PRIEMGETALLEN: KENMERKEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De priemgetallen , ook wel priemgetallen genoemd, zijn die natuurlijke getallen die alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1. Deze categorie getallen zoals 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en veel plus.

In plaats daarvan is een samengesteld getal deelbaar door zichzelf, door 1 en door ten minste één ander getal. We hebben bijvoorbeeld 12, dat deelbaar is door 1, 2, 4, 6 en 12. Volgens afspraak is 1 niet opgenomen in de lijst met priemgetallen of in de lijst met verbindingen.

Figuur 1. Enkele priemgetallen. Bron: Wikimedia Commons.

De kennis van priemgetallen gaat terug tot de oudheid; de oude Egyptenaren gebruikten ze al en ze waren vast al lang bekend.

Deze getallen zijn erg belangrijk, aangezien elk natuurlijk getal kan worden weergegeven door het product van priemgetallen, waarbij deze representatie uniek is, behalve in de volgorde van de factoren.

Dit feit is volledig vastgesteld in een stelling genaamd de Fundamentele Stelling van de Rekenkunde, die stelt dat getallen die geen priemgetallen zijn, noodzakelijkerwijs zijn samengesteld uit producten van getallen die dat wel zijn.

Kenmerken van priemgetallen

Dit zijn de belangrijkste kenmerken van priemgetallen:

-Ze zijn oneindig, want hoe groot een priemgetal ook is, je kunt altijd een groter getal vinden.

-Als een priemgetal p niet precies een ander getal a deelt, wordt er gezegd dat p en a een priemgetal zijn ten opzichte van elkaar. Wanneer dit gebeurt, is de enige gemene deler die beide hebben 1.

Het is niet nodig dat a een absoluut priemgetal is. 5 is bijvoorbeeld een priemgetal, en hoewel 12 dat niet is, zijn beide getallen een priemgetal ten opzichte van elkaar, aangezien beide 1 als gemeenschappelijke deler hebben.

-Als een priemgetal p een macht van het getal n deelt, wordt ook n gedeeld. Laten we eens kijken naar 100, dat is een macht van 10, specifiek 10 ² . Het komt voor dat 2 zowel 100 als 10 deelt.

-Alle priemgetallen zijn oneven behalve 2, daarom is het laatste cijfer 1, 3, 7 of 9. 5 is niet inbegrepen, want hoewel het oneven en priemgetallen is, is het nooit het laatste cijfer van een ander priemgetal. In feite zijn alle getallen die eindigen op 5 veelvouden hiervan en daarom zijn ze geen priemgetallen.

-Als p een priemgetal en een deler is van het product van twee getallen ab, dan deelt p er een van. Het priemgetal 3 deelt bijvoorbeeld het product 9 x 11 = 99, aangezien 3 een deler is van 9.

Hoe weet je of een getal een priemgetal is?

Primaliteit is de naam die wordt gegeven aan de kwaliteit van primair zijn. Welnu, de Franse wiskundige Pierre de Fermat (1601-1665) vond een manier om de primaliteit van een getal te verifiëren, in de zogenaamde kleine stelling van Fermat, die zegt:

"Gegeven een priemgetal p en elk natuurlijk getal groter dan 0, is het waar dat a ^p - a een veelvoud is van p, zolang p een priemgetal is".

We kunnen dit bevestigen met kleine getallen, stel bijvoorbeeld dat p = 4, waarvan we al weten dat het geen priemgetal is en al = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Het getal 1290 is niet precies deelbaar door 4, dus 4 is geen priemgetal.

Laten we de test nu doen met p = 5, wat een priemgetal is en ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 is deelbaar door 5, aangezien elk getal dat eindigt op 0 of 5 dat ook is. In feite 7760/5 = 1554. Aangezien de kleine stelling van Fermat geldt, kunnen we ervoor zorgen dat 5 een priemgetal is.

Het bewijs door de stelling is effectief en direct met kleine getallen, waarin de operatie gemakkelijk uit te voeren is, maar wat te doen als ons wordt gevraagd de primaliteit van een groot aantal te achterhalen?

In dat geval wordt het getal achtereenvolgens verdeeld over alle kleinere priemgetallen, totdat een exacte deling is gevonden of het quotiënt kleiner is dan de deler.

Als een deling exact is, betekent dit dat het getal samengesteld is en als het quotiënt kleiner is dan de deler, betekent dit dat het getal een priemgetal is. We zullen het in de praktijk brengen in opgeloste oefening 2.

