ASSOCIATIEVE EIGENSCHAP: OPTELLEN, VERMENIGVULDIGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De associatieve eigenschap van optellen vertegenwoordigt het associatieve karakter van de optelbewerking in verschillende wiskundige verzamelingen. Daarin zijn drie (of meer) elementen van genoemde sets gerelateerd, a, b en c genoemd, zodat het altijd waar is:

een + (b + c) = (a + b) + c

Op deze manier wordt gegarandeerd dat, ongeacht de manier van groeperen om de bewerking uit te voeren, het resultaat hetzelfde is.

Figuur 1. We gebruiken de associatieve eigenschap van optellen vaak bij rekenkundige en algebraïsche bewerkingen. (Tekening: freepik Compositie: F. Zapata)

Maar er moet worden opgemerkt dat de associatieve eigenschap niet synoniem is met de commutatieve eigenschap. Dat wil zeggen, we weten dat de volgorde van de toevoegingen de som niet verandert of dat de volgorde van de factoren het product niet verandert. Dus voor de som kan het als volgt worden geschreven: a + b = b + a.

In de associatieve eigenschap is het echter anders, aangezien de volgorde van de toe te voegen elementen behouden blijft en welke wijzigingen de bewerking is die als eerste wordt uitgevoerd. Wat betekent dat het toevoegen van eerste (b + c) en het toevoegen van a aan dit resultaat er niet toe doet dan te beginnen met het toevoegen van a met door aan het resultaat toe te voegen c.

Veel belangrijke bewerkingen zoals optellen zijn associatief, maar niet allemaal. Bij het aftrekken van reële getallen komt het bijvoorbeeld voor dat:

een - (b - c) ≠ (a - b) - c

Als a = 2, b = 3, c = 1, dan:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

Net als bij optellen, stelt de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging dat:

een ˟ (b ˟ c) = (een ˟ b) ˟ c

In het geval van de reeks reële getallen is het gemakkelijk te verifiëren dat dit altijd het geval is. Als we bijvoorbeeld de waarden a = 2, b = 3, c = 1 gebruiken, hebben we:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reële getallen vervullen de associatieve eigenschap van zowel optellen als vermenigvuldigen. Aan de andere kant is in een andere set, zoals die van vectoren, de som associatief, maar het kruisproduct of vectorproduct niet.

Toepassingen van de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

Een voordeel van bewerkingen waarbij aan de associatieve eigenschap wordt voldaan, is dat ze op de meest gemakkelijke manier kunnen groeperen. Dit maakt het oplossen veel gemakkelijker.

Stel dat er in een kleine bibliotheek 3 planken zijn met elk 5 planken. In elke plank zijn er 8 boeken. Hoeveel boeken zijn er in totaal?

We kunnen de bewerking als volgt uitvoeren: totaal aantal boeken = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 boeken.

Of zo: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 boeken.

Figuur 2. Een toepassing van de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging is om het aantal boeken op elke plank te berekenen. Afbeelding gemaakt door F. Zapata.

Voorbeelden

-In sets van natuurlijke, gehele, rationele, reële en complexe getallen wordt aan de associatieve eigenschap van optellen en vermenigvuldigen voldaan.

Figuur 3. Voor reële getallen is aan de associatieve eigenschap van optellen voldaan. Bron: Wikimedia Commons.

-Voor polynomen zijn ze ook van toepassing in deze operaties.

-In het geval van aftrekken, delen en machtsverheffen, geldt de associatieve eigenschap niet voor reële getallen of veeltermen.

-In het geval van matrices is de associatieve eigenschap vervuld voor optellen en vermenigvuldigen, hoewel in het laatste geval niet aan commutativiteit is voldaan. Dit betekent dat, gegeven de matrices A, B en C, het waar is dat:

(EEN x B) x C = EEN x (B x C)

Maar … A x B ≠ B x A

De associatieve eigenschap in vectoren

Vectoren vormen een andere set dan reële getallen of complexe getallen. De bewerkingen die zijn gedefinieerd voor de set vectoren zijn enigszins verschillend: er zijn optellen, aftrekken en drie soorten producten.

De som van vectoren vervult de associatieve eigenschap, evenals getallen, polynomen en matrices. Wat betreft de scalaire producten, scalair voor vector en kruis die tussen vectoren worden gemaakt, deze laatste voldoet er niet aan, maar het scalaire product, dat een ander soort bewerking tussen vectoren is, voldoet eraan, rekening houdend met het volgende:

-Het product van een scalair en een vector resulteert in een vector.

-En wanneer twee vectoren scalair worden vermenigvuldigd, resulteert een scalair.

Daarom, gegeven de vectoren v , u en w, en bovendien een scalaire λ, is het mogelijk om te schrijven:

- Som van vectoren: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Scalair product: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Dit laatste is mogelijk dankzij het feit dat v • u een scalair is en λ v een vector.

Echter:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Factorisatie van polynomen door termen te groeperen

Deze applicatie is erg interessant, omdat zoals eerder gezegd de associatieve eigenschap helpt om bepaalde problemen op te lossen. De som van monomialen is associatief en dit kan worden gebruikt voor factoring wanneer een voor de hand liggende gemeenschappelijke factor niet op het eerste gezicht verschijnt.

Stel dat u wordt gevraagd om te factoreren: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Dit polynoom heeft geen gemeenschappelijke factor, maar laten we eens kijken wat er gebeurt als het als volgt gegroepeerd is:

Het eerste haakje heeft een gemeenschappelijke factor van as ² :

In de tweede is de gemeenschappelijke factor 3:

Opdrachten

- Oefening 1

Een schoolgebouw heeft 4 verdiepingen en elk heeft 12 klaslokalen met daarin 30 bureaus. Hoeveel bureaus heeft de school in totaal?

Oplossing

Dit probleem wordt opgelost door de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen, laten we eens kijken:

Totaal aantal bureaus = 4 verdiepingen x 12 klaslokalen / verdieping x 30 bureaus / klaslokaal = (4 x 12) x 30 bureaus = 48 x 30 = 1440 bureaus.

Of liever: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 bureaus

- Oefening 2

Gegeven de polynomen:

A (x) = 5x ³ + 2 x ² -7x de normale weergavesnelheid + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Pas de associatieve eigenschap van optellen toe om A (x) + B (x) + C (x) te vinden.

Oplossing

U kunt de eerste twee groeperen en de derde aan het resultaat toevoegen:

EEN (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Onmiddellijk wordt het polynoom C (x) toegevoegd:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

De lezer kan verifiëren dat het resultaat identiek is als het wordt opgelost door de optie A (x) +.

Referenties

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Wiskunde is leuk Commutatieve, associatieve en distributieve wetten. Hersteld van: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definitie van associatieve eigenschap. Hersteld van: mathwarehouse.com.
4. Wetenschappelijk. Associatieve en commutatieve eigenschap van optellen en vermenigvuldigen (met voorbeelden). Hersteld van: sciencing.com.
5. Wikipedia. Associatief eigendom. Hersteld van: en.wikipedia.org.