NULHOEK: DEFINITIE EN KENMERKEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

De nulhoek is er een waarvan de maat 0 is, zowel in graden als in radialen of een ander systeem voor hoekmeting. Daarom mist het breedte of opening, zoals gevormd tussen twee parallelle lijnen.

Hoewel de definitie ervan eenvoudig genoeg klinkt, is de nulhoek erg handig in veel natuurkundige en technische toepassingen, maar ook in navigatie en ontwerp.

Figuur 1. Tussen de snelheid en de acceleratie van de auto zit een nulhoek, dus de auto gaat steeds sneller. Bron: Wikimedia Commons.

Er zijn fysieke grootheden die parallel moeten worden uitgelijnd om bepaalde effecten te bereiken: als een auto in een rechte lijn op een snelweg rijdt en tussen zijn snelheidsvector v en zijn versnellingsvector a is er 0º, dan beweegt de auto steeds sneller, maar als de auto remt, de acceleratie is tegengesteld aan de snelheid (zie figuur 1).

De volgende afbeelding toont verschillende soorten hoeken, inclusief de nulhoek naar rechts. Zoals te zien is, mist de hoek van 0 ° breedte of opening.

Figuur 2. Hoektypes, inclusief de nulhoek. Bron: Wikimedia Commons. Orias.

Voorbeelden van nulhoeken

Van parallelle lijnen is bekend dat ze een nulhoek met elkaar vormen. Als je een horizontale lijn hebt, is deze evenwijdig aan de x-as van het Cartesiaans coördinatensysteem, daarom is de helling ten opzichte van deze lijn 0. Met andere woorden, horizontale lijnen hebben een helling van nul.

Figuur 3. De horizontale lijnen hebben een helling nul. Bron: F. Zapata.

Ook zijn de trigonometrische verhoudingen van de nulhoek 0, 1 of oneindig. Daarom is de nulhoek aanwezig in veel fysieke situaties waarin bewerkingen met vectoren voorkomen. Deze redenen zijn:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

En ze zullen nuttig zijn om enkele voorbeelden te analyseren van situaties waarin de aanwezigheid van de nulhoek een fundamentele rol speelt:

- Effecten van de nulhoek op fysieke grootheden

Vector toevoeging

Als twee vectoren parallel zijn, is de hoek ertussen nul, zoals te zien is in figuur 4a hierboven. In dit geval wordt de som van beide uitgevoerd door de een na de ander te plaatsen en is de grootte van de somvector de som van de grootte van de bijlagen (figuur 4b).

Figuur 4. Som van parallelle vectoren, in dit geval is de hoek daartussen een nulhoek. Bron: F. Zapata.

Als twee vectoren parallel zijn, is de hoek ertussen nul, zoals te zien is in figuur 4a hierboven. In dit geval wordt de som van beide uitgevoerd door de een na de ander te plaatsen en is de grootte van de somvector de som van de grootte van de bijlagen (figuur 4b)

Het koppel of koppel

Het koppel of koppel veroorzaakt de rotatie van een lichaam. Het hangt af van de grootte van de uitgeoefende kracht en hoe deze wordt toegepast. Een heel representatief voorbeeld is de sleutel in de afbeelding.

Om het beste draai-effect te bereiken, wordt de kracht loodrecht op het handvat van de sleutel uitgeoefend, omhoog of omlaag, maar er wordt geen rotatie verwacht als de kracht parallel is aan het handvat.

Figuur 5. Als de hoek tussen de positie- en krachtvectoren nul is, wordt er geen koppel geproduceerd en is er dus geen spin-effect. Bron: F. Zapata.

Wiskundig wordt het koppel τ gedefinieerd als het vectorproduct of kruisproduct tussen de vectoren r (positievector) en F (krachtvector) van figuur 5:

τ = r x F

De grootte van het koppel is:

τ = r F zonde θ

Θ zijnde de hoek tussen r en F . Bij sin θ = 0 is het koppel nul, in dit geval θ = 0º (of ook 180º).