Manieren om een ​​priemgetal te vinden

Er zijn oneindig veel priemgetallen en er is geen enkele formule om ze te bepalen. Als we echter naar enkele priemgetallen kijken, zoals deze:

3, 7, 31, 127 …

Opgemerkt wordt dat ze de vorm 2 ⁿ - 1 hebben, met n = 2, 3, 5, 7, 9 … We zorgen hiervoor:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Maar we kunnen er niet voor zorgen dat in het algemeen 2 ⁿ - 1 een priemgetal is, omdat er enkele waarden van n zijn waarvoor het niet werkt, bijvoorbeeld 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

En het getal 15 is geen priemgetal, aangezien het eindigt op 5. Een van de grootste bekende priemgetallen, gevonden door computerberekeningen, heeft de vorm 2 ⁿ - 1 met:

n = 57.885.161

De formule van Mersenne verzekert ons dat 2 ^p - 1 altijd priem is, zolang p ook priem is. 31 is bijvoorbeeld een priemgetal, dus het is zeker dat 2 ³¹ - 1 ook een priemgetal is :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Met de formule kunt u echter slechts enkele priemgetallen bepalen, niet alle.

Euler's formule

Met het volgende polynoom kunnen priemgetallen worden gevonden op voorwaarde dat n tussen 0 en 39 ligt:

P (n) = n ² + n + 41

Verderop in de sectie met opgeloste oefeningen staat een voorbeeld van het gebruik ervan.

De zeef van Eratosthenes

Eratosthenes was een natuurkundige en wiskundige uit het oude Griekenland die leefde in de 3e eeuw voor Christus. Hij bedacht een grafische methode om de priemgetallen te vinden die we met kleine getallen in de praktijk kunnen brengen, de Eratosthenes-zeef (een zeef is als een zeef).

-De nummers worden in een tabel geplaatst zoals weergegeven in de animatie.

-De even nummers worden dan doorgehaald, behalve 2 waarvan we weten dat het een priemgetal is. Alle andere zijn veelvouden hiervan en zijn daarom geen priemgetal.

-De veelvouden van 3, 5, 7 en 11 zijn ook gemarkeerd, met uitzondering van alle omdat we weten dat ze een priemgetal zijn.

-De veelvouden van 4, 6, 8, 9 en 10 zijn al gemarkeerd, omdat ze samengesteld zijn en dus veelvouden van enkele van de aangegeven priemgetallen.

- Ten slotte zijn de nummers die ongemarkeerd blijven, priemgetallen.

Figuur 2. Animatie van de Eratosthenes-zeef. Bron: Wikimedia Commons.

Opdrachten

- Oefening 1

Gebruik het Euler-polynoom voor priemgetallen en zoek 3 getallen groter dan 100.

Oplossing

Dit is het polynoom dat Euler voorstelde om priemgetallen te vinden, wat werkt voor waarden van n tussen 0 en 39.

P (n) = n ² + n + 41

Met vallen en opstaan ​​selecteren we een waarde van n, bijvoorbeeld n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Omdat n = 8 een priemgetal oplevert dat groter is dan 100, evalueren we het polynoom voor n = 9 en n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Oefening 2

Kijk of de volgende getallen een priemgetal zijn:

een) 13

b) 191

Oplossing voor

De 13 is klein genoeg om de kleine stelling van Fermat en de hulp van de rekenmachine te gebruiken.

We gebruiken a = 2 zodat de getallen niet te groot zijn, al kan a = 3, 4 of 5 ook gebruikt worden:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 is deelbaar door 2, aangezien het even is, daarom is 13 een priemgetal. De lezer kan dit bevestigen door dezelfde test uit te voeren met a = 3.

Oplossing b

191 is te groot om te bewijzen met de stelling en een gewone rekenmachine, maar we kunnen de scheiding tussen elk priemgetal vinden. Delen door 2 laten we weg omdat 191 niet even is en de deling niet exact zal zijn of het quotiënt kleiner dan 2.

We proberen te delen door 3:

191/3 = 63.666 …

En het geeft niet exact, noch is het quotiënt kleiner dan de deler (63.666 … is groter dan 3)

We blijven dus proberen om 191 te verdelen tussen de priemgetallen 5, 7, 11, 13 en de exacte deling wordt niet bereikt, noch het quotiënt kleiner dan de deler. Totdat het wordt gedeeld door 17:

191/17 = 11, 2352 …

Omdat het niet exact is en 11.2352… kleiner is dan 17, is het getal 191 een priemgetal.

Referenties

1. Baldor, A. 1986. Arithmetic. Edities en distributies Codex.
2. Prieto, C. De priemgetallen. Hersteld van: paginas.matem.unam.mx.
3. Eigenschappen van priemgetallen. Hersteld van: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Priemgetallen: hoe vind je ze met de Eratosthenes-zeef. Hersteld van: smartick.es.
5. Wikipedia. Priemgetal. Hersteld van: es.wikipedia.org.