- kenmerken
- Soorten
- Eerste leerjaar
- Tweede leerjaar
- Oplosmiddel
- Hoogste cijfer
- Opgeloste oefeningen
- Eerste oefening
- Oplossing
- Tweede oefening
- Oplossing
- Referenties
De polynoomvergelijkingen zijn een bewering die de gelijkheid van twee uitdrukkingen of leden verhoogt, waarbij de ten minste een van de termen waaruit elke zijde van gelijkheid bestaat, polynomen P (x) zijn. Deze vergelijkingen worden genoemd naar de mate van hun variabelen.
Over het algemeen is een vergelijking een bewering die de gelijkheid van twee uitdrukkingen vaststelt, waarbij in ten minste één daarvan onbekende grootheden voorkomen, die variabelen of onbekenden worden genoemd. Hoewel er veel soorten vergelijkingen zijn, worden ze over het algemeen in twee typen ingedeeld: algebraïsch en transcendent.
Polynoomvergelijkingen bevatten alleen algebraïsche uitdrukkingen, die een of meer onbekenden in de vergelijking kunnen hebben. Afhankelijk van de exponent (graad) die ze hebben, kunnen ze worden ingedeeld in: eerste graad (lineair), tweede graad (kwadratisch), derde graad (kubiek), vierde graad (kwartiek), graad groter dan of gelijk aan vijf en irrationeel.
kenmerken
Polynoomvergelijkingen zijn uitdrukkingen die worden gevormd door een gelijkheid tussen twee polynomen; dat wil zeggen door de eindige sommen van vermenigvuldigingen tussen waarden die onbekend zijn (variabelen) en vaste getallen (coëfficiënten), waarbij variabelen exponenten kunnen hebben, en hun waarde kan een positief geheel getal zijn, inclusief nul.
De exponenten bepalen de mate of het type vergelijking. De term in de uitdrukking met de hoogste exponent vertegenwoordigt de absolute graad van het polynoom.
Polynoomvergelijkingen staan ook bekend als algebraïsche vergelijkingen, hun coëfficiënten kunnen reële of complexe getallen zijn en de variabelen zijn onbekende getallen die worden weergegeven door een letter, zoals: "x".
Als u een waarde vervangt voor de variabele "x" in P (x), is het resultaat gelijk aan nul (0), dan wordt gezegd dat die waarde voldoet aan de vergelijking (het is een oplossing), en het wordt over het algemeen de wortel van het polynoom genoemd.
Bij het ontwikkelen van een polynoomvergelijking wil je alle wortels of oplossingen vinden.
Soorten
Er zijn verschillende soorten polynoomvergelijkingen, die worden gedifferentieerd op basis van het aantal variabelen en ook op basis van de mate van hun exponent.
Dus de polynoomvergelijkingen -waar de eerste term een polynoom is met een enkele onbekende, gezien het feit dat de graad een natuurlijk getal (n) kan zijn en de tweede term nul is-, kunnen als volgt worden uitgedrukt:
een n * x n + een n-1 * x n-1 +… + een 1 * x 1 + een 0 * x 0 = 0
Waar:
- a n, a n-1 en 0 zijn reële coëfficiënten (getallen).
- een n is anders dan nul.
- De exponent n is een positief geheel getal dat de graad van de vergelijking vertegenwoordigt.
- x is de variabele of onbekende waarnaar moet worden gezocht.
De absolute of hogere graad van een polynoomvergelijking is de exponent met de hoogste waarde van al degenen die het polynoom vormen; dus de vergelijkingen worden geclassificeerd als:
Eerste leerjaar
De polynoomvergelijkingen van de eerste graad, ook wel lineaire vergelijkingen genoemd, zijn die waarin de graad (de grootste exponent) gelijk is aan 1, de polynoom de vorm P (x) = 0 heeft; y is samengesteld uit een lineaire term en een onafhankelijke term. Het is als volgt geschreven:
bijl + b = 0.
Waar:
- a en b zijn reële getallen en a ≠ 0.
- bijl is de lineaire term.
- b is de onafhankelijke term.
De vergelijking 13x - 18 = 4x.
Om lineaire vergelijkingen op te lossen, moeten alle termen die de onbekende x bevatten worden doorgegeven aan de ene kant van de gelijkheid, en degenen die dat niet hebben, moeten naar de andere kant worden verplaatst om het op te lossen en een oplossing te krijgen:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
De gegeven vergelijking heeft dus maar één oplossing of wortel, namelijk x = 2.
Tweede leerjaar
Tweedegraads polynoomvergelijkingen, ook wel kwadratische vergelijkingen genoemd, zijn die waarin de graad (de grootste exponent) gelijk is aan 2, de polynoom de vorm P (x) = 0 heeft en is samengesteld uit een kwadratische term , een lineair en een onafhankelijk. Het wordt als volgt uitgedrukt:
bijl 2 + bx + c = 0.
Waar:
- a, b en c zijn reële getallen en a ≠ 0.
- ax 2 is de kwadratische term en "a" is de coëfficiënt van de kwadratische term.
- bx is de lineaire term en "b" is de coëfficiënt van de lineaire term.
- c is de onafhankelijke term.
