MULTIPLICATIEF PRINCIPE: TELTECHNIEKEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

Het multiplicatieve principe is een techniek die wordt gebruikt om telproblemen op te lossen om de oplossing te vinden zonder de elementen ervan op te sommen. Het is ook bekend als het fundamentele principe van combinatorische analyse; het is gebaseerd op opeenvolgende vermenigvuldiging om te bepalen hoe een gebeurtenis kan plaatsvinden.

Dit principe stelt dat, als een beslissing (d ₁ ) op n manieren kan worden genomen en een andere beslissing (d ₂ ) kan worden genomen op m manieren, het totale aantal manieren waarop beslissingen d ₁ en d ₂ kunnen worden genomen gelijk zal zijn. vermenigvuldigen van n _* m. Volgens het principe wordt elke beslissing na elkaar genomen: aantal wegen = N _{1 *} N ₂ … _* N _x wegen.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Paula is van plan om met haar vriendinnen naar de film te gaan, en om de kleren te kiezen die ze zal dragen, scheid ik 3 blouses en 2 rokken. Op hoeveel manieren kan Paula zich kleden?

Oplossing

In dit geval moet Paula twee beslissingen nemen:

d ₁ = Kies uit 3 blouses = n

d ₂ = Kies tussen 2 rokken = m

Op die manier heeft Paula n _* m beslissingen te nemen of andere manieren van aankleden.

n _* m = 3 _* 2 = 6 beslissingen.

Het multiplicatieve principe komt voort uit de techniek van het boomdiagram, dat een diagram is dat alle mogelijke resultaten relateert, zodat elk een eindig aantal keren kan voorkomen.

Voorbeeld 2

Mario had erg veel dorst, dus ging hij naar de bakkerij om sap te kopen. Luis zorgt voor hem en vertelt hem dat het in twee maten verkrijgbaar is: groot en klein; en vier smaken: appel, sinaasappel, citroen en druif. Op hoeveel manieren kan Mario het sap kiezen?

Oplossing

In het diagram is te zien dat Mario 8 verschillende manieren heeft om het sap te kiezen en dat, net als bij het multiplicatieve principe, dit resultaat wordt verkregen door n _* m te vermenigvuldigen . Het enige verschil is dat je via dit diagram kunt zien hoe Mario het sap kiest.

Aan de andere kant, als het aantal mogelijke uitkomsten erg groot is, is het praktischer om het multiplicatieve principe te gebruiken.

Teltechnieken

Teltechnieken zijn methoden die worden gebruikt om een ​​directe telling te doen, en dus het aantal mogelijke arrangementen te kennen dat de elementen van een bepaalde set kunnen hebben. Deze technieken zijn gebaseerd op verschillende principes:

Toevoeging principe

Dit principe stelt dat, als twee gebeurtenissen m en n niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, het aantal manieren waarop de eerste of tweede gebeurtenis kan plaatsvinden de som is van m + n:

Aantal vormen = m + n… + x verschillende vormen.

Voorbeeld

Antonio wil een reis maken, maar besluit niet naar welke bestemming; bij het Southern Tourism Agency bieden ze je een promotie aan om naar New York of Las Vegas te reizen, terwijl het Eastern Tourism Agency je aanbeveelt om naar Frankrijk, Italië of Spanje te reizen. Hoeveel verschillende reisalternatieven biedt Antonio jou?

Oplossing

Bij het Southern Tourism Agency heeft Antonio 2 alternatieven (New York of Las Vegas), bij het Eastern Tourism Agency heeft hij 3 opties (Frankrijk, Italië of Spanje). Het aantal verschillende alternatieven is:

Aantal alternatieven = m + n = 2 + 3 = 5 alternatieven.

Permutatieprincipe

Het gaat over het specifiek ordenen van alle of enkele elementen waaruit een set bestaat, om het tellen van alle mogelijke arrangementen die met de elementen kunnen worden gemaakt te vergemakkelijken.

Het aantal permutaties van n verschillende elementen, allemaal tegelijk genomen, wordt weergegeven als:

_n P _n = n!

