QUASI-VARIANTIE: FORMULE EN VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN, OEFENING - DUDAS - 2026

De quasivariantie , quasi-variantie of onbevooroordeelde variantie is een statistische maat voor de spreiding van de steekproefgegevens ten opzichte van het gemiddelde. De steekproef bestaat op zijn beurt uit een reeks gegevens uit een groter universum, de populatie genaamd.

Het wordt op verschillende manieren aangeduid, hier is s _c ² gekozen en de volgende formule wordt gebruikt om het te berekenen:

Figuur 1. De definitie van quasi-variantie. Bron: F. Zapata.

Waar:

De quasi-variantie is vergelijkbaar met de variantie s ² , met als enige verschil dat de noemer van de variantie n-1 is, terwijl de noemer van de variantie alleen wordt gedeeld door n. Het is duidelijk dat wanneer n erg groot is, de waarden van beide meestal hetzelfde zijn.

Als je de waarde van de quasi-variantie kent, kun je meteen de waarde van de variantie weten.

Voorbeelden van quasi-variantie

Vaak wil je de kenmerken van een populatie weten: mensen, dieren, planten en in het algemeen elk type object. Maar het analyseren van de hele populatie is misschien geen gemakkelijke taak, vooral als het aantal elementen erg groot is.

Vervolgens worden monsters genomen in de hoop dat hun gedrag overeenkomt met dat van de bevolking en er dus conclusies over kunnen trekken, waardoor middelen worden geoptimaliseerd. Dit staat bekend als statistische inferentie.

Hier zijn enkele voorbeelden waarin de quasi-variantie en de bijbehorende quasi-standaarddeviatie dienen als een statistische indicator door aan te geven hoever de verkregen resultaten van het gemiddelde verwijderd zijn.

1.- De marketingdirecteur van een bedrijf dat autoaccu's vervaardigt, moet de gemiddelde levensduur van een accu in maanden schatten.

Om dit te doen, selecteert hij willekeurig een steekproef van 100 gekochte batterijen van dat merk. Het bedrijf houdt de gegevens van kopers bij en kan hen interviewen om erachter te komen hoe lang de batterijen meegaan.

Figuur 2. Quasi-variantie is nuttig voor het maken van conclusies en kwaliteitscontrole. Bron: Pixabay.

2.- Het academisch management van een universitaire instelling moet een inschatting maken van de inschrijving van het volgende jaar, door het aantal studenten te analyseren dat naar verwachting zal slagen voor de vakken die ze momenteel studeren.

Uit elk van de secties die momenteel Physics I volgen, kan het management bijvoorbeeld een steekproef van studenten selecteren en hun prestaties op die leerstoel analyseren. Op deze manier kun je afleiden hoeveel studenten Physics II de komende periode zullen volgen.

3.- Een groep astronomen richt hun aandacht op een deel van de hemel, waar een bepaald aantal sterren met bepaalde kenmerken worden waargenomen: bijvoorbeeld grootte, massa en temperatuur.

Je kunt je afvragen of sterren in een ander vergelijkbaar gebied dezelfde kenmerken zullen hebben, zelfs sterren in andere sterrenstelsels, zoals de naburige Magelhaense Wolken of Andromeda.

Waarom delen door n-1?

In de quasivariantie wordt het gedeeld door n-1 in plaats van door n en het komt omdat de quasivariant een zuivere schatter is, zoals in het begin werd gezegd.

Het komt voor dat het uit dezelfde populatie mogelijk is om veel monsters te extraheren. De variantie van elk van deze steekproeven kan ook worden gemiddeld, maar het gemiddelde van deze varianties blijkt niet gelijk te zijn aan de variantie van de populatie.

In feite neigt het gemiddelde van de steekproefvarianties ertoe de populatievariantie te onderschatten, tenzij n-1 wordt gebruikt in de noemer. Er kan worden geverifieerd dat de verwachte waarde van de quasi-variantie E (s _c ² ) precies s ^{2 is} .

Om deze reden wordt gezegd dat de quasivariate onbevooroordeeld is en een betere schatter is van de populatievariantie s ² .

Alternatieve manier om quasivariantie te berekenen

Het is gemakkelijk aan te tonen dat de quasivariantie ook als volgt kan worden berekend:

s _c ² = -

De standaardscore

Door de steekproefdeviatie te hebben, kunnen we zien hoeveel standaarddeviaties een bepaalde waarde x heeft, boven of onder het gemiddelde.

Hiervoor wordt de volgende dimensieloze uitdrukking gebruikt:

Standaardscore = (x - X) / s _c

Oefening opgelost

863903957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Gebruik de definitie van quasivariantie die aan het begin is gegeven en controleer ook het resultaat met behulp van de alternatieve vorm die in de vorige sectie is gegeven.

b) Bereken de standaardscore van het tweede stuk gegevens, van boven naar beneden.

Oplossing voor

Het probleem kan met de hand worden opgelost met behulp van een eenvoudige of wetenschappelijke rekenmachine, waarvoor het nodig is om op volgorde te werk te gaan. En hiervoor is niets beter dan de gegevens in een tabel te ordenen zoals hieronder wordt weergegeven:

Dankzij de tabel is de informatie georganiseerd en staan ​​de hoeveelheden die nodig zijn in de formules aan het einde van de respectieve kolommen, klaar voor onmiddellijk gebruik. Sommaties zijn vetgedrukt.

De gemiddelde kolom wordt altijd herhaald, maar het is de moeite waard omdat het handig is om de waarde in beeld te hebben, om elke rij van de tabel te vullen.

Ten slotte wordt de vergelijking voor de quasivariate die aan het begin is gegeven, toegepast, alleen de waarden worden vervangen en wat betreft de sommatie hebben we deze al berekend:

s _c ² = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2

Dit is de waarde van de quasi-variantie en de eenheden zijn "dollars in het kwadraat", wat praktisch niet logisch is, dus wordt de quasi-standaarddeviatie van de steekproef berekend, wat niets meer is dan de vierkantswortel van de quasi-variantie:

s _c = (√ 144.888,2) $ = $ 380,64

Onmiddellijk wordt bevestigd dat deze waarde ook wordt verkregen met de alternatieve vorm van quasi-variantie. Het benodigde bedrag staat aan het einde van de laatste kolom aan de linkerkant:

s _c ² = - = -

= 2.136.016,55 - 1.991.128,36 = $ 144.888 in het kwadraat

Het is dezelfde waarde die wordt verkregen met de formule die aan het begin is gegeven.

Oplossing b

De tweede waarde van boven naar beneden is 903, de standaardscore is

Standaardscore van 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) /380,64 = -1,177

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistieken voor beheerders. 2e. Editie. Prentice Hall.
4. Maatregelen van verspreiding. Hersteld van: thales.cica.es.
5. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschappen. Pearson.