Oplosmiddel
Over het algemeen wordt de oplossing voor dit type vergelijkingen gegeven door x uit de vergelijking te wissen, en het is als volgt, die resolvent wordt genoemd:
Daar wordt (b 2 - 4ac) de discriminant van de vergelijking genoemd en deze uitdrukking bepaalt het aantal oplossingen dat de vergelijking kan hebben:
- Als (b 2 - 4ac) = 0, heeft de vergelijking een enkele oplossing die dubbel is; dat wil zeggen, het zal twee gelijke oplossingen hebben.
- Als (b 2 - 4ac)> 0, heeft de vergelijking twee verschillende reële oplossingen.
- Als (b 2 - 4ac) <0, heeft de vergelijking geen oplossing (het heeft twee verschillende complexe oplossingen).
We hebben bijvoorbeeld de vergelijking 4x 2 + 10x - 6 = 0, om het op te lossen, identificeert u eerst de termen a, b en c en vervangt u deze in de formule:
a = 4
b = 10
c = -6.
Er zijn gevallen waarin de tweedegraads polynoomvergelijkingen niet alle drie de termen hebben, en daarom worden ze anders opgelost:
- In het geval dat de kwadratische vergelijkingen niet de lineaire term hebben (dat wil zeggen, b = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als ax 2 + c = 0.Om het op te lossen, los je op voor x 2 en pas je de vierkantswortels toe in elk lid , denk eraan dat de twee mogelijke tekenen die het onbekende kan hebben, in overweging moeten worden genomen:
bijl 2 + c = 0.
x 2 = - c ÷ a
Bijvoorbeeld 5 x 2 - 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
- Als de kwadratische vergelijking geen onafhankelijke term heeft (dat wil zeggen, c = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als ax 2 + bx = 0. Om het op te lossen, moet de gemeenschappelijke factor van de onbekende x in het eerste lid worden genomen; Aangezien de vergelijking gelijk is aan nul, is het waar dat ten minste één van de factoren gelijk is aan 0:
bijl 2 + bx = 0.
x (bijl + b) = 0.
U moet dus:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Bijvoorbeeld: we hebben de vergelijking 5x 2 + 30x = 0. Eerst factoriseren we:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Er worden twee factoren gegenereerd die xy zijn (5x + 30). Aangenomen wordt dat een van deze gelijk is aan nul en de andere is opgelost:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Hoogste cijfer
De polynoomvergelijkingen van hogere graad zijn die die vanaf de derde graad gaan, die kunnen worden uitgedrukt of opgelost met de algemene polynoomvergelijking voor elke graad:
een n * x n + een n-1 * x n-1 +… + een 1 * x 1 + een 0 * x 0 = 0
Dit wordt gebruikt omdat een vergelijking met een graad groter dan twee het resultaat is van het ontbinden van een polynoom; dat wil zeggen, het wordt uitgedrukt als de vermenigvuldiging van polynomen van graad één of hoger, maar zonder echte wortels.
De oplossing van dit soort vergelijkingen is direct, omdat de vermenigvuldiging van twee factoren gelijk is aan nul als een van de factoren nul (0) is; daarom moet elk van de gevonden polynoomvergelijkingen worden opgelost door elk van hun factoren gelijk aan nul te stellen.
We hebben bijvoorbeeld de derde-graadsvergelijking (kubiek) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Om het op te lossen, moeten de volgende stappen worden gevolgd:
- De termen zijn gegroepeerd:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.
- De leden worden ontbonden om de gemeenschappelijke factor van het onbekende te krijgen:
X 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
- Op deze manier worden twee factoren verkregen, die gelijk moeten zijn aan nul:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Te zien is dat de factor (x 2 + 4) = 0 geen echte oplossing zal hebben, terwijl de factor (x + 1) = 0 dat wel doet. Dus de oplossing is:
(x + 1) = 0
x = -1.
Opgeloste oefeningen
Los de volgende vergelijkingen op:
Eerste oefening
(2x 2 + 5) * (x - 3) * (1 + x) = 0.
Oplossing
In dit geval wordt de vergelijking uitgedrukt als de vermenigvuldiging van polynomen; dat wil zeggen, er wordt rekening mee gehouden. Om het op te lossen, moet elke factor gelijk worden gesteld aan nul:
- 2x 2 + 5 = 0, het heeft geen oplossing.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
De gegeven vergelijking heeft dus twee oplossingen: x = 3 en x = -1.
Tweede oefening
x 4 - 36 = 0.
Oplossing
Er is een polynoom gegeven, die kan worden herschreven als een verschil in kwadraten om tot een snellere oplossing te komen. De vergelijking is dus:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0.
Om de oplossing van de vergelijkingen te vinden, worden beide factoren gelijk gesteld aan nul:
(x 2 + 6) = 0, het heeft geen oplossing.
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
De beginvergelijking heeft dus twee oplossingen:
x = √6.
x = - √6.
Referenties
- Andres, T. (2010). Wiskundige Olympiade Tresure. Springer. New York.
- Angel, AR (2007). Elementaire algebra. Pearson Education,.
- Baer, R. (2012). Lineaire algebra en projectieve meetkunde. Courier Corporation.
- Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
- Castaño, HF (2005). Wiskunde voorafgaand aan berekening. Universiteit van Medellin.
- Cristóbal Sánchez, MR (2000). Handleiding wiskunde voor Olympische voorbereiding. Jaume I. Universiteit
- Kreemly Pérez, ML (1984). Hogere Algebra I.
- Massara, NC-L. (negentienvijfennegentig). Wiskunde 3.