SINUSGOLF: KENMERKEN, ONDERDELEN, BEREKENING, VOORBEELDEN - FYSIEK - 2025

De sinusgolven zijn golfpatronen die wiskundig kunnen worden beschreven door de sinus- en cosinusfuncties. Ze beschrijven nauwkeurig natuurlijke gebeurtenissen en in de tijd variërende signalen, zoals de spanningen die worden gegenereerd door energiecentrales en vervolgens worden gebruikt in huizen, industrieën en straten.

Elektrische elementen zoals weerstanden, condensatoren en inductoren, die zijn verbonden met sinusvormige spanningsingangen, produceren sinusvormige reacties. De wiskunde die in de beschrijving wordt gebruikt, is relatief eenvoudig en grondig bestudeerd.

Figuur 1. Een sinusgolf met enkele van zijn belangrijkste ruimtelijke kenmerken: amplitude, golflengte en fase. Bron: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: Kraaiennest Oorspronkelijk gemaakt als een cosinusgolf, door gebruiker: Pelegs, als bestand: Wave_new.svgderivatief werk: Dave3457

De wiskunde van sinus- of sinusvormige golven, zoals ze ook worden genoemd, is die van de sinus- en cosinusfuncties.

Dit zijn repetitieve functies, wat periodiciteit betekent. Beiden hebben dezelfde vorm, behalve dat de cosinus een kwartcyclus naar links is verschoven ten opzichte van de sinus. Het is te zien in figuur 2:

Figuur 2. De functies sin x en cos x zijn ten opzichte van elkaar verschoven. Bron: F. Zapata.

Dan is cos x = sin (x + π / 2). Met behulp van deze functies wordt een sinusgolf weergegeven. Om dit te doen, wordt de betreffende magnitude op de verticale as geplaatst, terwijl de tijd zich op de horizontale as bevindt.

Bovenstaande grafiek laat ook de repetitieve kwaliteit van deze functies zien: het patroon herhaalt zich continu en regelmatig. Dankzij deze functies is het mogelijk om sinusvormige spanningen en stromen die in de tijd variëren uit te drukken, door een v of i te plaatsen om spanning of stroom weer te geven op de verticale as in plaats van de y, en op de horizontale as in plaats van de x, de tijd is geplaatst.

De meest algemene manier om een ​​sinusgolf uit te drukken is:

Vervolgens gaan we dieper in op de betekenis van deze uitdrukking, waarbij we enkele basistermen definiëren om de sinusgolf te karakteriseren.

Onderdelen

Periode, amplitude, frequentie, cyclus en fase zijn begrippen die worden toegepast op periodieke of repetitieve golven en zijn belangrijk om ze goed te karakteriseren.

Periode

Een periodieke functie zoals de genoemde, die met regelmatige tussenpozen wordt herhaald, voldoet altijd aan de volgende eigenschap:

Waar T een grootheid is die de periode van de golf wordt genoemd, en het is de tijd die nodig is om een ​​fase van de golf te herhalen. In SI-eenheden wordt de periode gemeten in seconden.

Amplitude

Volgens de algemene uitdrukking van de sinusgolf v (t) = v _m sin (ωt + φ), is v _m de maximale waarde van de functie, die optreedt wanneer sin (ωt + φ) = 1 (onthoud dat de grootste De waarde die zowel de sinus- als de cosinusfunctie toelaten is 1). Deze maximale waarde is precies de amplitude van de golf, ook wel piekamplitude genoemd.

In het geval van een spanning wordt deze gemeten in volt en als het een stroom is, wordt deze in ampère gemeten. In de weergegeven sinusgolf is de amplitude constant, maar bij andere soorten golven kan de amplitude variëren.

Fiets

Het is een deel van de golf in een periode. In de bovenstaande figuur werd de periode genomen door deze te meten vanaf twee opeenvolgende pieken of pieken, maar het kan beginnen te worden gemeten vanaf andere punten op de golf, zolang ze beperkt zijn door een periode.

Bekijk in de volgende afbeelding hoe een fiets van het ene punt naar het andere gaat met dezelfde waarde (hoogte) en dezelfde helling (helling).

Figuur 3. Bij een sinusgolf loopt een cyclus altijd over een periode. Het belangrijkste is dat het startpunt en het einde zich op dezelfde hoogte bevinden. Bron: Boylestad. Inleiding tot circuitanalyse. Pearson.

