GEHELE GETALLEN: EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De gehele getallen zijn een reeks nuttige getallen om objecten als complete haves te tellen en niet. Ook om degenen te tellen die zich aan de ene kant en aan de andere kant van een bepaalde referentieplaats bevinden.

Ook bij hele getallen kun je de aftrekking of het verschil tussen een getal en een ander groter dan dit uitvoeren, waarbij het resultaat bijvoorbeeld als schuld wordt verrekend. Het onderscheid tussen inkomsten en schulden wordt gemaakt met respectievelijk + en - tekens.

Figuur 1. De getallenlijn voor hele getallen. Bron: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Daarom bevat de reeks hele getallen het volgende:

-Positieve gehele getallen, die worden voorafgegaan door een + -teken, of simpelweg zonder het teken, aangezien het ook duidelijk is dat ze positief zijn. Bijvoorbeeld: +1, +2, + 3… enzovoort.

-De 0, waarin het teken niet relevant is, aangezien het niet uitmaakt om het op te tellen om het van een bepaalde hoeveelheid af te trekken. Maar 0 is erg belangrijk, omdat het de referentie is voor de gehele getallen: aan de ene kant zijn de positieven en de andere kant de negatieven, zoals we zien in figuur 1.

-Negatieve gehele getallen, die altijd moeten worden geschreven voorafgegaan door het teken -, omdat daarmee de bedragen zoals schulden en al die aan de andere kant van de verwijzing worden onderscheiden. Voorbeelden van negatieve gehele getallen zijn: -1, -2, -3… en daarna.

Hoe worden gehele getallen weergegeven?

Aan het begin stellen we de gehele getallen voor met de ingestelde notatie: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 …}, dat wil zeggen lijsten en georganiseerd. Maar een zeer nuttige weergave is die van de getallenlijn. Dit vereist het tekenen van een lijn, die over het algemeen horizontaal is, waarop 0 is gemarkeerd en verdeeld in identieke secties:

Figuur 2. Weergave van hele getallen op de getallenlijn. Van 0 naar rechts zijn de positieve gehele getallen en van 0 naar links de negatieve. Bron: F. Zapata.

De minpunten gaan links van 0 en de pluspunten naar rechts. De pijlen op de getallenlijn symboliseren dat de getallen oneindig worden. Gegeven een geheel getal, is het altijd mogelijk om er een te vinden die groter is of een ander die kleiner is.

De absolute waarde van een geheel getal

De absolute waarde van een geheel getal is de afstand tussen het getal en 0. En afstanden zijn altijd positief. Daarom is de absolute waarde van het negatieve gehele getal het getal zonder minteken.

De absolute waarde van -5 is bijvoorbeeld 5. De absolute waarde wordt als volgt aangegeven met staven:

--5- = 5

Om het te visualiseren, tel je gewoon de spaties op de getallenlijn, van -5 tot 0. Hoewel de absolute waarde van een positief geheel getal hetzelfde getal is, bijvoorbeeld - + 3- = 3, omdat de afstand van 0 is met 3 spaties:

Figuur 3. De absolute waarde van een geheel getal is altijd een positieve grootheid. Bron: F. Zapata.

Eigendommen

-De verzameling gehele getallen wordt aangeduid als Z en omvat de verzameling natuurlijke getallen N, waarvan de elementen oneindig zijn.

-Een geheel getal en het getal dat erop volgt (of het getal dat eraan voorafgaat) worden altijd in eenheid gedifferentieerd. Na 5 komt er bijvoorbeeld 6, waarbij 1 het verschil tussen beide is.

-Elk geheel getal heeft een voorganger en een opvolger.

-Elk positief geheel getal is groter dan 0.

-Een negatief geheel getal is altijd kleiner dan 0 en een willekeurig positief getal. Neem bijvoorbeeld het getal -100, dit is kleiner dan 2, dan 10 en dan 50. Maar het is ook kleiner dan -10, -20 en -99 en het is groter dan -200.

-De 0 heeft geen overwegingen met betrekking tot tekens, aangezien deze noch negatief, noch positief is.

-Met hele getallen kun je dezelfde bewerkingen uitvoeren als met natuurlijke getallen, namelijk: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, empowerment en meer.

-Het gehele getal tegenover een bepaald geheel getal x is –x en de som van een geheel getal met het tegenovergestelde is 0:

x + (-x) = 0.

Bewerkingen met gehele getallen

- Som

-Als de toe te voegen nummers hetzelfde teken hebben, worden hun absolute waarden opgeteld en wordt het resultaat geplaatst met het teken dat de toevoegingen hebben. Hier zijn enkele voorbeelden:

een) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Als de getallen van een ander teken zijn, worden de absolute waarden afgetrokken (de hoogste van de laagste) en wordt het resultaat geplaatst met het teken van het getal met de hoogste absolute waarde, als volgt:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Eigenschappen van de som van gehele getallen

-De som is commutatief, dus de volgorde van de bijlagen verandert de som niet. Laat a en b twee gehele getallen zijn, het is waar dat a + b = b + a

-De 0 is het neutrale element van de som van gehele getallen: a + 0 = a

-Elk geheel getal dat aan het tegenovergestelde wordt toegevoegd, is 0. Het tegenovergestelde van + a is –a, en omgekeerd is het tegenovergestelde van –a + a. Daarom: (+ a) + (-a) = 0.

Figuur 2. Tekenregel voor het optellen van hele getallen. Bron: Wikimedia Commons.

- Aftrekken

Om hele getallen af ​​te trekken, moet men zich door deze regel laten leiden: aftrekken is gelijk aan het optellen van een getal met het tegenovergestelde. Laat a en b twee getallen zijn, dan:

a - b = a + (-b)

Stel dat u de volgende bewerking moet uitvoeren: (-3) - (+7), dan:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Vermenigvuldiging

De vermenigvuldiging van hele getallen volgt bepaalde regels voor tekens:

-Het product van twee cijfers met hetzelfde teken is altijd positief.

