VOORWAARDELIJKE KANS: FORMULE EN VERGELIJKINGEN, EIGENSCHAPPEN, VOORBEELDEN - DUDAS - 2025

De voorwaardelijke kans is de mogelijkheid van het optreden van een bepaalde gebeurtenis, gegeven dat een andere zich voordoet als voorwaarde. Deze aanvullende informatie kan (of niet) de perceptie wijzigen dat er iets zal gebeuren.

We kunnen ons bijvoorbeeld afvragen: "Hoe groot is de kans dat het vandaag gaat regenen, aangezien het al twee dagen niet heeft geregend?" De gebeurtenis waarvan we de kans willen weten, is dat het vandaag regent, en de aanvullende informatie die het antwoord zou bepalen, is dat "het al twee dagen niet heeft geregend".

Figuur 1. De kans dat het vandaag gaat regenen gezien het gisteren heeft geregend is ook een voorbeeld van voorwaardelijke kans. Bron: Pixabay.

Laat een waarschijnlijkheidsruimte bestaan ​​uit Ω (steekproefruimte), ℬ (de willekeurige gebeurtenissen) en P (de waarschijnlijkheid van elke gebeurtenis), plus de gebeurtenissen A en B die bij ℬ horen.

De voorwaardelijke kans dat A optreedt, gegeven dat B is opgetreden, die wordt aangeduid als P (A│B), wordt als volgt gedefinieerd:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A en B) / P (B)

Waar: P (A) is de kans op het voorkomen van A, P (B) is de kans op gebeurtenis B en verschilt van 0, en P (A )B) is de kans op het snijpunt tussen A en B, dat wil zeggen, , de kans dat beide gebeurtenissen plaatsvinden (gezamenlijke waarschijnlijkheid).

Dit is een uitdrukking voor de stelling van Bayes die op twee gebeurtenissen werd toegepast en die in 1763 werd voorgesteld door de Engelse theoloog en wiskundige Thomas Bayes.

Eigendommen

-Alle voorwaardelijke kansen liggen tussen 0 en 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt, gegeven dat genoemde gebeurtenis zich voordoet, is uiteraard 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Als twee gebeurtenissen exclusief zijn, dat wil zeggen gebeurtenissen die niet gelijktijdig kunnen plaatsvinden, dan is de voorwaardelijke kans dat een van hen plaatsvindt 0, aangezien het snijpunt nul is:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Als B een deelverzameling is van A, dan is de voorwaardelijke kans ook 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Belangrijk

P (A│B) is over het algemeen niet gelijk aan P (B│A), daarom moeten we oppassen dat we de gebeurtenissen niet verwisselen bij het vinden van de voorwaardelijke kans.

Algemene regel van vermenigvuldiging

Vaak wil je de gezamenlijke kans P (A∩B) vinden, in plaats van de voorwaardelijke kans. Dan hebben we via de volgende stelling:

P (A∩B) = P (A en B) = P (A│B). P (B)

De stelling kan worden uitgebreid voor drie gebeurtenissen A, B en C:

P (A∩B∩C) = P (A en B en C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

En ook voor verschillende evenementen, zoals A ₁ , A ₂ , A ₃ en meer, kan het als volgt worden uitgedrukt:

P (EEN ₁ ∩ EEN ₂ ∩ EEN ₃ … ∩ EEN _n ) = P (EEN ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

Als het om gebeurtenissen gaat die in volgorde en in verschillende stadia plaatsvinden, is het handig om de gegevens in een diagram of tabel te ordenen. Dit maakt het eenvoudiger om de opties voor het bereiken van de gevraagde kans te visualiseren.

Voorbeelden zijn het boomdiagram en de kruistabel. Van de ene kun je de andere bouwen.

Voorbeelden van voorwaardelijke kans

Laten we eens kijken naar enkele situaties waarin de kansen van een gebeurtenis worden veranderd door het optreden van een andere:

- Voorbeeld 1

In een snoepwinkel worden twee soorten taarten verkocht: aardbei en chocolade. Door de voorkeuren van 50 cliënten van beide geslachten te registreren, zijn de volgende waarden bepaald:

-27 vrouwen, waarvan 11 de voorkeur geven aan aardbeientaart en 16 chocolade.

-23 mannen: 15 kiezen chocolade en 8 aardbeien.

