EUCLIDISCHE AFSTAND: CONCEPT, FORMULE, BEREKENING, VOORBEELD - WISKUNDE - 2025

De Euclidische afstand is een positief getal dat de scheiding aangeeft tussen twee punten in een ruimte waar aan de axioma's en stellingen van de geometrie van Euclides is voldaan.

De afstand tussen twee punten A en B in een Euclidische ruimte is de lengte van de vector AB die behoort tot de enige lijn die door deze punten loopt.

Figuur 1 . Eendimensionale Euclidische ruimte gevormd door de lijn (OX). Op genoemde ruimte worden verschillende punten weergegeven, hun coördinaten en afstanden. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

De ruimte die mensen waarnemen en waarin we ons bewegen, is een driedimensionale (3-D) ruimte, waar de axioma's en stellingen van de geometrie van Euclides vervuld zijn. In deze ruimte bevinden zich tweedimensionale deelruimten (vlakken) en eendimensionale deelruimten (lijnen).

Euclidische ruimtes kunnen eendimensionaal (1-D), tweedimensionaal (2-D), driedimensionaal (3-D) of n-dimensionaal (nD) zijn.

Punten in de eendimensionale ruimte X zijn die welke behoren tot de georiënteerde lijn (OX), de richting van O naar X is de positieve richting. Om de punten op deze lijn te lokaliseren, wordt het Cartesiaans systeem gebruikt, dat bestaat uit het toekennen van een nummer aan elk punt van de lijn.

Formule

De Euclidische afstand d (A, B) tussen de punten A en B, gelegen op een lijn, wordt gedefinieerd als de vierkantswortel van het kwadraat van de verschillen in hun X-coördinaten:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Deze definitie garandeert dat: de afstand tussen twee punten altijd een positieve grootheid is. En dat de afstand tussen A en B gelijk is aan de afstand tussen B en A.

Figuur 1 toont de eendimensionale Euclidische ruimte gevormd door de lijn (OX) en verschillende punten op die lijn. Elk punt heeft een coördinaat:

Punt A heeft coördinaat XA = 2,5, punt B-coördinaat XB = 4 en punt C-coördinaat XC = -2,5

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Euclidische afstand in twee dimensies

Tweedimensionale Euclidische ruimte is een vlak. De punten van een Euclidisch vlak voldoen aan de axioma's van de Euclidische meetkunde, bijvoorbeeld:

- Een enkele lijn loopt door twee punten.

- Drie punten op het vlak vormen een driehoek waarvan de interne hoeken altijd samen 180º bedragen.

- In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van zijn benen.

In twee dimensies heeft een punt X- en Y-coördinaten.

Een punt P heeft bijvoorbeeld coördinaten (XP, YP) ​​en een punt Q-coördinaten (XQ, YQ).

De Euclidische afstand tussen punt P en Q wordt gedefinieerd met de volgende formule:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Opgemerkt moet worden dat deze formule equivalent is aan de stelling van Pythagoras, zoals weergegeven in figuur 2.

Figuur 2. De afstand tussen twee punten P en Q in het vlak voldoet aan de stelling van Pythagoras. (Opgesteld door Ricardo Pérez).

Niet-Euclidische oppervlakken

Niet alle tweedimensionale ruimtes voldoen aan de Euclidische meetkunde. Het oppervlak van een bol is een tweedimensionale ruimte.

De hoeken van een driehoek op een bolvormig oppervlak tellen niet op tot 180 ° en daarmee wordt niet voldaan aan de stelling van Pythagoras, daarom voldoet een bolvormig oppervlak niet aan de axioma's van Euclides.

Euclidische afstand in n afmetingen

Het concept van coördinaten kan worden uitgebreid tot grotere dimensies:

- In 2-D heeft punt P coördinaten (XP, YP)

- In 3D heeft een punt Q coördinaten (XQ, YQ, ZQ)

- In 4-D heeft punt R coördinaten (XR, YR, ZR, WR)

- In nD heeft een punt P coördinaten (P1, P2, P3, ….., Pn)

De afstand tussen twee punten P en Q van een n-dimensionale Euclidische ruimte wordt berekend met de volgende formule:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

De meetkundige plaats van alle punten Q in een n-dimensionale Euclidische ruimte op gelijke afstand van een ander vast punt P (het midden) vormt een n-dimensionale hypersphere.

Hoe de Euclidische afstand te berekenen

Het volgende laat zien hoe de afstand tussen twee punten in de Euclidische driedimensionale ruimte wordt berekend.

Stel dat punt A van de cartesische coördinaten x, y, z gegeven door A :( 2, 3, 1) en punt B van coördinaten B :( -3, 2, 2).

We willen de afstand tussen deze punten bepalen, waarbij gebruik gemaakt wordt van de algemene relatie:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196

Voorbeeld

Er zijn twee punten P en Q. Het punt P van de cartesische coördinaten x, y, z gegeven door P :( 2, 3, 1) en het punt Q van de coördinaten Q :( -3, 2, 1).

Er wordt gevraagd om de coördinaten te vinden van het middelpunt M van het segment dat de twee punten verbindt.

Aangenomen wordt dat het onbekende punt M coördinaten heeft (X, Y, Z).

Aangezien M het middelpunt is van, moet het waar zijn dat d (P, M) = d (Q, M), dus d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 moet ook waar zijn:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Omdat in dit geval de derde term in beide leden gelijk is, vereenvoudigt de vorige uitdrukking tot:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

We hebben dan een vergelijking met twee onbekenden X en Y. Een andere vergelijking is nodig om het probleem op te lossen.

Punt M behoort tot de lijn die door de punten P en Q loopt, die we als volgt kunnen berekenen:

Eerst vinden we de director vector PQ van de lijn: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Dan is PM = OP + a PQ , waarbij OP de positievector is van het punt P en een parameter is die tot de reële getallen behoort.

De bovenstaande vergelijking staat bekend als de vectorvergelijking van de lijn, die in cartesiaanse coördinaten de volgende vorm aanneemt:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Vergelijking van de overeenkomstige componenten die we hebben:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Dat wil zeggen, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, uiteindelijk Z = 1.

Het wordt vervangen in de kwadratische uitdrukking die X met Y relateert:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Het is vereenvoudigd:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Ontvouwt zich nu:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Het is vereenvoudigd en annuleert dezelfde voorwaarden in beide leden:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

De parameter a wordt gewist:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 resulterend in a = 1.

Dat wil zeggen, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, uiteindelijk Z = 1.

Ten slotte krijgen we de cartesiaanse coördinaten van het middelpunt M van het segment:

M: (-1, 5, 1).

Referenties

1. Lehmann C. (1972) Analytische meetkunde. UTEHA.
2. Superprof. Afstand tussen twee punten. Hersteld van: superprof.es
3. UNAM. Afstand tussen affiene sublineaire spruitstukken. Hersteld van: prometeo.matem.unam.mx/
4. wikipedia. Euclidische afstand. Hersteld van: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Euclidische ruimte. Hersteld van: es.wikipedia.com