ISOMETRISCHE TRANSFORMATIES: COMPOSITIE, TYPEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2024

De isometrische transformaties zijn veranderingen van positie of oriëntatie van een bepaalde figuur die de vorm of de grootte hiervan niet veranderen. Deze transformaties zijn onderverdeeld in drie typen: translatie, rotatie en reflectie (isometrie). Over het algemeen kunt u met geometrische transformaties een nieuwe figuur van een gegeven maken.

Een transformatie naar een geometrische figuur betekent dat het op de een of andere manier een verandering heeft ondergaan; dat wil zeggen, het werd gewijzigd. Volgens de betekenis van het origineel en het soortgelijk in het vlak, kunnen geometrische transformaties worden ingedeeld in drie typen: isometrisch, isomorf en anamorf.

kenmerken

Isometrische transformaties vinden plaats wanneer de magnitudes van de segmenten en de hoeken tussen de originele figuur en de getransformeerde figuur behouden blijven.

Bij dit type transformatie verandert noch de vorm noch de grootte van de figuur (ze zijn congruent), het is slechts een verandering in zijn positie, hetzij in oriëntatie, hetzij in richting. Op deze manier zullen de begin- en eindcijfers vergelijkbaar en geometrisch congruent zijn.

Isometrie verwijst naar gelijkheid; met andere woorden, geometrische figuren zullen isometrisch zijn als ze dezelfde vorm en grootte hebben.

Bij isometrische transformaties is het enige dat kan worden waargenomen een verandering van positie in het vlak, een rigide beweging vindt plaats waardoor de figuur van een beginpositie naar een laatste gaat. Dit cijfer wordt homoloog (vergelijkbaar) van het origineel genoemd.

Er zijn drie soorten bewegingen die een isometrische transformatie classificeren: translatie, rotatie en reflectie of symmetrie.

Soorten

Door vertaling

Het zijn die isometrieën waarmee alle punten van het vlak in een rechte lijn in een bepaalde richting en afstand kunnen worden verplaatst.

Wanneer een figuur door translatie wordt getransformeerd, verandert het zijn oriëntatie niet ten opzichte van de oorspronkelijke positie, noch verliest het zijn interne maten, de maten van zijn hoeken en zijden. Dit type verplaatsing wordt bepaald door drie parameters:

- Eén richting, die horizontaal, verticaal of schuin kan zijn.

- Eén richting, die naar links, rechts, omhoog of omlaag kan zijn.

- Afstand of grootte, de lengte van de beginpositie tot het einde van een willekeurig punt dat beweegt.

Om te voldoen aan een isometrische transformatie door vertaling, moet aan de volgende voorwaarden zijn voldaan:

- De figuur moet altijd al zijn afmetingen behouden, zowel lineair als hoekig.

- De figuur verandert niet van positie ten opzichte van de horizontale as; dat wil zeggen, de hoek varieert nooit.

- Vertalingen worden altijd in één samengevat, ongeacht het aantal gemaakte vertalingen.

In een vlak waar het middelpunt een punt O is, met coördinaten (0,0), wordt de translatie bepaald door een vector T (a, b), die de verplaatsing van het beginpunt aangeeft. Het is te zeggen:

P (X, Y) + T (een, b) = P '(X + a, Y + b)

Als bijvoorbeeld een vertaling T (-4, 7) wordt toegepast op het coördinaatpunt P (8, -2), krijgen we:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

In de volgende afbeelding (links) is te zien hoe punt C samenviel met D. Het deed dit in verticale richting, de richting was naar boven en de afstand of grootte CD was 8 meter. In de rechter afbeelding wordt de vertaling van een driehoek waargenomen:

Door rotatie

Het zijn die isometrieën waarmee de figuur alle punten van een vlak kan roteren. Elk punt roteert volgens een boog met een constante hoek en een bepaald vast punt (rotatiecentrum).

Dat wil zeggen, alle rotatie wordt bepaald door het rotatiecentrum en de rotatiehoek. Wanneer een figuur door rotatie wordt getransformeerd, behoudt het de maat van zijn hoeken en zijden.

