GELIJKTIJDIGE VECTOREN: KENMERKEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De gelijktijdige vectoren zijn vectorgroepen waarvan de assen op een bepaald punt samenvallen en tussen elk paar interne en externe een andere hoek vormen. Een duidelijk voorbeeld is te zien in de onderstaande figuur, waar A, B en C vectoren zijn die gelijk zijn aan elkaar.

D en E zijn dat in tegenstelling tot de rest niet. Er zijn hoeken gevormd tussen de gelijktijdige vectoren AB, AC en CB. Ze worden relatiehoeken tussen de vectoren genoemd.

kenmerken

-Ze hebben een punt gemeen, dat samenvalt met hun oorsprong: alle magnitudes van de gelijktijdige vectoren beginnen vanaf een gemeenschappelijk punt naar hun respectievelijke uiteinden.

-De oorsprong wordt beschouwd als het actiepunt van de vector: er moet een actiepunt worden vastgesteld dat rechtstreeks wordt beïnvloed door elk van de gelijktijdige vectoren.

-Haar domein in het vlak en de ruimte R ² en R ³ respectievelijk de gelijktijdige vectoren vrij de gehele meetkundige ruimte bestrijken.

-Maakt verschillende notaties in dezelfde groep vectoren mogelijk. Volgens de studierichtingen zijn er verschillende notaties aanwezig in bewerkingen met vectoren.

Soorten vectoren

De tak van vectoren heeft meerdere onderverdelingen, waaronder enkele die kunnen worden genoemd: parallel, loodrecht, coplanair, corresponderend, tegengesteld en unitair. Gelijktijdige vectoren worden hier vermeld, en zoals alle hierboven genoemde, hebben ze veel toepassingen in verschillende wetenschappen.

Ze komen heel vaak voor bij de studie van vectoren, omdat ze een nuttige generalisatie vertegenwoordigen in de bewerkingen ermee. Zowel in het vlak als in de ruimte worden vaak gelijktijdige vectoren gebruikt om verschillende elementen weer te geven en hun invloed op een bepaald systeem te bestuderen.

Vector notatie

Er zijn verschillende manieren om een ​​vectorelement weer te geven. De belangrijkste en bekendste zijn:

Cartesiaans

Voorgesteld door dezelfde wiskundige benadering, geeft het de vectoren aan met een triple die overeenkomt met de magnitudes van elke as (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Ruimte A: (1, 1) Vliegtuig

Polair

Ze dienen alleen om vectoren in het vlak aan te duiden, hoewel het in de integraalrekening de dieptecomponent wordt toegewezen. Het is samengesteld met een lineaire grootte r en een hoek ten opzichte van de poolas Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Vliegtuig A: (2, 45 ⁰ , 3) Spatie

Analytisch

Ze bepalen de grootte van de vector met behulp van de versores. De versores (i + j + k) vertegenwoordigen de eenheidsvectoren die overeenkomen met de assen X, Y en

A: 3i + 2j - 3k

Bolvormig

Ze lijken op de polaire notatie, maar met de toevoeging van een tweede hoek die over het xy- vlak veegt, gesymboliseerd door δ.

A: (4, 60 ^of , π / 4)

Gelijktijdige vectorbewerkingen

Gelijktijdige vectoren worden meestal gebruikt om bewerkingen tussen vectoren te definiëren, omdat het gemakkelijker is om de elementen van vectoren te vergelijken wanneer ze gelijktijdig worden gepresenteerd.

Som (A + B)

De som van gelijktijdige vectoren is bedoeld om de resulterende vector V _{r te vinden} . Wat volgens de studierichting overeenkomt met een laatste handeling

Bijvoorbeeld: 3 strings {A, B, C} zijn gebonden aan een doos, elk uiteinde van de string wordt vastgehouden door één onderwerp. Elk van de 3 proefpersonen moet het touw in een andere richting trekken dan de andere 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, door, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + door + cy; az + bz + cz) = V _r

De kist kan maar in één richting bewegen, daarom geeft V _r de richting en richting van de beweging van de kist aan.

Verschil (A - B)

Er zijn veel criteria met betrekking tot het verschil tussen vectoren, veel auteurs kiezen ervoor om het uit te sluiten en stellen dat alleen de som tussen vectoren wordt bepaald, waarbij het verschil ongeveer de som van de tegenovergestelde vector is. De waarheid is dat vectoren algebraïsch kunnen worden afgetrokken.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Scalair product (A. B)

Ook bekend als een puntproduct, genereert het een scalaire waarde die kan worden gerelateerd aan verschillende grootheden, afhankelijk van de studietak.

