- Hoe de diameter te krijgen?
- Cijfers met constante breedte
- Diameter van een omtrek
- - Voorbeeld 1
- Oplossing voor
- Oplossing b
- Oplossing c
- - Voorbeeld 2
- Oplossing
- Hoeveel diameters heeft een omtrek?
- Referenties
De diameter is de rechte lijn die door het midden van een gesloten vlakke curve of een figuur in twee of drie dimensies loopt en die ook de tegenoverliggende punten met elkaar verbindt. Het is meestal een cirkel (een platte curve), een cirkel (een platte figuur), een bol of een rechter cirkelvormige cilinder (driedimensionale objecten).
Hoewel omtrek en cirkel meestal als synoniemen worden beschouwd, is er een verschil tussen de twee termen. De omtrek is de gesloten curve die de cirkel omsluit, die voldoet aan de voorwaarde dat de afstand tussen een van de punten en het middelpunt hetzelfde is. Deze afstand is niets anders dan de straal van de omtrek. In plaats daarvan is de cirkel een platte figuur die wordt begrensd door de omtrek.
Figuur 1. De diameter van fietswielen is een belangrijk kenmerk in hun ontwerp. Bron: Pixabay.
In het geval van omtrek, cirkel en bol is de diameter een recht segment dat tenminste drie punten bevat: het middelpunt plus twee punten van de rand van de omtrek of cirkel, of het oppervlak van de bol.
En wat betreft de rechter cirkelvormige cilinder, de diameter verwijst naar de doorsnede, die samen met de hoogte de twee karakteristieke parameters zijn.
De diameter van de omtrek en de cirkel, gesymboliseerd door ø of gewoon de letter "D" of "d", is gerelateerd aan de omtrek, contour of lengte, die wordt aangegeven door de letter L:
L = π.D = π. of
Wanneer er een omtrek is, is het quotiënt tussen de lengte en de diameter het irrationele getal π = 3,14159 …, op deze manier:
π = L / D
Hoe de diameter te krijgen?
Wanneer je de tekening van de omtrek of de cirkel hebt, of direct het cirkelvormige object, zoals bijvoorbeeld een munt of een ring, is het heel gemakkelijk om de diameter te bepalen met een liniaal. Je moet er gewoon voor zorgen dat de rand van de liniaal twee punten op de omtrek en het midden ervan tegelijkertijd raakt.
Een schuifmaat, schuifmaat of schuifmaat is zeer geschikt voor het meten van uitwendige en inwendige diameters op munten, hoepels, ringen, moeren, buizen en meer.
Figuur 2. Digitale nonius die de diameter van een munt meet. Bron: Pixabay.
Als we in plaats van het object of de tekening gegevens hebben zoals de straal R, dan hebben we vermenigvuldigd met 2 de diameter. En als de lengte of omtrek van de omtrek bekend is, kan de diameter ook bekend worden gemaakt door:
Een andere manier om de diameter te vinden, is door het gebied van de cirkel, het bolvormige oppervlak, de dwarsdoorsnede van de cilinder, het gebogen gebied van de cilinder of de volumes van de bol of cilinder te kennen. Het hangt allemaal af van welke geometrische figuur het is. Diameter is bijvoorbeeld betrokken bij de volgende gebieden en volumes:
-Gebied van de cirkel : π. (D / 2) 2
-Gebied van het sferische oppervlak : 4π. (D / 2) 2
-Volume van de bol : (4/3) π. (D / 2) 3
-Volume van rechter cirkelvormige cilinder : π. (D / 2) 2 .H (H is de hoogte van de cilinder)
Cijfers met constante breedte
De cirkel is een platte figuur met constante breedte, want waar je er ook naar kijkt, de breedte is de diameter D. Er zijn echter andere, misschien minder bekende figuren waarvan de breedte ook constant is.
Laten we eerst eens kijken wat wordt verstaan onder de breedte van een figuur: het is de afstand tussen twee parallelle lijnen -ondersteuningslijnen- die op hun beurt loodrecht op de gegeven richting staan en die de figuur opsluiten, zoals weergegeven in de linker afbeelding:
Figuur 3. Breedte van een vlakke figuur (links) en Reuleaux-driehoek, een figuur van constante breedte (rechts). Bron: F. Zapata.