Frequentie

Het is het aantal cycli dat optreedt in 1 seconde en is gekoppeld aan het argument van de sinusfunctie: ωt. Frequentie wordt aangeduid als f en wordt gemeten in cycli per seconde of Hertz (Hz) in het internationale systeem.

De frequentie is het omgekeerde bedrag van de periode, dus:

Terwijl de frequentie f gerelateerd is aan de hoekfrequentie ω (pulsatie) als:

Hoekfrequentie wordt uitgedrukt in radialen / seconde in het internationale systeem, maar radialen zijn dimensieloos, dus de frequentie f en de hoekfrequentie ω hebben dezelfde afmetingen. Merk op dat het product ωt als resultaat radialen geeft, en hiermee moet rekening worden gehouden bij het gebruik van de rekenmachine om de waarde van sin ωt te verkrijgen.

Fase

Het komt overeen met de horizontale verplaatsing die door de golf wordt ervaren, met betrekking tot een tijd die als referentie wordt genomen.

In de volgende afbeelding loopt de groene golf voor op de rode golf op tijd t _d . Twee sinusgolven zijn in fase wanneer hun frequentie en fase hetzelfde zijn. Als de fase verschilt, zijn ze uit fase. De golven in figuur 2 zijn ook uit fase.

Figuur 4. Uit-fase sinusgolven. Bron: Wikimedia Commons. Geen machineleesbare auteur opgegeven. Kanjo ~ commonswiki aangenomen (op basis van auteursrechtclaims). .

Als de frequentie van de golven anders is, zullen ze in fase zijn wanneer de fase ωt + φ op bepaalde momenten in beide golven hetzelfde is.

Sinusgolfgenerator

Er zijn veel manieren om een ​​sinusgolfsignaal te krijgen. Ze zijn voorzien van zelfgemaakte stopcontacten.

Faraday's wetshandhaving

Een vrij eenvoudige manier om een ​​sinusvormig signaal te verkrijgen, is door de wet van Faraday te gebruiken. Dit geeft aan dat in een gesloten stroomcircuit, bijvoorbeeld een lus, geplaatst in het midden van een magnetisch veld, een geïnduceerde stroom wordt gegenereerd wanneer de magnetische veldflux erdoorheen verandert in de tijd. Bijgevolg wordt ook een geïnduceerde spanning of geïnduceerde emf gegenereerd.

De flux van het magnetische veld varieert als de lus met constante hoeksnelheid wordt geroteerd in het midden van het veld dat wordt gecreëerd tussen de N- en S-polen van de magneet die in de afbeelding wordt getoond.

Figuur 5. Golfgenerator gebaseerd op de inductiewet van Faraday. Bron: Bron: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

De beperking van deze inrichting is de afhankelijkheid van de spanning die wordt verkregen met de rotatiefrequentie van de lus, zoals in meer detail zal worden gezien in Voorbeeld 1 van de Voorbeeldensectie hieronder.

Wien Oscillator

Een andere manier om een ​​sinusgolf te verkrijgen, dit keer met elektronica, is via de Wien-oscillator, waarvoor een operationele versterker nodig is in verband met weerstanden en condensatoren. Op deze manier worden sinusgolven verkregen waarvan de frequentie en amplitude de gebruiker naar wens kan aanpassen door middel van schakelaars.

De figuur toont een sinusvormige signaalgenerator, waarmee ook andere golfvormen kunnen worden verkregen: onder andere driehoekig en vierkant.

Figuur 6. Een signaalgenerator. Bron: Bron: Wikimedia Commons. Ocgreg op Engelse Wikipedia.

Hoe sinusgolven berekenen?

Om berekeningen met sinusgolven uit te voeren, wordt een wetenschappelijke rekenmachine gebruikt die de trigonometrische functies sinus en cosinus heeft, evenals hun inverse. Deze rekenmachines hebben modi om de hoeken in graden of in radialen te bewerken, en het is gemakkelijk om van de ene vorm naar de andere te converteren. De conversiefactor is:

Afhankelijk van het rekenmachinemodel moet u navigeren met de MODE-toets om de optie DEGREE te vinden, waarmee u de trigonometrische functies in graden kunt bewerken, of de optie RAD om de hoeken rechtstreeks in radialen te bewerken.

