NORMALE VECTOR: BEREKENING EN VOORBEELD - FYSIEK - 2026

De normaalvector is er een die de richting loodrecht op een bepaalde geometrische entiteit in kwestie definieert, bijvoorbeeld door een curve, een vlak of een oppervlak.

Het is een erg handig concept bij het positioneren van een bewegend deeltje of een oppervlak in de ruimte. In de volgende grafiek is het mogelijk om te zien hoe de normaalvector naar een willekeurige kromme C eruit ziet:

Figuur 1. Een curve C met de vector loodrecht op de curve bij punt P. Bron: Svjo

Beschouw een punt P op kromme C. Het punt kan een bewegend deeltje voorstellen dat langs een C-vormig pad beweegt De raaklijn aan de kromme bij punt P is in rood getekend.

Merk op dat vector T op elk punt raakt aan C, terwijl vector N loodrecht op T staat en naar het midden van een denkbeeldige cirkel wijst waarvan de boog een segment van C is. Vectoren worden in gedrukte tekst vetgedrukt weergegeven, want onderscheid ze van andere niet-vectorgrootheden.

De vector T geeft altijd aan waar het deeltje beweegt, daarom geeft het de snelheid van het deeltje aan. Aan de andere kant wijst de vector N altijd in de richting waarin het deeltje roteert, op deze manier geeft hij de concaviteit van de curve C aan.

Hoe de normale vector naar een vliegtuig te krijgen?

De normaalvector is niet noodzakelijk een eenheidsvector, dat wil zeggen een vector waarvan de modulus 1 is, maar als dat het geval is, wordt dit een normale eenheidsvector genoemd.

Figuur 2. Links een vlak P en de twee vectoren loodrecht op dat vlak. Rechts de eenheidsvectoren in de drie richtingen die de ruimte bepalen. Bron: Wikimedia Commons. Zie pagina voor auteur

Bij veel toepassingen is het nodig om de vector loodrecht op een vlak in plaats van een curve te kennen. Deze vector onthult de oriëntatie van dat vlak in de ruimte. Beschouw bijvoorbeeld het vlak P (geel) van de figuur:

Er zijn twee normaalvectoren op dit vlak: n ₁ en n ₂ . Het gebruik van het ene of het andere hangt af van de context waarin het vliegtuig wordt aangetroffen. Het verkrijgen van de normaalvector naar een vlak is heel eenvoudig als de vergelijking van het vlak bekend is:

Hier wordt de vector N uitgedrukt in termen van de loodrechte eenheidsvectoren i , j en k , gericht langs de drie richtingen die de xyz-ruimte bepalen, zie figuur 2 rechts.

De normale vector van het vectorproduct

Een zeer eenvoudige procedure om de normaalvector te vinden, maakt gebruik van de eigenschappen van het vectorproduct tussen twee vectoren.

Zoals bekend bepalen drie verschillende punten, niet collineair met elkaar, een vlak P. Nu is het mogelijk om twee vectoren u en v te verkrijgen die behoren tot dat vlak met deze drie punten.

Als de vectoren eenmaal zijn verkregen, is het vectorproduct u x v een bewerking waarvan het resultaat op zijn beurt een vector is, die de eigenschap heeft loodrecht te staan ​​op het vlak bepaald door u en v .

Deze vector is bekend en wordt aangeduid als N , en van daaruit zal het mogelijk zijn om de vergelijking van het vlak te bepalen dankzij de vergelijking die in de voorgaande sectie is aangegeven:

N = u x v

De volgende afbeelding illustreert de beschreven procedure:

Figuur 3. Met twee vectoren en hun vectorproduct of kruis wordt de vergelijking bepaald van het vlak dat de twee vectoren bevat. Bron: Wikimedia Commons. Geen machineleesbare auteur opgegeven. M. Romero Schmidtke veronderstelde (op basis van auteursrechtclaims).

Voorbeeld

Zoek de vergelijking van het vlak bepaald door de punten A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Oplossing

Deze oefening illustreert de hierboven beschreven procedure. Door 3 punten te hebben, wordt een ervan gekozen als de gemeenschappelijke oorsprong van twee vectoren die behoren tot het vlak dat door deze punten wordt gedefinieerd. Punt A wordt bijvoorbeeld ingesteld als de oorsprong en vectoren AB en AC worden geconstrueerd .

Vector AB is de vector waarvan de oorsprong punt A is en het eindpunt punt B. De coördinaten van vector AB worden bepaald door respectievelijk de coördinaten van B af te trekken van de coördinaten van A:

We gaan op dezelfde manier te werk om de vector AC te vinden :

Berekening van het vectorproduct

Er zijn verschillende procedures om het kruisproduct tussen twee vectoren te vinden. In dit voorbeeld wordt een geheugensteuntje gebruikt dat de volgende afbeelding gebruikt om de vectorproducten tussen de eenheidsvectoren i , j en k te vinden:

Figuur 4. Grafiek om het vectorproduct tussen de eenheidsvectoren te bepalen. Bron: zelf gemaakt.

Om te beginnen is het goed om te onthouden dat de vectorproducten tussen parallelle vectoren nul zijn, dus:

ik x ik = 0; j x j = 0; k x k = 0

En aangezien het vectorproduct een andere vector is die loodrecht op de deelnemende vectoren staat en in de richting van de rode pijl beweegt, hebben we:

Als je in de tegenovergestelde richting van de pijl moet bewegen, voeg dan een teken (-) toe:

In totaal is het mogelijk om 9 vectorproducten te maken met de eenheidsvectoren i , j en k , waarvan er 3 nul zullen zijn.

AB x AC = (-2 ik + 0 j -2 k ) X (2 ik + j -2 k ) = -4 ( ik X ik ) -2 ( ik X j ) +4 ( ik X k ) +0 ( j X ik ) + 0 ( j X j ) - 0 ( j X k ) - 4 ( k X ik ) -2 ( k X j ) + 4 ( k X k ) = -2 k -4j -4 j +2 ik = 2 ik -8 j -2 k

Vergelijking van het vliegtuig

De vector N is bepaald door het eerder berekende vectorproduct:

N = 2 ik -8 j -2 k

Daarom is a = 2, b = -8, c = -2, het gezochte vlak is:

De waarde van d moet nog worden bepaald. Dit is gemakkelijk als de waarden van een van de beschikbare punten A, B of C worden vervangen in de vergelijking van het vlak. Bijvoorbeeld C kiezen:

x = 4; y = 2; z = 1

Stoffelijk overschot:

Kort gezegd is de gezochte kaart:

De nieuwsgierige lezer kan zich afvragen of hetzelfde resultaat zou zijn verkregen als in plaats van AB x AC was gekozen voor AC x AB. Het antwoord is ja, het vlak bepaald door deze drie punten is uniek en heeft twee normale vectoren, zoals weergegeven in figuur 2.

Wat betreft het punt dat is geselecteerd als de oorsprong van de vectoren, is het geen probleem om een ​​van de andere twee te kiezen.

Referenties

1. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Het normale vinden in een vliegtuig. Hersteld van: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Calculus en analytische meetkunde. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Lijnen en vlakken in R 3. Hersteld van: math.harvard.edu.
5. Normale vector. Opgehaald van mathworld.wolfram.com.