BIJECTIEVE FUNCTIE: WAT IS HET, HOE WORDT HET GEDAAN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

Een bijectieve functie is er een die voldoet aan de dubbele voorwaarde van injectief en surjectief zijn . Dat wil zeggen alle elementen van het domein een enkel beeld in de codomein en achtereenvolgens de codomain gelijk aan de rangschikking van de functie ( R _f ).

Het wordt vervuld door een een-op-een-relatie te beschouwen tussen de elementen van het domein en het codomein. Een eenvoudig voorbeeld is de functie F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = x

Bron: auteur

Opgemerkt wordt dat voor elke waarde van het domein of de startset (beide termen zijn gelijkelijk van toepassing) er een enkel beeld in het codomain of de aankomstset aanwezig is. Bovendien is er geen ander element van het codomain dan afbeelding.

Op deze manier is F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = x bijectief

Hoe voer je een bijectieve functie uit?

Om hier een antwoord op te geven, is het nodig om duidelijk te zijn over de concepten met betrekking tot injectiviteit en overjectiviteit van een functie , evenals de criteria voor conditionerende functies om ze aan te passen aan de vereisten.

Injectiviteit van een functie

Een functie is injectief wanneer elk van de elementen van zijn domein gerelateerd is aan een enkel element van het codomein. Een element van het codomein kan alleen de afbeelding zijn van een enkel element van het domein, op deze manier kunnen de waarden van de afhankelijke variabele niet worden herhaald.

Om een functie- injectief te beschouwen , moet aan het volgende worden voldaan:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Surjectiviteit van een functie

Een functie wordt als surjectief geclassificeerd als elk element van zijn codomein een afbeelding is van ten minste één element van het domein.

Om een functie als surjectief te beschouwen , moet aan het volgende zijn voldaan:

Laat F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E een ℮ D _f / F (een) = b

Dit is de algebraïsche manier om vast te stellen dat voor elke "b" die tot C _f behoort, er een "a" is die tot D _f behoort , zodat de functie geëvalueerd in "a" gelijk is aan "b".

Functieconditionering

Soms kan een functie die niet bijectief is aan bepaalde voorwaarden worden onderworpen. Deze nieuwe omstandigheden kunnen het een bijectieve functie maken. Allerlei wijzigingen aan het domein en het codomein van de functie zijn geldig, waarbij het doel is om de eigenschappen van injectiviteit en surjectiviteit in de overeenkomstige relatie te vervullen.

Voorbeelden: opgeloste oefeningen

Oefening 1

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door de lijn F (x) = 5x +1

EEN:

Opgemerkt wordt dat er voor elke waarde van het domein een afbeelding in het codomain staat. Deze afbeelding is uniek, wat F een injectieve functie maakt . Op dezelfde manier zien we dat het codomain van de functie gelijk is aan zijn rang. Hiermee wordt aan de voorwaarde van surjectiviteit voldaan .

Omdat we tegelijkertijd injectief en surjectief zijn, kunnen we dat concluderen

F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = 5x +1 is een bijectieve functie.

Dit geldt voor alle lineaire functies (functies waarvan de hoogste graad van de variabele één is).

Oefening 2

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door F (x) = 3x ² - 2

Bij het tekenen van een horizontale lijn wordt opgemerkt dat de grafiek meer dan eens wordt gevonden. Hierdoor is de functie F niet injectief en daarom zal het niet bijectief zijn zolang het is gedefinieerd in R → R

Evenzo zijn er codomainwaarden die geen afbeeldingen zijn van enig element van het domein. Hierdoor is de functie niet surjectief, wat het ook verdient om de aankomstset te conditioneren.

We gaan verder met het conditioneren van het domein en het codomain van de functie

F: →

Waar wordt opgemerkt dat het nieuwe domein de waarden dekt van nul tot positief oneindig. Het vermijden van herhaling van waarden die de injectiviteit beïnvloeden.

Evenzo is het codomein gewijzigd, geteld van "-2" tot positief oneindig, waarbij uit het codomein de waarden zijn verwijderd die niet overeenkwamen met enig element van het domein

Op deze manier kan ervoor worden gezorgd dat F : → gedefinieerd door F (x) = 3x ² - 2

Het is bijectief

Oefening 3

Laat de functie F: R → R worden gedefinieerd door F (x) = Sen (x)

In het interval varieert de sinusfunctie zijn resultaten tussen nul en één.

Bron: auteur.

De functie F komt niet overeen met de criteria van injectiviteit en surjectiviteit, omdat de waarden van de afhankelijke variabele elk interval van π worden herhaald. Bovendien zijn de termen van het codomain buiten het interval geen afbeelding van enig element van het domein.

Bij het bestuderen van de grafiek van de functie F (x) = Sen (x) , worden intervallen waargenomen waarbij het gedrag van de curve voldoet aan de bijectiviteitscriteria . Zoals bijvoorbeeld het interval D _f = voor het domein. En C _f = voor het codomein.

Waar de functie varieert, resulteert van 1 tot -1, zonder een waarde in de afhankelijke variabele te herhalen. En tegelijkertijd is het codomein gelijk aan de waarden die worden aangenomen door de uitdrukking Sen (x)

Dus de functie F: → gedefinieerd door F (x) = Sen (x). Het is bijectief

Oefening 4

Geef de noodzakelijke voorwaarden voor D _f en C _f . Dus de uitdrukking

F (x) = -x ² bijectief zijn.

Bron: auteur

De herhaling van resultaten wordt waargenomen wanneer de variabele tegengestelde waarden aanneemt:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Het domein is geconditioneerd, waardoor het beperkt is tot de rechterkant van de echte lijn.

D _f =

Op dezelfde manier wordt opgemerkt dat het bereik van deze functie het interval is dat, wanneer het optreedt als een codomein, voldoet aan de voorwaarden van surjectiviteit.

Op deze manier kunnen we dat concluderen

De uitdrukking F: → gedefinieerd door F (x) = -x ² Het is bijectief

Voorgestelde oefeningen

Controleer of de volgende functies bijectief zijn:

F: → R gedefinieerd door F (x) = 5ctg (x)

F: → R gedefinieerd door F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R gedefinieerd door de lijn F (x) = -5x + 4

Referenties

1. Inleiding tot logica en kritisch denken. Merrilee H. Salmon. Universiteit van Pittsburgh
2. Problemen bij wiskundige analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiteit van Wroclaw. Polen.
3. Elementen van abstracte analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Afdeling wiskunde. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Inleiding tot de logica en de methodologie van de deductieve wetenschappen. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford Universiteit krant.
5. Principes van wiskundige analyse. Enrique Linés Escardó. Redactioneel Reverté S. A 1991. Barcelona Spanje.