HOMOTHECY: EIGENSCHAPPEN, TYPEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De dilatatie is een geometrische verandering in het vlak waarbij, vanaf een vast punt genaamd centrum (O), de afstanden worden vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke factor. Op deze manier komt elk punt P overeen met een ander punt P 'product van de transformatie, en deze zijn uitgelijnd met punt O.

Homothecy is dus een overeenkomst tussen twee geometrische figuren, waarbij de getransformeerde punten homothetisch worden genoemd, en deze zijn uitgelijnd met een vast punt en met segmenten evenwijdig aan elkaar.

Homothecy

Homothecy is een transformatie die geen congruent beeld heeft, omdat uit een figuur een of meer figuren groter of kleiner dan de oorspronkelijke figuur zullen worden verkregen; dat wil zeggen, die homotheek transformeert een polygoon in een andere soortgelijke.

Om aan de homotie te voldoen, moeten punt tot punt en lijn tot lijn overeenkomen, zodat de paren homologe punten op één lijn liggen met een derde vast punt, dat het centrum van de homotie is.

Evenzo moeten de paren lijnen die hen verbinden parallel zijn. De relatie tussen dergelijke segmenten is een constante genaamd de homothecy ratio (k); zodanig dat homothecy kan worden gedefinieerd als:

Om dit type transformatie uit te voeren, beginnen we met het kiezen van een willekeurig punt, dat het centrum van de homotie zal zijn.

Vanaf dit punt worden lijnsegmenten getekend voor elk hoekpunt van de te transformeren figuur. De schaal waarop de reproductie van de nieuwe figuur wordt gemaakt, wordt gegeven door de verhouding van homothecy (k).

Eigendommen

Een van de belangrijkste eigenschappen van homothecy is dat, vanwege de homothetische reden (k), alle homothetische figuren vergelijkbaar zijn. Onder andere uitstekende eigenschappen zijn de volgende:

- Het centrum van homothecia (O) is het enige dubbele punt en dit wordt in zichzelf getransformeerd; dat wil zeggen, het varieert niet.

- De lijnen die door het midden gaan, worden in zichzelf getransformeerd (ze zijn dubbel), maar de punten waaruit het bestaat zijn niet dubbel.

- De lijnen die niet door het centrum gaan, worden omgezet in parallelle lijnen; op deze manier blijven de homothecy-hoeken hetzelfde.

- Het beeld van een segment met een homotie van centrum O en verhouding k, is een segment parallel hieraan en heeft k maal de lengte. Zoals bijvoorbeeld te zien is in de volgende afbeelding, zal een segment AB door homothecy resulteren in een ander segment A'B ', zodat AB parallel zal zijn aan A'B' en de k zal zijn:

- Homothetische hoeken zijn congruent; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Daarom is het beeld van een hoek een hoek met dezelfde amplitude.

Aan de andere kant hebben we dat de homothecy varieert als een functie van de waarde van zijn ratio (k), en de volgende gevallen kunnen voorkomen:

- Als de constante k = 1, zijn alle punten vast omdat ze zichzelf transformeren. De homothetische figuur valt dus samen met de originele en de transformatie zal de identiteitsfunctie worden genoemd.

- Als k ≠ 1, is het enige vaste punt het midden van de homothetische (O).

- Als k = -1, wordt de homotie een centrale symmetrie (C); dat wil zeggen dat er een rotatie rond C optreedt, onder een hoek van 180 ^of .

- Als k> 1, is de grootte van de getransformeerde figuur groter dan de grootte van het origineel.

- Als 0 <k <1, zal de grootte van de getransformeerde figuur kleiner zijn dan het origineel.

- Als -1 <k <0, zal de grootte van de getransformeerde figuur kleiner zijn en zal deze worden geroteerd ten opzichte van het origineel.

- Als k <-1, is de grootte van de getransformeerde figuur groter en wordt deze geroteerd ten opzichte van het origineel.

Soorten

De homotheek kan ook in twee typen worden ingedeeld, afhankelijk van de waarde van de verhouding (k):

Directe homotheek

Het treedt op als de constante k> 0; dat wil zeggen, de homothetische punten bevinden zich aan dezelfde kant met betrekking tot het midden:

De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen de directe homothetische figuren zal altijd positief zijn.

Omgekeerde homotheek

Het treedt op als de constante k <0; dat wil zeggen, de beginpunten en hun homothetica bevinden zich aan de tegenovergestelde uiteinden ten opzichte van het midden van het homotheticum, maar zijn daarmee uitgelijnd. Het midden bevindt zich tussen de twee figuren:

De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen inverse homothetische figuren zal altijd negatief zijn.

Samenstelling

Wanneer meerdere bewegingen achtereenvolgens worden uitgevoerd totdat een figuur wordt verkregen die gelijk is aan het origineel, ontstaat een compositie van bewegingen. De compositie van meerdere delen is ook een beweging.

De compositie tussen twee homotheciën resulteert in een nieuwe homotheek; dat wil zeggen, er is een product van homothetieën waarbij het centrum zal worden uitgelijnd met het centrum van de twee oorspronkelijke transformaties, en de verhouding (k) is het product van de twee verhoudingen.

Dus in de samenstelling twee homotheties H ₁ (O ₁ , k ₁ ) en H ₂ (O ₂ , k ₂ ), de vermenigvuldiging van de verhoudingen: k ₁ xk ₂ = 1 leidt tot een homothecy van verhouding k ₃ = k ₁ x k ₂ . Het centrum van deze nieuwe homotheek (O ₃ ) komt op de lijn O ₁ O ₂ .

Homothecia komt overeen met een vlakke en onomkeerbare verandering; Als er twee homothetieën worden toegepast die hetzelfde centrum en dezelfde verhouding hebben, maar met een ander teken, wordt het oorspronkelijke cijfer verkregen.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld

Pas een homotie toe op de gegeven polygoon van centrum (O), gelegen op 5 cm van punt A en waarvan de verhouding k = 0,7 is.

Oplossing

Elk punt wordt gekozen als het centrum van de homotie, en vanaf dit punt worden stralen door de hoekpunten van de figuur getrokken:

De afstand van centrum (O) tot punt A is OA = 5; Hiermee kan de afstand van één van de homothetische punten (OA ') worden bepaald, ook wetende dat k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Het proces kan voor elk hoekpunt worden uitgevoerd, of de homothetische polygoon kan ook worden getekend, denk eraan dat de twee polygonen evenwijdige zijden hebben:

Ten slotte ziet de transformatie er als volgt uit:

Tweede voorbeeld

Pas een homotie toe op de gegeven veelhoek met middelpunt (O), gelegen op 8,5 cm van punt C en waarvan de y-verhouding k = -2.

Oplossing

De afstand van het centrum (O) tot punt C is OC = 8,5; Met deze gegevens is het mogelijk om de afstand van een van de homothetische punten (OC ') te bepalen, wetende dat k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Na het tekenen van de segmenten van de hoekpunten van de getransformeerde veelhoek, hebben we dat de beginpunten en hun homothetica zich aan de tegenoverliggende uiteinden bevinden ten opzichte van het midden:

Referenties

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technische tekening: activiteitennotitieboekje.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affiniteit, homologie en homotheek.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineaire algebra en projectieve meetkunde. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Algemene wiskunde, kansen en statistieken.
5. Meserve, BE (2014). Fundamentele concepten van geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Inleiding tot algebra. Reverte.