HEXAGONALE PIRAMIDE: DEFINITIE, KENMERKEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

Een zeshoekige piramide is een veelvlak gevormd door een zeshoek, die de basis is, en zes driehoeken die beginnen bij de hoekpunten van de zeshoek en elkaar ontmoeten op een punt buiten het vlak dat de basis bevat. Dit punt van gelijktijdigheid staat bekend als het hoekpunt of de top van de piramide.

Een veelvlak is een gesloten driedimensionaal geometrisch lichaam waarvan de gezichten vlakke figuren zijn. Een zeshoek is een gesloten vlakke figuur (polygoon) die uit zes zijden bestaat. Als alle zes zijden even lang zijn en gelijke hoeken vormen, wordt er gezegd dat het regelmatig is; anders is het onregelmatig.

Definitie

Een zeshoekige piramide bevat zeven vlakken, de basis en de zes laterale driehoeken, waarvan de basis de enige is die het hoekpunt niet raakt.

Er wordt gezegd dat de piramide recht is als alle laterale driehoeken gelijkbenig zijn. In dit geval is de hoogte van de piramide het segment dat van het hoekpunt naar het midden van de zeshoek gaat.

Over het algemeen is de hoogte van een piramide de afstand tussen het hoekpunt en het vlak van de basis. Er wordt gezegd dat de piramide schuin is als niet alle zijdelingse driehoeken gelijkbenig zijn.

Als de zeshoek regelmatig is en de piramide ook recht, wordt er gezegd dat het een regelmatige zeshoekige piramide is. Evenzo, als de zeshoek onregelmatig is of de piramide schuin, wordt er gezegd dat het een onregelmatige zeshoekige piramide is.

kenmerken

Concaaf of convex

Een veelhoek is convex als de maat van alle binnenhoeken kleiner is dan 180 graden. Geometrisch is dit hetzelfde als te zeggen dat, gegeven een paar punten binnen de polygoon, het lijnsegment dat hen verbindt, zich in de polygoon bevindt. Anders wordt gezegd dat de veelhoek concaaf is.

Als de zeshoek convex is, wordt gezegd dat de piramide een convexe zeshoekige piramide is. Anders zou het een concave zeshoekige piramide zijn.

Randen

De randen van een piramide zijn de zijden van de zes driehoeken waaruit het bestaat.

Apothem

De apothema van de piramide is de afstand tussen de top en de zijkanten van de basis van de piramide. Deze definitie heeft alleen zin als de piramide regelmatig is, want als deze onregelmatig is, varieert deze afstand afhankelijk van de driehoek die wordt overwogen.

Aan de andere kant, in gewone piramides zal de apothema overeenkomen met de hoogte van elke driehoek (aangezien elke gelijkbenig is) en zal het hetzelfde zijn in alle driehoeken.

Het apothema van de basis is de afstand tussen een van de zijkanten van de basis en het midden ervan. Van de manier waarop het wordt gedefinieerd, is de apothema van de basis ook alleen logisch in gewone piramides.

Aanduidingen

De hoogte van een hexagonale piramide wordt aangegeven met h , de apothema van de basis (in het reguliere geval) door APb en de apothema van de piramide (ook in het reguliere geval) door AP .

Kenmerkend voor regelmatige hexagonale piramides is dat h , APb en AP een rechthoekige driehoek vormen met hypotenusa AP en benen h en APb . Volgens de stelling van Pythagoras hebben we dat AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

De afbeelding hierboven stelt een gewone piramide voor.

Hoe de oppervlakte berekenen? Formules

Overweeg een regelmatige zeshoekige piramide. Laat A de maat zijn van elke zijde van de zeshoek. Dan komt A overeen met de maat van de basis van elke driehoek van de piramide en dus met de randen van de basis.

De oppervlakte van een veelhoek is het product van de omtrek (de som van de zijden) en de apothema van de basis, gedeeld door twee. In het geval van een zeshoek zou het 3 * A * APb zijn.

Te zien is dat de oppervlakte van een regelmatige zeshoekige piramide gelijk is aan zes keer de oppervlakte van elke driehoek van de piramide plus de oppervlakte van de basis. Zoals eerder vermeld, komt de hoogte van elke driehoek overeen met de apothema van de piramide, AP.

Daarom wordt de oppervlakte van elke driehoek in de piramide gegeven door A * AP / 2. De oppervlakte van een regelmatige hexagonale piramide is dus 3 * A * (APb + AP), waarbij A een rand van de basis is, APb de apothema van de basis en AP de apothema van de piramide.

Berekening in onregelmatige zeshoekige piramides

In het geval van een onregelmatige hexagonale piramide is er geen directe formule om de oppervlakte te berekenen zoals in het vorige geval. Dit komt doordat elke driehoek in de piramide een ander gebied krijgt.

In dit geval moet de oppervlakte van elke driehoek afzonderlijk worden berekend en de oppervlakte van de basis. Dan is de oppervlakte van de piramide de som van alle eerder berekende oppervlakten.

Hoe het volume berekenen? Formules

Het volume van een piramide met een regelmatige zeshoekige vorm is het product van de hoogte van de piramide en het oppervlak van de basis gedeeld door drie. Het volume van een regelmatige zeshoekige piramide wordt dus gegeven door A * APb * h, waarbij A een rand van de basis is, APb de apothema van de basis en h de hoogte van de piramide.

Berekening in onregelmatige zeshoekige piramides

Analoog aan het gebied is er in het geval van een onregelmatige zeshoekige piramide geen directe formule om het volume te berekenen, aangezien de randen van de basis niet dezelfde afmeting hebben omdat het een onregelmatige veelhoek is.

In dit geval moet de oppervlakte van de basis afzonderlijk worden berekend en zal het volume (h * Oppervlakte van de basis) / 3 zijn.

Voorbeeld

Zoek de oppervlakte en het volume van een regelmatige zeshoekige piramide met een hoogte van 3 cm, waarvan de basis een regelmatige zeshoek is van 2 cm aan elke kant en de apothema van de basis is 4 cm.

Oplossing

Eerst moet de apothema van de piramide (AP) worden berekend, wat de enige ontbrekende gegevens zijn. Als je naar de afbeelding hierboven kijkt, kun je zien dat de hoogte van de piramide (3 cm) en de apothema van de basis (4 cm) een rechthoekige driehoek vormen; Daarom wordt, om de apothema van de piramide te berekenen, de stelling van Pythagoras gebruikt:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Als je dus de bovenstaande formule gebruikt, betekent dit dat de oppervlakte gelijk is aan 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Aan de andere kant wordt met behulp van de volumeformule verkregen dat het volume van de gegeven piramide 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3 is.

Referenties

1. Billstein, R., Libeskind, S., en Lott, JW (2013). Wiskunde: een probleemoplossende aanpak voor leerkrachten basisonderwijs. López Mateos Editors.
2. Fregoso, RS en Carrera, SA (2005). Wiskunde 3. Redactioneel Progreso.
3. Gallardo, G., en Pilar, PM (2005). Wiskunde 6. Redactioneel Progreso.
4. Gutiérrez, CT, en Cisneros, MP (2005). 3e cursus wiskunde. Redactioneel Progreso.
5. Kinsey, L., en Moore, TE (2006). Symmetry, Shape and Space: An Introduction to Mathematics Through Geometry (geïllustreerd, herdruk red.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Oogverblindende wiskundige lijnontwerpen (geïllustreerde red.). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Ik teken 6e. Redactioneel Progreso.