- Toepassingen
- Notatie en 3D-vectorrepresentaties
- Hoeken en directeur cosinus van een vector
- Opgeloste oefeningen
- -Oefening 1
- Oplossing
- -Oefening 2
- Oplossing
- Stap 1: Zoek de coördinaten van alle punten
- Stap 2: Vind de vectoren in elke richting door de coördinaten van het einde en het begin af te trekken
- Stap 3: Bereken modules en eenheidsvectoren
- Stap 4: druk alle spanningen uit als vectoren
- Stap 5: Pas de statische evenwichtstoestand toe en los het stelsel van vergelijkingen op
- Referenties
Een vector in de ruimte is alles wat wordt vertegenwoordigd door een coördinatensysteem gegeven door x, y en z. Meestal is het xy-vlak het horizontale oppervlaktevlak en vertegenwoordigt de z-as de hoogte (of diepte).
De cartesische coördinaatassen die in figuur 1 worden getoond, verdelen de ruimte in 8 gebieden die octanten worden genoemd, analoog aan hoe de x-y-assen het vlak in 4 kwadranten verdelen. We hebben dan 1e octant, 2e octant enzovoort.
Figuur 1. Een vector in de ruimte. Bron: zelf gemaakt.
Figuur 1 bevat een weergave van een vector v in de ruimte. Er is enig perspectief nodig om de illusie van drie dimensies op het vlak van het scherm te creëren, wat wordt bereikt door een schuin aanzicht te tekenen.
Om een 3D-vector te tekenen, moet men de stippellijnen gebruiken die op het raster de coördinaten van de projectie of "schaduw" van v op het xy-oppervlak bepalen. Deze projectie begint bij O en eindigt bij het groene punt.
Eenmaal daar, moet je verder gaan langs de verticaal tot de noodzakelijke hoogte (of diepte) volgens de waarde van z, totdat je P bereikt. De vector wordt getekend beginnend bij O en eindigend bij P, die in het voorbeeld in het eerste octant is.
Toepassingen
Vectoren in de ruimte worden veel gebruikt in de mechanica en andere takken van fysica en engineering, aangezien de structuren die ons omringen geometrie in drie dimensies vereisen.
Positievectoren in de ruimte worden gebruikt om objecten te positioneren ten opzichte van een referentiepunt dat de OR-oorsprong wordt genoemd.Daarom zijn ze ook noodzakelijke hulpmiddelen bij navigatie, maar dat is niet alles.
Krachten die werken op constructies zoals bouten, beugels, kabels, stutten en meer zijn vector van aard en georiënteerd in de ruimte. Om het effect te kennen, is het noodzakelijk om het adres (en ook het toepassingspunt) te kennen.
En vaak is de richting van een kracht bekend door twee punten in de ruimte te kennen die tot zijn actielijn behoren. Op deze manier is de kracht:
F = F u
Waarin F de grootte of grootte van de kracht en U is de eenheidsvector (module 1) gericht langs de werklijn F .
Notatie en 3D-vectorrepresentaties
Voordat we enkele voorbeelden gaan oplossen, zullen we kort de 3D-vectornotatie bespreken.
In het voorbeeld in figuur 1 heeft de vector v, waarvan het beginpunt samenvalt met de oorsprong O en waarvan het einde punt P is, positieve xyz-coördinaten, terwijl de y-coördinaat negatief is. Deze coördinaten zijn: x 1 , y 1 , z 1 , dat zijn precies de coördinaten van P.
Dus als we een vector hebben die is gekoppeld aan de oorsprong, dat wil zeggen, waarvan het startpunt samenvalt met O, is het heel gemakkelijk om de coördinaten ervan aan te geven, namelijk die van het extreme punt of P.Om onderscheid te maken tussen een punt en een vector, gebruiken we to de laatste vetgedrukte letters en haakjes, als volgt:
v = <x 1 , y 1 , z 1 >
Terwijl het punt P wordt aangegeven met haakjes:
P = (x 1 , y 1 , z 1 )
Een andere weergave maakt gebruik van de eenheidsvectoren i , j en k die de drie richtingen van de ruimte op de x-, y- en z-assen respectievelijk definiëren.
