- Vergelijking van de lijn- en regisseurvector
- Parametrische vergelijking van de lijn
- voorbeeld 1
- De lijn in vectorvorm
- Voorbeeld 2
- Doorlopende vorm van de lijn en de regisseur vector
- Voorbeeld 3
- Algemene vorm van de vergelijking van de lijn
- Voorbeeld 3
- Standaardvorm van de vergelijking van de lijn
- Voorbeeld 4
- Opgeloste oefeningen
- -Oefening 1
- Oplossing
- -Oefening 2
- Oplossing 2
- Referenties
Onder een richtvector wordt verstaan een vector die de richting van een lijn bepaalt, hetzij in het vlak, hetzij in de ruimte. Daarom kan een vector parallel aan de lijn worden beschouwd als een sturende vector ervan.
Dit is mogelijk dankzij een axioma van de Euclidische meetkunde dat zegt dat twee punten een lijn definiëren. Dan definieert het georiënteerde segment gevormd door deze twee punten ook een richtvector van de genoemde lijn.
Figuur 1. Directeur vector van een lijn. (Eigen uitwerking)
Gegeven een punt P behorend bij de lijn (L) en gegeven een richtvector u van die lijn, is de lijn volledig bepaald.
Vergelijking van de lijn- en regisseurvector
Figuur 2. Vergelijking van de lijn- en richtvector. (Eigen uitwerking)
Gegeven een punt P van coördinaten P: (Xo, I) en een vector u- director van een lijn (L), moet elk punt Q van coördinaten Q: (X, Y) voldoen aan het feit dat de vector PQ evenwijdig is aan u. Deze laatste voorwaarde is gegarandeerd als PQ evenredig is met u :
PQ = t⋅ u
in de bovenstaande uitdrukking is t een parameter die tot de reële getallen behoort.
Als de cartesische componenten van PQ en u zijn geschreven, wordt de vorige vergelijking als volgt geschreven:
(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (een, b)
Als de componenten van vectorgelijkheid gelijk worden gemaakt, wordt het volgende paar vergelijkingen verkregen:
X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t
Parametrische vergelijking van de lijn
De X- en Y-coördinaten van een punt behorende tot de lijn (L) die door een coördinatenpunt (Xo, Yo) loopt en parallel is aan de richtvector u = (a, b), worden bepaald door reële waarden toe te kennen aan de variabele parameter t:
{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}
voorbeeld 1
Om de betekenis van de parametrische vergelijking van de lijn te illustreren, nemen we als richtvector
u = (a, b) = (2, -1)
en als bekend punt van de lijn het punt
P = (Xo, I) = (1, 5).
De parametrische vergelijking van de lijn is:
{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞
Om de betekenis van deze vergelijking te illustreren, wordt figuur 3 getoond, waar de parameter t zijn waarde verandert en het punt Q van coördinaten (X, Y) verschillende posities op de lijn inneemt.
Figuur 3. PQ = t u. (Eigen uitwerking)
De lijn in vectorvorm
Gegeven een punt P op de lijn en zijn richtvector u, kan de vergelijking van de lijn in vectorvorm worden geschreven:
OQ = OP + λ⋅ u
In de bovenstaande vergelijking is Q elk punt maar behorend tot de lijn en is λ een reëel getal.
De vectorvergelijking van de lijn is van toepassing op elk aantal dimensies, zelfs een hyperlijn kan worden gedefinieerd.
In het driedimensionale geval voor een richtvector u = (a, b, c) en een punt P = (Xo, Yo, Zo), zijn de coördinaten van een generiek punt Q = (X, Y, Z) behorende bij de lijn :
(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)
Voorbeeld 2
Beschouw opnieuw de lijn die een sturende vector heeft
u = (a, b) = (2, -1)
en als bekend punt van de lijn het punt
P = (Xo, I) = (1, 5).
De vectorvergelijking van genoemde lijn is:
(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)
Doorlopende vorm van de lijn en de regisseur vector
Uitgaande van de parametrische vorm, wissen en gelijk stellen van de parameter λ, hebben we:
(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c
Dit is de symmetrische vorm van de vergelijking van de lijn. Merk op dat a, b en c de componenten zijn van de director vector.
