REËLE CIJFERS: GESCHIEDENIS, VOORBEELDEN, EIGENSCHAPPEN, BEWERKINGEN - WISKUNDE - 2025

De reële getallen vormen de numerieke verzameling die de natuurlijke getallen, de gehele getallen, de rationele en de irrationele getallen omvat. Ze worden aangeduid met het symbool ℝ of gewoon R en hun reikwijdte in wetenschap, techniek en economie is zodanig dat wanneer het over "getal" gaat, het bijna vanzelfsprekend wordt dat het een reëel getal is.

Echte cijfers worden al sinds de oudheid gebruikt, hoewel ze die naam niet kregen. Vanaf de tijd dat Pythagoras zijn beroemde stelling ontwikkelde, kwamen er getallen naar voren die niet konden worden verkregen als quotiënten van natuurlijke getallen of gehele getallen.

Figuur 1. Venn-diagram dat laat zien hoe de reeks reële getallen de andere reeks getallen bevat. Bron> Wikimedia Commons.

Voorbeelden van getallen zijn √2, √3 en π. Deze getallen worden irrationeel genoemd, in tegenstelling tot rationale getallen, die wel uit quotiënten van hele getallen komen. Het was daarom nodig om een ​​numerieke set te hebben die beide klassen getallen omvat.

De term "reëel getal" is bedacht door de grote wiskundige René Descartes (1596-1650) om onderscheid te maken tussen de twee soorten wortels die kunnen ontstaan ​​door het oplossen van een veeltermvergelijking.

Sommige van deze wortels kunnen zelfs wortels zijn van negatieve getallen. Descartes noemde deze "denkbeeldige getallen" en degenen die dat niet waren, waren reële getallen.

De denominatie bleef in de loop van de tijd bestaan, wat aanleiding gaf tot twee grote numerieke sets: reële getallen en complexe getallen, een grotere set die reële getallen omvat, imaginaire getallen en getallen die deels reëel en deels imaginair zijn.

De evolutie van reële getallen zette zijn koers voort totdat in 1872 de wiskundige Richard Dedekind (1831-1936) de reeks reële getallen formeel definieerde door middel van de zogenaamde Dedekind-bezuinigingen. De synthese van zijn werk werd gepubliceerd in een artikel dat datzelfde jaar het licht zag.

Voorbeelden van reële getallen

De onderstaande tabel toont voorbeelden van reële getallen. Deze set heeft als subsets de natuurlijke getallen, de gehele getallen, het rationele en het irrationele. Elk aantal van deze sets is op zichzelf een reëel getal.

Daarom zijn 0, negatieven, positieven, breuken en decimalen reële getallen.

Figuur 2. Voorbeelden van reële getallen zijn natuurlijk, integer, rationeel, irrationeel en transcendent. Bron: F. Zapata.

Vertegenwoordiging van reële getallen op de reële lijn

Reële getallen kunnen worden weergegeven op de reële lijn R , zoals weergegeven in de afbeelding. Het is niet nodig dat de 0 altijd aanwezig is, maar het is wel handig om te weten dat de negatieve realen zich links bevinden en de positieve realen rechts. Daarom is het een uitstekend referentiepunt.

Op de echte regel wordt een schaal genomen, waarin de gehele getallen worden gevonden:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. De pijl geeft aan dat de lijn zich uitstrekt tot in het oneindige. Maar dat is niet alles, in elk overwogen interval zullen we ook altijd oneindige reële getallen vinden.

De reële getallen worden op volgorde weergegeven. Om te beginnen is er de volgorde van de gehele getallen, waarbij de positieven altijd groter zijn dan 0, terwijl de negatieven kleiner zijn.

Deze volgorde wordt binnen de reële getallen gehouden. De volgende ongelijkheden worden als voorbeeld getoond:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Figuur 3. - De echte lijn. Bron: Wikimedia Commons.

Eigenschappen van reële getallen

-Real getallen zijn natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale getallen en irrationele getallen.