Deze vectoren staan loodrecht op elkaar en vormen een orthonormale basis (zie figuur 2). Dit betekent dat een 3D-vector in termen van hen kan worden geschreven als:
v = v X ik + v Y j + v z k
Hoeken en directeur cosinus van een vector
Figuur 2 toont ook de richthoeken γ 1 , γ 2 en γ 3 die de vector v maakt met respectievelijk de x-, y- en z-assen. Als je deze hoeken en de grootte van de vector kent, is het volledig bepaald. Bovendien voldoen de cosinussen van de richthoeken aan de volgende relatie:
(cos γ 1 ) 2 + (cos γ 2 ) 2 + (cos γ 3 ) 2 = 1
Figuur 2. De eenheidsvectoren i, j en k bepalen de 3 voorkeursrichtingen van de ruimte. Bron: zelf gemaakt.
Opgeloste oefeningen
-Oefening 1
In figuur 2 zijn de hoeken γ 1 , γ 2 en γ 3 die de vector v van modulus 50 vormt met de coördinaatassen respectievelijk: 75,0º, 60,0º en 34,3º. Zoek de cartesische componenten van deze vector en geef deze weer in termen van de eenheidsvectoren i , j en k .
Oplossing
De projectie van de vector v op de x-as is v x = 50. cos 75º = 12.941. Op dezelfde manier is de projectie van v op de y-as v y = 50 cos 60 º = 25 en tenslotte op de z-as is v z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Nu kan v worden uitgedrukt als:
v = 12,9 ik + 25,0 j + 41,3 k
-Oefening 2
Zoek de spanningen in elk van de kabels die de emmer vasthouden in de figuur die in evenwicht is, als het gewicht 30 N is.
Figuur 3. Stressdiagram voor oefening 2.
Oplossing
Op de bak geeft het diagram van het vrije lichaam aan dat T D (groen) het gewicht W (geel) compenseert , dus T D = W = 30 N.
Op het knooppunt is de vector T D verticaal naar beneden gericht, dan:
T D = 30 (- k ) N.
Volg deze stappen om de resterende spanningen vast te stellen:
Stap 1: Zoek de coördinaten van alle punten
A = (4.5,0,3) (A is op het vlak van de muur xz)
B = (1.5,0,0) (B staat op de x-as)
C = (0, 2.5, 3) (C is op het vlak van de muur en z)
D = (1.5, 1.5, 0) (D bevindt zich op het horizontale xy-vlak)
Stap 2: Vind de vectoren in elke richting door de coördinaten van het einde en het begin af te trekken
DA = <3; -1,5; 3>
DC = <-1,5; een; 3>
DB = <0; -1,5; 0>
Stap 3: Bereken modules en eenheidsvectoren
Een eenheidsvector wordt verkregen door de uitdrukking: u = r / r, waarbij r (vetgedrukt) de vector is en r (niet vetgedrukt) de module van genoemde vector.
DA = (3 2 + (-1,5) 2 + 3 2 ) ½ = 4,5; DC = ((-1,5) 2 + 1 2 + 3 2 ) ½ = 3,5
u DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>
u DC = <-1,5; een; 3> 3,5 = <-0,43; 0.29; 0,86>
u DB = <0; -een; 0>
u D = <0; 0; -1>
Stap 4: druk alle spanningen uit als vectoren
T DA = T DA u DA = T DA <0,67; -0,33; 0,67>
T DC = T DC u DC = T DC <-0,43; 0.29; 0,86>
T DB = T DB u DB = T DB <0; -een; 0>
T D = 30 <0; 0; -1>
Stap 5: Pas de statische evenwichtstoestand toe en los het stelsel van vergelijkingen op
Ten slotte wordt de toestand van statisch evenwicht op de emmer toegepast, zodat de vectorsom van alle krachten op het knooppunt nul is:
T DA + T DC + T DB + T D = 0
Omdat de spanningen zich in de ruimte bevinden, resulteert dit in een stelsel van drie vergelijkingen voor elke component (x, y en z) van de spanningen.
0,67 T DA -0,43 T DC + 0 T DB = 0
-0,33 T DA + 0,29 T DC - T DB = 0
0,67 T DA + 0,86 T DC +0 T DB - 30 = 0
De oplossing is: T DA = 14,9 N; T DA = 23,3 N; T DB = 1,82 N
Referenties
- Bedford, 2000. A. Technische mechanica: statica. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica 31-68.
- Fysiek. Module 8: Vectoren. Hersteld van: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch 6e editie. Continental Publishing Company. 15-53.
- Vector Toevoeging Calculator. Hersteld van: 1728.org