De kans dat een klant een chocoladetaart kiest, kan worden bepaald door de regel van Laplace toe te passen, volgens welke de kans op een gebeurtenis is:

P = aantal gunstige evenementen / totaal aantal evenementen

In dit geval geven van de 50 klanten in totaal 31 de voorkeur aan chocolade, dus de kans is P = 31/50 = 0,62. Dat wil zeggen, 62% van de klanten geeft de voorkeur aan chocoladetaart.

Maar zou het anders zijn als de cliënt een vrouw is? Dit is een geval van voorwaardelijke waarschijnlijkheid.

Contingentietabel

Met een kruistabel als deze worden de totalen eenvoudig weergegeven:

Vervolgens worden de gunstige gevallen in acht genomen en wordt de regel van Laplace toegepast, maar eerst definiëren we de gebeurtenissen:

-B is het evenement "vrouwelijke klant".

-A is het "prefer chocolate cake" evenement als vrouw.

We gaan naar de kolom met het label "vrouwen" en daar zien we dat het totaal 27 is.

Dan wordt het gunstige geval gezocht in de "chocolade" rij. Er zijn 16 van deze gebeurtenissen, daarom is de gezochte kans direct:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% van de vrouwelijke klanten geeft de voorkeur aan chocoladetaart.

Deze waarde komt overeen als we het contrasteren met de aanvankelijk gegeven definitie van voorwaardelijke kans:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

We zorgen ervoor dat we de regel van Laplace en de tabelwaarden gebruiken:

P (B) = 27/50

P (A en B) = 16/50

Waar P (A en B) de kans is dat de klant chocolade verkiest en een vrouw is. Nu worden de waarden vervangen:

P (A│B) = P (A en B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

En het is bewezen dat het resultaat hetzelfde is.

- Voorbeeld 2

In dit voorbeeld is de regel van vermenigvuldiging van toepassing. Stel dat er in een winkel broeken in drie maten te zien zijn: klein, medium en groot.

In een kavel met in totaal 24 broeken, waarvan er 8 van elke maat zijn en allemaal gemengd, wat zou de kans zijn om er twee te extraheren en dat ze allebei klein waren?

Het is duidelijk dat de kans om bij de eerste poging een broekje uit te trekken 8/24 = 1/3 is. Nu is de tweede extractie afhankelijk van de eerste gebeurtenis, want bij het verwijderen van een broek zijn er niet meer 24, maar 23. En als een kleine broek wordt verwijderd, zijn er 7 in plaats van 8.

Gebeurtenis A trekt een kleine broek aan, nadat hij bij de eerste poging een andere heeft getrokken. En evenement B is degene met de kleine broek voor het eerst. Dus:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Gebruik ten slotte de vermenigvuldigingsregel:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Oefening opgelost

In een onderzoek naar punctualiteit op commerciële luchtvluchten zijn de volgende gegevens beschikbaar:

-P (B) = 0,83, is de kans dat een vliegtuig op tijd vertrekt.

-P (A) = 0,81, is de kans om op tijd te landen.

-P (B∩A) = 0,78 is de kans dat de vlucht op tijd aankomt en op tijd opstijgt.

Er wordt gevraagd om te berekenen:

a) Wat is de kans dat het vliegtuig op tijd zal landen, gezien het feit dat het op tijd vertrok?

b) Is de bovenstaande kans hetzelfde als de kans dat je op tijd vertrok als je op tijd zou landen?

c) En tot slot: wat is de kans dat het op tijd aankomt gezien het niet op tijd vertrok?

Figuur 2. Punctualiteit op commerciële vluchten is belangrijk, aangezien vertragingen miljoenen dollars aan verliezen opleveren. Bron: Pixabay.

Oplossing voor

Om de vraag te beantwoorden wordt de definitie van voorwaardelijke kans gebruikt:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A en B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Oplossing b

In dit geval worden de gebeurtenissen in de definitie uitgewisseld:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A en B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Merk op dat deze kans enigszins verschilt van de vorige, zoals we eerder hebben aangegeven.

Oplossing c

De kans om niet op tijd te vertrekken is 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, we noemen het P (B ^C ), omdat het de complementaire gebeurtenis is om op tijd op te stijgen. De gezochte voorwaardelijke kans is:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A en B ^C ) / P (B ^C )

Anderzijds:

P (A∩B ^C ) = P (op tijd landen) - P (op tijd landen en op tijd opstijgen) = 0,81-0,78 = 0,03

In dit geval is de gezochte voorwaardelijke kans:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Kansrekening. Redactioneel Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschappen. Pearson.
6. Wikipedia. Voorwaardelijke waarschijnlijkheid. Hersteld van: es.wikipedia.org.