Voorbeeld

Vier vrienden willen een foto maken en willen weten op hoeveel verschillende manieren ze kunnen worden geregeld.

Oplossing

U wilt de set weten van alle mogelijke manieren waarop de 4 mensen kunnen worden gepositioneerd om de foto te maken. U moet dus:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 verschillende vormen.

Als het aantal permutaties van n beschikbare elementen wordt ingenomen door delen van een set die bestaat uit r elementen, wordt dit weergegeven als:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Voorbeeld

In een klaslokaal zijn er 10 zitplaatsen. Op hoeveel verschillende manieren kunnen studenten de posities invullen als er 4 studenten aanwezig zijn?

Oplossing

We hebben dat het totale aantal stoelen van de stoelen 10 is, en hiervan zullen er slechts 4 worden gebruikt. De gegeven formule wordt toegepast om het aantal permutaties te bepalen:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 manieren om de posities in te vullen.

Er zijn gevallen waarin enkele van de beschikbare elementen van een set worden herhaald (ze zijn hetzelfde). Om het aantal arrays te berekenen dat alle elementen tegelijkertijd neemt, wordt de volgende formule gebruikt:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Voorbeeld

Hoeveel verschillende vierletterwoorden kunnen uit het woord "wolf" worden gevormd?

Oplossing

In dit geval zijn er 4 elementen (letters) waarvan er twee exact hetzelfde zijn. Door de gegeven formule toe te passen, is bekend hoeveel verschillende woorden resulteren in:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 verschillende woorden.

Combinatieprincipe

Het gaat over het rangschikken van alle of enkele elementen waaruit een set bestaat, zonder een specifieke volgorde. Als u bijvoorbeeld een XYZ-arrangement heeft, zal deze identiek zijn aan onder andere de ZXY-, YZX-, ​​ZYX-arrangementen; dit komt doordat, ondanks dat ze niet in dezelfde volgorde staan, de elementen van elke opstelling hetzelfde zijn.

Wanneer sommige elementen (r) uit de verzameling (n) worden gehaald, wordt het combinatieprincipe gegeven door de volgende formule:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Voorbeeld

In een winkel verkopen ze 5 verschillende soorten chocolade. Op hoeveel verschillende manieren kunnen 4 chocolaatjes worden gekozen?

Oplossing

In dit geval moeten er 4 chocolaatjes worden gekozen uit de 5 soorten die ze in de winkel verkopen. De volgorde waarin ze worden gekozen, doet er niet toe en bovendien kan een soort chocolade meer dan twee keer worden gekozen. Als u de formule toepast, moet u:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 verschillende manieren om 4 chocolaatjes te kiezen.

Als alle elementen (r) van de verzameling (n) zijn genomen, wordt het combinatieprincipe gegeven door de volgende formule:

_n C _{n =} n!

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Er is een honkbalteam met 14 leden. Op hoeveel manieren kunnen 5 posities aan een spel worden toegewezen?

Oplossing

De set bestaat uit 14 elementen en je wilt 5 specifieke posities toewijzen; dat wil zeggen: orde is belangrijk. De permutatieformule wordt toegepast waar n beschikbare elementen worden ingenomen door delen van een set die wordt gevormd door r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Waarbij n = 14 en r = 5. Het wordt vervangen in de formule:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 manieren om de 9 spelposities toe te wijzen.

Oefening 2

Als een gezin van 9 op reis gaat en hun kaartjes met opeenvolgende zitplaatsen koopt, op hoeveel verschillende manieren kunnen ze dan gaan zitten?

Oplossing

Het zijn ongeveer 9 elementen die achtereenvolgens 9 stoelen zullen bezetten.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362880 verschillende manieren van zitten.

Referenties

1. Hopkins, B. (2009). Bronnen voor het lesgeven in discrete wiskunde: klaslokaalprojecten, geschiedenismodules en artikelen.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Discrete wiskunde. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Eindige en discrete wiskundige probleemoplosser. Editors van Research & Education Association.
4. Padró, FC (2001). Discrete wiskunde. Politèc. van Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Wiskunde voor toegepaste wetenschappen. Reverte.