Bijvoorbeeld sin 25º = 0,4226 met de rekenmachine ingesteld op DEG-modus. Het omzetten van 25º naar radialen geeft 0,4363 radialen en sin 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

De oscilloscoop

De oscilloscoop is een apparaat waarmee zowel gelijkspanning als wisselspanning en stroomsignalen op een scherm kunnen worden weergegeven. Het heeft knoppen om de grootte van het signaal op een raster aan te passen, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

Figuur 7. Een sinusvormig signaal gemeten met een oscilloscoop. Bron: Boylestad.

Door het beeld van de oscilloscoop en door de gevoeligheidsaanpassing in beide assen te kennen, is het mogelijk om de golfparameters te berekenen die eerder werden beschreven.

De figuur toont het sinusvormige spanningssignaal als functie van de tijd, waarbij elke deling op de verticale as 50 millivolt waard is, terwijl op de horizontale as elke deling 10 microseconden waard is.

De piek-tot-piek-amplitude wordt gevonden door de divisies te tellen die de golf verticaal bedekt, met behulp van de rode pijl:

5 delingen worden geteld met behulp van de rode pijl, dus de piek-piekspanning is:

De piekspanning V _p wordt gemeten vanaf de horizontale as, waarbij 125 mV.

Om de periode te vinden, wordt een cyclus gemeten, bijvoorbeeld degene die wordt afgebakend door de groene pijl, die 3,2 divisies beslaat, dan is de periode:

Voorbeelden

voorbeeld 1

Laat voor de generator in figuur 3 zien aan de hand van de wet van Faraday dat de geïnduceerde spanning sinusvormig is. Stel dat de lus bestaat uit N windingen in plaats van slechts één, allemaal met hetzelfde gebied A en roteert met constante hoeksnelheid ω in het midden van een uniform magnetisch veld B.

Oplossing

De wet van Faraday zegt dat de geïnduceerde emf ε is:

Waar Φ _B de magnetische veldflux is, die variabel zal zijn, omdat deze afhangt van hoe de lus op elk moment aan het veld wordt blootgesteld. Het minteken beschrijft eenvoudig het feit dat deze emf zich verzet tegen de oorzaak die het veroorzaakt (de wet van Lenz). De stroom door een enkele draai is:

θ is de hoek die de vector loodrecht op het vlak van de lus vormt met het B- veld naarmate de rotatie vordert (zie figuur), deze hoek varieert natuurlijk als:

Zodat: Φ _B = BAcos θ = BAcos ωt. Nu hoeven we deze uitdrukking alleen nog af te leiden met betrekking tot tijd en hiermee verkrijgen we de geïnduceerde emf:

Omdat het veld B uniform is en het gebied van de lus niet varieert, laten ze buiten de afgeleide:

Een lus heeft een oppervlakte van 0,100 m ² en draait met 60,0 omw / s, met zijn rotatieas loodrecht op een uniform magnetisch veld van 0,200 T. Wetende dat de spoel 1000 windingen heeft, zoek dan: a) De maximale emf die wordt gegenereerd, b ) De oriëntatie van de spoel ten opzichte van het magnetische veld wanneer de maximale geïnduceerde emf optreedt.

Figuur 8. Een lus van N windingen roteert in het midden van een uniform magnetisch veld en genereert een sinusvormig signaal. Bron: R. Serway, Physics for Science and Engineering. Deel 2. Cengage Learning.

Oplossing

a) De maximale emf is ε _max = ωNBA

Voordat u verdergaat met het vervangen van de waarden, moet de frequentie van 60 omw / s worden doorgegeven aan de International System-eenheden. Het is bekend dat 1 omwenteling gelijk staat aan één omwenteling of 2p radialen:

60,0 omw / s = 120p radialen / s

ε _max = 120p radialen x 1000 windingen x 0,200 T x 0,100 m ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Wanneer deze waarde optreedt sin ωt = 1 dus:

ωt = θ = 90º,

In dit geval is het vlak van de spiraal evenwijdig aan B , zodat de vector loodrecht op dat vlak 90º vormt met het veld. Dit gebeurt wanneer de zwarte vector in figuur 8 loodrecht staat op de groene vector die het magnetische veld vertegenwoordigt.

Referenties

1. Boylestad, R. 2011. Inleiding tot circuitanalyse. 12e. Editie. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetisme. Physics Series for Science and Engineering. Deel 6. Bewerkt door D. Figueroa. Simon Bolivar Universiteit. 115 en 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Physics Laboratory 2. Redactioneel Equinoccio. 03-1 en 14-1.
4. Sinusgolven. Hersteld van: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Physics for Science and Engineering. Deel 2. Cengage Learning. 881-884