-Als twee getallen met verschillende tekens worden vermenigvuldigd, is het resultaat altijd negatief.

-De waarde van het product is gelijk aan het vermenigvuldigen van de respectieve absolute waarden.

Meteen enkele voorbeelden die het bovenstaande verduidelijken:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Eigenschappen van vermenigvuldiging van gehele getallen

-Multiplicatie is commutatief. Laat a en b twee gehele getallen zijn, het is waar dat: ab = ba, wat ook kan worden uitgedrukt als:

-Het neutrale element van de vermenigvuldiging is 1. Laat a een geheel getal zijn, dus a.1 = 1

-Elk geheel getal vermenigvuldigd met 0 is gelijk aan 0: a.0 = 0

De distributieve eigenschap

Vermenigvuldiging voldoet aan de distributieve eigenschap met betrekking tot optellen. Als a, b en c hele getallen zijn, dan:

een. (b + c) = ab + ac

Hier is een voorbeeld van hoe u deze eigenschap kunt toepassen:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Empowerment

-Als de basis positief is, is het resultaat van de operatie altijd positief.

-Als de basis negatief is en de exponent even is, is het resultaat positief. en als de exponent oneven is, is het resultaat negatief.

- Afdeling

Dezelfde tekenregels zijn van toepassing bij delen als bij vermenigvuldigen:

-Bij het delen van twee hele getallen van hetzelfde teken, is het resultaat altijd positief.

-Als twee gehele getallen met verschillende tekens worden gedeeld, is het quotiënt negatief.

Bijvoorbeeld:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Belangrijk : delen is niet commutatief, met andere woorden a ÷ b ≠ b ÷ a en zoals altijd is delen door 0 niet toegestaan.

- Empowerment

Laat a een geheel getal zijn en we willen het verhogen tot een exponent n, dan moeten we a n keer met zichzelf vermenigvuldigen, zoals hieronder getoond:

een ⁿ = aaaa… .. .a

Houd ook rekening met het volgende, rekening houdend met het feit dat n een natuurlijk getal is:

-Als a negatief is en n gelijk is, is het resultaat positief.

-Als a negatief is en n oneven, resulteert dit in een negatief getal.

-Als a positief is en n even of oneven, resulteert altijd een positief geheel getal.

-Elk geheel getal verheven tot 0 is gelijk aan 1: a ⁰ = 1

-Elk getal verheven tot 1 is gelijk aan het getal: a ¹ = a

Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we (–3) ⁴ willen vinden , daarvoor vermenigvuldigen we (-3) vier keer met zichzelf, zoals dit: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Een ander voorbeeld, ook met een negatief geheel getal is:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Product van krachten van gelijke basis

Stel dat twee machten van gelijke basis, als we ze vermenigvuldigen, we een andere macht krijgen met dezelfde basis, waarvan de exponent de som is van de gegeven exponenten:

een ⁿ een ^m = een ^{n + m}

Quotiënt van gelijke basiskrachten

Bij het delen van machten van gelijke basis, is het resultaat een macht met dezelfde basis, waarvan de exponent de aftrekking is van de gegeven exponenten:

een ⁿ ÷ een ^m = een ^{n - m}

Hier zijn twee voorbeelden die deze punten verduidelijken:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Voorbeelden

Laten we eenvoudige voorbeelden bekijken om deze regels toe te passen, waarbij we bedenken dat in het geval van positieve gehele getallen het teken kan worden weggelaten:

een) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4-25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een mier beweegt langs de getallenlijn in figuur 1. Beginnend bij het punt x = +3 maakt hij de volgende bewegingen:

-Verplaatst 7 eenheden naar rechts

-Nu breng je 5 eenheden terug naar links

- Loop nog 3 eenheden naar links.

-Hij gaat terug en verplaatst 4 eenheden naar rechts.

Op welk punt is de mier aan het einde van de tour?

Oplossing

Laten we de verplaatsingen D noemen. Als ze naar rechts staan, krijgen ze een positief teken en als ze links staan ​​een negatief teken. Op deze manier, en uitgaande van x = +3, hebben we:

-Eerste D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Tweede D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Derde D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Kamer D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Als de mier klaar is met lopen, staat hij in de positie x = +6. Dat wil zeggen, het is 6 eenheden rechts van 0 op de getallenlijn.

- Oefening 2

Los de volgende bewerking op:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Oplossing

Deze bewerking bevat groeperingstekens, dit zijn haakjes, vierkante haken en accolades. Bij het oplossen moet je eerst voor de haakjes zorgen, dan voor de haakjes en als laatste voor de beugels. Met andere woorden, je moet van binnen naar buiten werken.

In deze opgave vertegenwoordigt de punt een vermenigvuldiging, maar als er geen punt tussen een getal en een haakje of een ander symbool staat, wordt het ook als een product beschouwd.

Onder de resolutie, stap voor stap, dienen de kleuren als richtlijn om het resultaat te volgen van het verkleinen van de haakjes, de binnenste groeperingssymbolen:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Oefening 3

Los de eerste graadsvergelijking op:

12 + x = 30 + 3x

Oplossing

De termen zijn gegroepeerd met de onbekende aan de linkerkant van de gelijkheid en de numerieke termen aan de rechterkant:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referenties

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Nationale Universiteit van de Litoral.
2. Figuera, J. 2000. 7e klas wiskunde. CO-BO edities.
3. Hoffmann, J. 2005. Selectie van wiskundeonderwerpen. Monfort Publications.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. De hele cijfers. Hersteld van: Cimanet.uoc.edu.