De rotatie vindt plaats in een bepaalde richting, het is positief als de rotatie tegen de klok in is (tegengesteld aan hoe de wijzers van de klok draaien) en negatief als de rotatie met de klok mee is.

Als een punt (x, y) wordt geroteerd ten opzichte van de oorsprong - dat wil zeggen, het rotatiecentrum is (0,0) -, onder een hoek van 90 ^of 360 ^of de coördinaten van de punten zijn:

In het geval dat de rotatie geen middelpunt heeft bij de oorsprong, moet de oorsprong van het coördinatensysteem worden overgedragen naar de nieuw gegeven oorsprong om de figuur met de oorsprong als middelpunt te kunnen draaien.

Als het P (-5,2) punt bijvoorbeeld een rotatie van 90 wordt toegepast, ^of rond de oorsprong en positief zijn de nieuwe coördinaten (-2,5).

Door reflectie of symmetrie

Het zijn die transformaties die de punten en figuren van het vlak omkeren. Deze omkering kan zijn ten opzichte van een punt of het kan ook zijn ten opzichte van een lijn.

Met andere woorden, bij dit type transformatie wordt elk punt van de originele figuur geassocieerd met een ander punt (afbeelding) van de homologe figuur, op een zodanige manier dat het punt en zijn afbeelding zich op dezelfde afstand bevinden van een lijn die de symmetrieas wordt genoemd. .

Het linkerdeel van de figuur zal dus een weerspiegeling zijn van het rechterdeel, zonder de vorm of afmetingen te veranderen. Symmetrie transformeert een figuur in een andere gelijke maar in tegengestelde richting, zoals te zien is in de volgende afbeelding:

Symmetrie is in veel aspecten aanwezig, zoals in sommige planten (zonnebloemen), dieren (pauw) en natuurlijke fenomenen (sneeuwvlokken). De mens reflecteert het op zijn gezicht, dat als een factor van schoonheid wordt beschouwd. Reflectie of symmetrie kan van twee soorten zijn:

Centrale symmetrie

Het is die transformatie die plaatsvindt met betrekking tot een punt, waarin de figuur zijn oriëntatie kan veranderen. Elk punt van de originele figuur en zijn afbeelding bevinden zich op dezelfde afstand van een punt O, het symmetriecentrum genoemd. Symmetrie staat centraal wanneer:

- Zowel het punt als de afbeelding en het midden behoren tot dezelfde lijn.

- Met een rotatie van 180 ^o van middelpunt O wordt een cijfer gelijk aan het origineel verkregen.

- De lijnen van de oorspronkelijke figuur lopen parallel met de lijnen van de gevormde figuur.

- De betekenis van de figuur verandert niet, hij zal altijd met de klok mee zijn.

Samenstelling van een rotatie

De samenstelling van twee windingen met hetzelfde middelpunt resulteert in een andere draai, die hetzelfde middelpunt heeft en waarvan de amplitude de som is van de amplitudes van de twee windingen.

Als het midden van de bochten een ander middelpunt heeft, zal de snede van de middelloodlijn van twee segmenten met vergelijkbare punten het middelpunt van de draai zijn.

Samenstelling van een symmetrie

In dit geval hangt de compositie af van hoe deze wordt toegepast:

- Als dezelfde symmetrie twee keer wordt toegepast, is het resultaat een identiteit.

- Als er twee symmetrieën worden toegepast ten opzichte van twee parallelle assen, is het resultaat een translatie en is de verplaatsing tweemaal de afstand van die assen:

- Als twee symmetrieën worden toegepast met betrekking tot twee assen die elkaar snijden in punt O (midden), wordt een rotatie met middelpunt op O verkregen en zal de hoek ervan tweemaal de hoek zijn die wordt gevormd door de assen:

Referenties

1. V Bourgeois, JF (1988). Materialen voor constructie van geometrie. Madrid: synthese.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Technische tekening II. Paraninfo SA: Editions of the Tower.
3. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of geometry. Mexico: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometrie Een transformatiebenadering. VS: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Inductie en formalisering in het onderwijzen van rigide transformaties in de CABRI-omgeving.
6. , PJ (1996). De groep isometrieën van het vliegtuig. Madrid: synthese.
7. Suárez, AC (2010). Transformaties in het vliegtuig. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.