De gravicentro is een definitie die veel wordt gebruikt in de geometrie bij het werken met driehoeken.
Om de definitie van zwaartekracht te begrijpen, is het eerst nodig om de definitie van "medianen" van een driehoek te kennen.
De medianen van een driehoek zijn de lijnsegmenten die beginnen bij elk hoekpunt en het middelpunt bereiken van de zijde tegenover dat hoekpunt.
Het snijpunt van de drie medianen van een driehoek wordt het zwaartepunt genoemd of het is ook bekend als het gravicentrum.
Het is niet voldoende om alleen de definitie te kennen, het is interessant om te weten hoe dit punt wordt berekend.
Berekening van het zwaartepunt
Gegeven een driehoek ABC met hoekpunten A = (x1, y1), B = (x2, y2) en C = (x3, y3), hebben we dat het gravicentrum het snijpunt is van de drie medianen van de driehoek.
Een snelle formule waarmee het zwaartepunt van een driehoek kan worden berekend, bekend als de coördinaten van de hoekpunten, is:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Met deze formule kun je de locatie van het graviccenter in het cartesische vlak achterhalen.
Kenmerken van de Gravicentro
Het is niet nodig om de drie medianen van de driehoek te tekenen, want als je er twee tekent, zal het duidelijk zijn waar de gravicentro is.
De gravicentro verdeelt elke mediaan in 2 delen waarvan de verhouding 2: 1 is, dat wil zeggen, de twee segmenten van elke mediaan zijn verdeeld in segmenten met de lengtes 2/3 en 1/3 van de totale lengte, waarbij de grotere afstand de lengte is die er is tussen het hoekpunt en het zwaartepunt.
De volgende afbeelding illustreert deze eigenschap beter.
De formule voor het berekenen van de zwaartekracht is heel eenvoudig toe te passen. De manier om deze formule te verkrijgen, is door de lijnvergelijkingen te berekenen die elke mediaan definiëren en vervolgens het snijpunt van deze lijnen te vinden.
Opdrachten
Hier is een korte lijst met problemen bij het berekenen van het zwaartepunt.
1. - Bereken bij een driehoek met hoekpunten A = (0,0), B = (1,0) en C = (1,1) het zwaartepunt van die driehoek.
Met behulp van de gegeven formule kan snel worden geconcludeerd dat het zwaartepunt van driehoek ABC is:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Als een driehoek hoekpunten A = (0,0), B = (1,0) en C = (1 / 2,1) heeft, wat zijn dan de coördinaten van de gravicentro?
Omdat de hoekpunten van de driehoek bekend zijn, gaan we verder met het toepassen van de formule voor het berekenen van het zwaartepunt. Daarom heeft de gravicentro coördinaten:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Bereken de mogelijke gravicentros voor een gelijkzijdige driehoek zodanig dat twee van zijn hoekpunten A = (0,0) en B = (2,0) zijn.
In deze oefening specificeert u slechts twee hoekpunten van de driehoek. Om de mogelijke gravicentros te vinden, moeten we eerst het derde hoekpunt van de driehoek berekenen.
Omdat de driehoek gelijkzijdig is en de afstand tussen A en B 2 is, moet het derde hoekpunt C zich op afstand 2 van A en B bevinden.
Gebruikmakend van het feit dat in een gelijkzijdige driehoek de hoogte samenvalt met de mediaan en ook gebruikmakend van de stelling van Pythagoras, kan worden geconcludeerd dat de opties voor de coördinaten van het derde hoekpunt C1 = (1, √3) of C2 = (1, - √3).
Dus de coördinaten van de twee mogelijke gravicentries zijn:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3),
G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Dankzij de eerdere verslagen kan ook worden opgemerkt dat de mediaan in twee delen was verdeeld, waarvan de verhouding 2: 1 is.
Referenties
- Landaverde, F. d. (1997). Geometry (herdruk red.). Vooruitgang.
- Leake, D. (2006). Driehoeken (geïllustreerd red.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrieën. CR-technologie.
- Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.