-De commutatieve eigenschap van optellen is vervuld: de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet. Als a en b twee reële getallen zijn, is het altijd waar dat:

a + b = b + a

-De 0 is het neutrale element van de som: a + 0 = a

-Voor het bedrag is aan de associatieve eigenschap voldaan. Als a, b en c reële getallen zijn: (a + b) + c = a + (b + c).

-Het tegenovergestelde van een reëel getal is -a.

-De aftrekking wordt gedefinieerd als de som van het tegenovergestelde: a - b = a + (-b).

-De commutatieve eigenschap van het product is vervuld: de volgorde van de factoren verandert het product niet: ab = ba

-In het product wordt ook de associatieve eigenschap toegepast: (ab) .c = a. (Bc)

-De 1 is het neutrale element van de vermenigvuldiging: a.1 = a

-De distributieve eigenschap van vermenigvuldiging is geldig met betrekking tot optellen: a. (b + c) = ab + ac

-Deling door 0 is niet gedefinieerd.

-Elk reëel getal a, behalve 0, heeft een multiplicatieve inverse van ^-1 zodat aa ^-1 = 1.

-Als a een reëel getal is: a ⁰ = 1 en a ¹ = a.

-De absolute waarde of modulus van een reëel getal is de afstand tussen genoemd getal en 0.

Bewerkingen met reële cijfers

Met de reële getallen kun je de bewerkingen uitvoeren die worden gedaan met de andere getallenreeksen, inclusief optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, empowerment, radicatie, logaritmen en meer.

Zoals altijd is delen door 0 niet gedefinieerd, en er zijn ook geen negatieve logaritmen van getallen of 0, hoewel het waar is dat log 1 = 0 en dat logaritmen van getallen tussen 0 en 1 negatief zijn.

Toepassingen

De toepassingen van reële getallen op allerlei situaties zijn zeer gevarieerd. Echte cijfers verschijnen als antwoorden op veel problemen in de exacte wetenschappen, informatica, techniek, economie en sociale wetenschappen.

Allerlei grootheden en grootheden zoals afstanden, tijden, krachten, intensiteit van geluid, geld en nog veel meer, komen tot uitdrukking in reële getallen.

De overdracht van telefoonsignalen, het beeld en geluid van een video, de temperatuur van een airconditioner, een verwarming of een koelkast kan digitaal worden geregeld, wat betekent dat fysieke grootheden worden omgezet in numerieke reeksen.

Hetzelfde gebeurt bij het uitvoeren van een banktransactie via internet of het raadplegen van instant messaging. De echte cijfers zijn overal.

Oefening opgelost

We gaan met oefeningen zien hoe deze getallen werken in veelvoorkomende situaties die we dagelijks tegenkomen.

Oefening 1

Het postkantoor accepteert alleen pakketten waarvan de lengte plus de omtrek niet groter is dan 108 inch. Daarom moet het weergegeven pakket worden geaccepteerd dat:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Zal een pakket dat 15 cm breed, 20 cm hoog en 1,5 meter lang is, erdoor komen?

b) Hoe zit het met een die 2 x 2 x 4 ft ³ meet ?

c) Wat is de hoogst aanvaardbare hoogte voor een pakket waarvan de basis vierkant is en 23 x 23 cm ² meet ?

Antwoord op

L = 5 voet = 60 inch

x = 15 cm

y = 8 inch

De op te lossen operatie is:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inch = 60 + 2 x 14 inch = 60 + 28 inch = 88 inch

Het pakket is geaccepteerd.

Antwoord b

De afmetingen van dit pakket zijn kleiner dan pakket a), dus ze komen er allebei doorheen.

Antwoord c

In dit pakket:

x = L = 9 inch

Opgemerkt moet worden dat:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2j ≤ 108

2j ≤ 81

en ≤ 40,5 inch

Referenties

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Nationale Universiteit van de Litoral.
2. Diego, A. Echte cijfers en hun eigendommen. Hersteld van: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Wiskunde 9e. Mate. CO-BO edities.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: wiskunde voor calculus. 5e. Editie. Cengage leren.