Elektrische veldstroom

De flux van een elektrisch veld is een scalaire grootheid die afhangt van de intensiteit van het elektrische veld en van de oriëntatie van het oppervlak waardoor het passeert.

In figuur 6 is er een cirkelvormig oppervlak van gebied A waar de elektrische veldlijnen E doorheen gaan . De oriëntatie van het oppervlak wordt gegeven door de normaalvector n . Links vormen het veld en de normaalvector een willekeurige scherpe hoek θ, in het midden vormen ze een nulhoek met elkaar, en rechts staan ​​ze loodrecht.

Wanneer E en n loodrecht zijn, kruisen de veldlijnen het oppervlak niet en daarom is de flux nul, terwijl wanneer de hoek tussen E en n nul is, de lijnen het oppervlak volledig kruisen.

De elektrische veldflux wordt aangeduid met de Griekse letter Φ (lees "fi"), en de definitie voor een uniform veld zoals in de afbeelding ziet er als volgt uit:

Φ = E • n EEN

Het punt in het midden van beide vectoren geeft het puntproduct of scalair product aan, dat alternatief als volgt wordt gedefinieerd:

Φ = E • n A = EAcosθ

De vetgedrukte en de pijlen boven de letter zijn middelen om onderscheid te maken tussen een vector en de grootte ervan, die wordt aangegeven met normale letters. Omdat cos 0 = 1, is de flux maximaal als E en n parallel zijn.

Figuur 6. De flux van het elektrische veld hangt af van de oriëntatie tussen het oppervlak en het elektrische veld. Bron: F. Zapata.

Opdrachten

- Oefening 1

Twee krachten P en Q werken gelijktijdig op een puntobject X, beide krachten vormen aanvankelijk een hoek θ tussen hen. Wat gebeurt er met de grootte van de resulterende kracht als θ afneemt tot nul?

Figuur 7. De hoek tussen twee krachten die op een lichaam inwerken, neemt af totdat het wordt opgeheven, in welk geval de grootte van de resulterende kracht zijn maximale waarde krijgt. Bron: F. Zapata.

Oplossing

De grootte van de resulterende kracht Q + P neemt geleidelijk toe tot het maximum is wanneer Q en P volledig parallel zijn (figuur 7 rechts).

- Oefening 2

Geef aan of de nulhoek een oplossing is van de volgende trigonometrische vergelijking:

Oplossing

Een trigonometrische vergelijking is een vergelijking waarin het onbekende deel uitmaakt van het argument van een trigonometrische verhouding. Om de voorgestelde vergelijking op te lossen, is het handig om de formule voor de cosinus van de dubbele hoek te gebruiken:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Omdat op deze manier het argument aan de linkerkant x wordt in plaats van 2x. Zo:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Aan de andere kant cos ² x + sin ² x = 1, dus:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

De term cos ² x vervalt en blijft:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nu wordt de volgende variabele gewijzigd: sinx = u en de vergelijking wordt:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Wiens oplossingen zijn: u = 0 en u = -4. Als we de verandering teruggeven, zouden we twee mogelijkheden hebben: sin x = 0 en sinx = -4. Deze laatste oplossing is niet haalbaar, omdat de sinus van elke hoek tussen -1 en 1 ligt, dus we houden het eerste alternatief over:

zonde x = 0

Daarom is x = 0º een oplossing, maar elke hoek waarvan de sinus 0 is, werkt ook, die ook 180º (π radialen), 360º (2 π radialen) en de respectievelijke negatieven kunnen zijn.

De meest algemene oplossing van de trigonometrische vergelijking is: x = kπ waarbij k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k een geheel getal.

Referenties

1. Baldor, A. 2004. Vliegtuig- en ruimtegeometrie met trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 3. Particle Systems. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 5. Elektrische interactie. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Soorten hoeken. Hersteld van: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometrie en analytische meetkunde. McGraw Hill Interamericana.