Naast de rechterkant bevindt zich de Reuleaux-driehoek, een figuur van constante breedte en die voldoet aan de voorwaarde die is gespecificeerd in de linkerafbeelding. Als de breedte van de figuur D is, wordt de omtrek gegeven door de stelling van Barbier:
L = π.D
De riolen van de stad San Francisco in Californië hebben de vorm van een Reuleaux-driehoek, genoemd naar de Duitse ingenieur Franz Reuleaux (1829 - 1905). Op deze manier kunnen de deksels niet door het gat vallen en wordt er minder materiaal gebruikt om ze te vervaardigen, aangezien hun oppervlakte kleiner is dan die van de cirkel:
A = (1- √3) .πD 2 = 0,705.D 2
Terwijl voor een cirkel:
EEN = π. (D / 2) 2 = (π / 4) D 2 = 0,785. D 2
Maar deze driehoek is niet de enige figuur met constante breedte. Je kunt de zogenaamde Reuleaux-polygonen bouwen met andere polygonen die een oneven aantal zijden hebben.
Diameter van een omtrek
In de volgende afbeelding zijn de elementen van de cirkel, als volgt gedefinieerd:
Akkoord : lijnstuk dat twee punten op de omtrek verbindt. In de figuur is het akkoord dat punten C en D verbindt, maar er kunnen oneindige akkoorden worden getekend die elk paar punten op de omtrek verbinden.
Diameter : het is het akkoord dat door het centrum gaat en twee punten van de omtrek verbindt met het centrum O. Het is het langste akkoord van een omtrek, daarom wordt het het "majeurakkoord" genoemd.
Radius : lijnsegment dat het midden verbindt met een punt op de omtrek. De waarde is, net als de diameter, constant.
Omtrek : het is de verzameling van alle punten op gelijke afstand van O.
Boog : het wordt gedefinieerd als een omtreksegment dat wordt begrensd door twee stralen (niet getekend in de figuur).
Figuur 4. Delen van de omtrek, inclusief de diameter, die door het midden lopen. Bron: Wikimedia Commons.
- Voorbeeld 1
De weergegeven rechthoek is 25 cm lang en vormt bij het rollen een rechtse cirkelvormige cilinder met een diameter van 13 cm. Beantwoord de volgende vragen:
Figuur 5. Een opgerolde rechthoek wordt een rechte cirkelvormige cilinder. Bron: Jiménez, R. Mathematics II. Geometrie en trigonometrie. 2e. Editie. Pearson.
a) Wat is de omtrek van de buis?
b) Bepaal de oppervlakte van de rechthoek
c) Bepaal de doorsnede van de cilinder.
Oplossing voor
De omtrek van de buis is L = π.D = 5π in = 15,71 in.
Oplossing b
De oppervlakte van de rechthoek is basis x hoogte, met de basis L al berekend en de hoogte is 10 inch volgens de verklaring, dus:
A = 15,71 in x 10 in = 157,1 in 2 .
Oplossing c
Ten slotte wordt de gevraagde oppervlakte als volgt berekend:
A = π. (D / 2) 2 = (π / 4) D 2 = (π / 4) x (5 inch) 2 = 19,63 inch 2 .
- Voorbeeld 2
Bereken het gearceerde gebied in figuur 5a. Het vierkant heeft zijde L.
Figuur 6. Zoek het gearceerde gebied in de linker afbeelding. Jiménez, R. Wiskunde II. Geometrie en trigonometrie. 2e. Editie. Pearson.
Oplossing
In figuur 5b zijn twee halve cirkels van gelijke grootte getekend in roze en blauw, bovenop de originele figuur. Tussen hen vormen ze een volledige cirkel. Als je de oppervlakte van het vierkant vindt en de oppervlakte van de cirkel aftrekt, maak je het gearceerde gebied in figuur 5b. En als je goed kijkt, blijkt dat het de helft is van het gearceerde gebied in 5a.
-Vierkante oppervlakte: L 2
-Diameter van de halve cirkel: L
-Gebied van de cirkel: π. (L / 2) 2 = (π / 4) L 2
-Verschil van gebieden = de helft van het gearceerde gebied =
L 2 - (π / 4) L 2 = L 2 = 0,2146 L 2
-Geschaduwd gebied = 2 x 0,2146 L 2 = 0,4292L2
Hoeveel diameters heeft een omtrek?
U kunt oneindige diameters op een cirkel tekenen, en elk ervan meet hetzelfde.
Referenties
- Antonio. Reuleaux-driehoeken en andere curven met constante breedte. Hersteld van: divulgators.com.
- Baldor, A. 2002. Vliegtuig- en ruimtegeometrie en trigonometrie. Patria culturele groep.
- Jiménez, R. Wiskunde II. Geometrie en trigonometrie. 2e. Editie. Pearson.
- Wikipedia. Reuleaux driehoek. Hersteld van: es.wikipedia.org.
- Wolfram MathWorld. Diameter. Hersteld van: mathworld.wolfram.com.