis C: "dat het monster afkomstig is van fabrikant 2"

Zal gebeurtenis B onafhankelijk zijn van gebeurtenis C?

We passen een van de criteria toe.

Criterium: P (B¦C) = P (B) => B is onafhankelijk van C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Daarom is op basis van de beschikbare gegevens de kans dat een willekeurig gekozen rubberen zool voldoet aan de specificaties onafhankelijk van de fabrikant.

Zet een onafhankelijk evenement om in een afhankelijk evenement

Laten we naar het volgende voorbeeld kijken om onderscheid te maken tussen afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen.

We hebben een zak met twee witte chocoladeballen en twee zwarte ballen. De kans om een ​​witte bal of een zwarte bal te krijgen is gelijk bij de eerste poging.

Stel dat het resultaat een speelbal was. Als de getrokken bal wordt teruggeplaatst in de zak, wordt de oorspronkelijke situatie herhaald: twee witte ballen en twee zwarte ballen.

Dus in een tweede evenement of gelijkspel zijn de kansen om een ​​speelbal of een zwarte bal te trekken identiek aan de eerste keer. Het zijn dus onafhankelijke evenementen.

Maar als de cue ball die in het eerste evenement is getrokken niet wordt teruggeplaatst omdat we hem hebben opgegeten, is er bij de tweede trekking een grotere kans om een ​​zwarte bal te trekken. De kans dat bij een tweede extractie weer wit wordt verkregen, is anders dan bij de eerste gebeurtenis en wordt bepaald door het vorige resultaat.

Opdrachten

- Oefening 1

In een doos stoppen we de 10 knikkers van figuur 1, waarvan 2 groen, 4 blauw en 4 wit. Twee knikkers worden willekeurig gekozen, een eerst en een later. Er wordt gevraagd om de
kans te vinden dat geen van hen blauw is, onder de volgende voorwaarden:

a) Bij vervanging, dat wil zeggen, de eerste knikker voor de tweede selectie terugbrengen naar de doos. Geef aan of het onafhankelijke of afhankelijke gebeurtenissen zijn.

b) Zonder vervanging, zodanig dat het eerste gewonnen marmer uit de doos wordt gelaten op het moment dat de tweede selectie wordt gemaakt. Geef op dezelfde manier aan of het afhankelijke of onafhankelijke gebeurtenissen zijn.

Oplossing voor

We berekenen de kans dat het eerste gewonnen marmer niet blauw is, dat is 1 min de kans dat het blauw P (A) is, of direct dat het niet blauw is, omdat het groen of wit uitkwam:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (wees niet blauw) = 1 - (2/5) = 3/5

O goed:

P (groen of wit) = 6/10 = 3/5.

Als het gewonnen marmer wordt geretourneerd, is alles zoals voorheen. In deze tweede trekking is er ook een kans van 3/5 dat de getrokken knikker niet blauw is.

P (niet blauw, niet blauw) = (3/5). (3/5) = 9/25.

De gebeurtenissen zijn onafhankelijk, aangezien het geëxtraheerde marmer in de doos werd teruggebracht en de eerste gebeurtenis geen invloed heeft op de waarschijnlijkheid van het optreden van de tweede.

Oplossing b

Ga voor de eerste extractie te werk zoals in het vorige gedeelte. De kans dat het niet blauw is, is 3/5.

Voor de tweede extractie hebben we 9 knikkers in de zak, aangezien de eerste niet terugkwam, maar hij was niet blauw, daarom zitten er in de zak 9 knikkers en 5 niet blauw:

P (groen of wit) = 5/9.

P (geen is blauw) = P (eerst niet blauw). P (tweede niet blauw / eerste niet blauw) = (3/5). (5/9) = 1/3

In dit geval zijn het geen onafhankelijke gebeurtenissen, aangezien de eerste gebeurtenis de tweede conditioneert.

- Oefening 2

Een winkel heeft 15 shirts in drie maten: 3 small, 6 medium en 6 large. 2 shirts worden willekeurig gekozen.

a) Hoe groot is de kans dat beide geselecteerde shirts klein zijn, als er één als eerste wordt genomen en zonder een ander in de kavel te vervangen?

b) Wat is de kans dat beide geselecteerde shirts klein zijn, als er één als eerste wordt geloot, wordt vervangen in de batch en de tweede wordt verwijderd?

Oplossing voor

Hier zijn twee evenementen:

Evenement A: het eerste geselecteerde shirt is klein

Evenement B: het tweede geselecteerde shirt is klein

De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt is: P (A) = 3/15

De kans dat gebeurtenis B plaatsvindt is: P (B) = 2/14, omdat er al een shirt was verwijderd (er zijn er 14 over), maar ook de gebeurtenis A wil vervuld worden, het eerste verwijderde shirt moet klein zijn en dus beide zijn 2 klein.

Dat wil zeggen, de kans dat A en B het product van de kansen zullen zijn, is:

P (A en B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Daarom is de kans dat gebeurtenis A en B optreden gelijk aan het product dat gebeurtenis A plaatsvindt, maal de kans dat gebeurtenis B optreedt als gebeurtenis A.

Het zou genoteerd moeten worden dat:

P (B¦A) = 2/14

De kans dat gebeurtenis B plaatsvindt, ongeacht of gebeurtenis A zich voordoet of niet, is:

P (B) = (2/14) als de eerste klein was, of P (B) = 3/14 als de eerste niet klein was.

In het algemeen kan het volgende worden geconcludeerd:

P (B¦A) is niet gelijk aan P (B) => B is niet onafhankelijk van A

Oplossing b

Opnieuw zijn er twee evenementen:

Evenement A: het eerste geselecteerde shirt is klein

Evenement B: het tweede geselecteerde shirt is klein

P (A) = 3/15

Onthoud dat wat het resultaat ook is, het overhemd dat uit de batch is getrokken, wordt vervangen en dat er weer willekeurig een overhemd wordt getrokken. De kans dat gebeurtenis B optreedt, als gebeurtenis A heeft plaatsgevonden, is:

P (B¦A) = 3/15

De kans dat gebeurtenissen A en B plaatsvinden, is:

P (A en B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Let daar op:

P (B¦A) is gelijk aan P (B) => B is onafhankelijk van A.

- Oefening 3

Beschouw twee onafhankelijke gebeurtenissen A en B. Het is bekend dat de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt 0,2 is en de kans dat gebeurtenis B optreedt 0,3. Wat is de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden?

Oplossing 2

Wetende dat de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, is het bekend dat de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden het product is van de individuele kansen. Het is te zeggen,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Merk op dat het een waarschijnlijkheid is die veel kleiner is dan de kans dat elke gebeurtenis zal plaatsvinden ongeacht de uitkomst van de andere. Of anders gezegd, veel lager dan de individuele kansen.

Referenties

1. Berenson, M. 1985. Statistieken voor management en economie. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Waarschijnlijkheid van onafhankelijke gebeurtenissen. Hersteld van: monterreyinstitute.org
3. Wiskunde leraar. Onafhankelijke evenementen. Hersteld van: youtube.com
4. Superprof. Soorten evenementen, afhankelijke evenementen. Hersteld van: superprof.es
5. Virtuele tutor. Waarschijnlijkheid. Hersteld van: vitutor.net
6. Wikipedia. Onafhankelijkheid (waarschijnlijkheid). Hersteld van: wikipedia.com