Geef voor geometrie het gebied van het parallellogram aan dat wordt gevormd door het paar gelijktijdige vectoren via de parallellogrammethode. Voor mechanische fysica definieert het het werk dat wordt gedaan door een kracht F bij het verplaatsen van een lichaam over een afstand Δr.

ѡ = F . Δr

Zoals de naam aangeeft, genereert het een scalaire waarde en wordt als volgt gedefinieerd:

Laat de vectoren A en B zijn

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analytische vorm:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Waar θ de interne hoek is tussen beide vectoren

-Algebraïsche vorm:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Kruisproduct (A x B)

Het vectorproduct of puntproduct tussen twee vectoren definieert een derde vector C met de kwaliteit loodrecht op B en C te staan . In de natuurkunde is de koppelvector τ het basiselement van rotatiedynamica.

-Analytische vorm:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraïsche vorm:

(A x B) = = (ax. Door - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. Door - ay. Bx) k

-Relatieve beweging: r _{A / B}

De basis van relativiteitstheorie is relatieve beweging en gelijktijdige vectoren zijn de basis van relatieve beweging. Relatieve posities, snelheden en versnellingen kunnen worden afgeleid door de volgende volgorde van ideeën toe te passen.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Relatieve positie van A ten opzichte van B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relatieve snelheid van A ten opzichte van B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Relatieve versnelling van A ten opzichte van B

Voorbeelden: opgeloste oefeningen

Oefening 1

Laat A, B en C gelijktijdige vectoren zijn.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definieer de resulterende vector V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definieer het puntproduct (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(EEN C) = 3

-Bereken de hoek tussen A en C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Waar θ de kortste hoek tussen de vectoren is

θ = 88,63 ⁰

-Zoek een vector loodrecht op A en B

Hiervoor is het nodig om het vectorproduct tussen (-1, 3, 5) en (3, 5, -2) te definiëren. Zoals eerder uitgelegd, wordt een matrix van 3 x 3 geconstrueerd waarvan de eerste rij is samengesteld uit de drievoudige eenheidsvectoren (i, j, k). Vervolgens worden de 2e en 3e rij samengesteld uit de vectoren die moeten worden bediend, met respect voor de operationele volgorde.

(EEN X B) = = ik - j + k

(EEN X B) = (-5 - 9) I - (2-15) j + (-5 - 9) k

(EEN X B) = - 14 ik + 13 j - 14 k

Oefening 2

Laat V _a en V _b de snelheidsvectoren van respectievelijk A en B zijn. Bereken de snelheid van B gezien vanaf A.

V _een = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

In dit geval wordt de relatieve snelheid van B ten opzichte van A V _{B / A} gevraagd

V _{B / A} = V _B - V _EEN

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Dit is de snelheidsvector van B gezien vanaf A.Waar een nieuwe vector van de snelheid van B wordt beschreven met referentie van een waarnemer die op A is geplaatst en beweegt met de snelheid van A.

Voorgestelde oefeningen

1-Construct 3 vectoren A, B en C die gelijktijdig zijn en 3 bewerkingen daartussen relateren door middel van een praktische oefening.

2-Laat de vectoren A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) en C: (-2, -1, 10). Vind vectoren loodrecht op: A en B, C en B, de som A + B + C.

4-Bepaal 3 vectoren die loodrecht op elkaar staan, zonder rekening te houden met de coördinaatassen.

5-Definieer het uitgevoerde werk door een kracht die een blok met een massa van 5 kg opheft vanaf de bodem van een put van 20 meter diep.

6-Laat algebraïsch zien dat het aftrekken van vectoren gelijk is aan de som van de tegenovergestelde vector. Rechtvaardig uw postulaten.

7-Duid een vector aan in alle notaties die in dit artikel zijn ontwikkeld. (Cartesiaans, polair, analytisch en bolvormig).

8-De magnetische krachten die worden uitgeoefend op een magneet die op een tafel rust, worden gegeven door de volgende vectoren; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Bepaal in welke richting de magneet zal bewegen als alle magnetische krachten tegelijkertijd werken.

Referenties

1. Euclidische meetkunde en transformaties. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 januari 2004
2. Problemen met toegepaste wiskunde oplossen L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 april 2013
3. Basisconcepten van geometrie. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 oktober. 2012
4. Vectoren. Rocío Navarro Lacoba, 7 juni. 2014
5. Lineaire algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006