Voorbeeld 3
Beschouw de lijn die een sturende vector heeft
u = (a, b) = (2, -1)
en als bekend punt van de lijn het punt
P = (Xo, I) = (1, 5). Zoek de symmetrische vorm.
De symmetrische of continue vorm van de lijn is:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
Algemene vorm van de vergelijking van de lijn
De algemene vorm van de lijn in het XY-vlak staat bekend als de vergelijking die de volgende structuur heeft:
A⋅X + B⋅Y = C
De uitdrukking voor de symmetrische vorm kan worden herschreven om de algemene vorm te hebben:
b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
in vergelijking met de algemene vorm van de lijn is het:
A = b, B = -a en C = b⋅Xo - a⋅Yo
Voorbeeld 3
Zoek de algemene vorm van de lijn waarvan de directorvector u = (2, -1) is
en dat gaat door het punt P = (1, 5).
Om de algemene vorm te vinden kunnen we de gegeven formules gebruiken, maar er zal een alternatief pad worden gekozen.
We beginnen met het vinden van de dubbele vector w van de richtvector u, gedefinieerd als de vector die wordt verkregen door de componenten van u uit te wisselen en de tweede te vermenigvuldigen met -1:
w = (-1, -2)
de dubbele vector w komt overeen met een 90 ° rechtsom rotatie van de richtvector v .
We vermenigvuldigen w scalair met (X, Y) en met (Xo, Yo) en stellen gelijk:
(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11
eindelijk overgebleven:
X + 2Y = 11
Standaardvorm van de vergelijking van de lijn
Het staat bekend als de standaardvorm van de lijn in het XY-vlak, een die de volgende structuur heeft:
Y = m⋅X + d
waarbij m de helling voorstelt en d het snijpunt met de Y-as.
Gegeven de richtingsvector u = (a, b), is de helling m b / a.
Y d wordt verkregen door X en Y te vervangen door het bekende punt Xo, I:
Ik = (b / a) Xo + d.
Kortom, m = b / a en d = I - (b / a) Xo
Merk op dat de helling m het quotiënt is tussen de y-component van de richtvector en de x-component ervan.
Voorbeeld 4
Zoek de standaardvorm van de lijn waarvan de directorvector u = (2, -1) is
en dat gaat door het punt P = (1, 5).
m = -½ en d = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
Opgeloste oefeningen
-Oefening 1
Zoek een richtvector van de lijn (L) die het snijpunt is van het vlak (Π): X - Y + Z = 3 en het vlak (Ω): 2X + Y = 1.
Schrijf vervolgens de continue vorm van de vergelijking van de lijn (L).
Oplossing
Uit de vergelijking van het vlak (Ω) klaring Y: Y = 1 -2X
Vervolgens vervangen we in de vergelijking van het vlak (Π):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
Vervolgens parametriseren we X, we kiezen de parametrering X = λ
Dit betekent dat de lijn een vectorvergelijking heeft gegeven door:
(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
die kan worden herschreven als:
(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
waarmee het duidelijk is dat de vector u = (1, -2, -3) een sturende vector is van de lijn (L).
De doorlopende vorm van de lijn (L) is:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
-Oefening 2
Gegeven het vlak 5X + a Y + 4Z = 5
en de lijn waarvan de vergelijking X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2) is
Bepaal de waarde van a zodanig dat het vlak en de lijn parallel zijn.
Oplossing 2
De vector n = (5, a, 4) is een vector loodrecht op het vlak.
De vector u = (1, 3, -2) is een sturende vector van de lijn.
Als de lijn evenwijdig is aan het vlak, dan is n • v = 0.
(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.
Referenties
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
- Kolman, B. (2006). Lineaire algebra. Pearson Education.
- Leal, JM en Viloria, NG (2005). Plane analytische meetkunde. Mérida - Venezuela: Redactie Venezolana CA
- Navarro, Rocio. Vectoren. Hersteld van: books.google.co.ve.
- Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
- Prenowitz, W. 2012. Basisconcepten van geometrie. Rowman & Littlefield.
- Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.